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第十章计数原理与概率导学案一


第十章

计数原理与概率、随机变量及其分布
分类加法计数原理与分步乘法计数原理

第一节

[最新考纲展示] 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理. 2.会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题 考点一 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第 1 类方案中有 m 种不同

的方法,在第 2 类方案中有 n 种不同的 方法.那么完成这件事共有 N= 种不同的方法. 考点二 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第 1 步有 m 种不同的方法,做第 2 步有 n 种不同的方法,那么完成 这件事共有 N= 种不同的方法. 分类加法计数原理与分步乘法计数原理有什么区别? 分类加法计数原理针对的是“完成事件的方法种类不同”问题,其各种方法是相互独立的,用其 中任何一种方法都能完成这件事情;分步乘法计数原理针对的是“完成事件需分几个步骤”问题, 其各个步骤中的方法是相互联系的,只有各个步骤都完成才能完成这件事情 1.从 3 名女同学和 2 名男同学中选 1 人主持主题班会,则不同的选法种数为( A.6 B.5 C.3 D.2 )

2.(2014 年济南调研)已知两条异面直线 a,b 上分别有 5 个点和 8 个点,则这 13 个点可以确定不 同的平面个数为( ) A.40 B.16 C.13 D.10 3.(2014 年临沂模拟)如图所示的阴影部分由方格纸上 3 个小方格组成, 我们称这样的图案为 L 型(每 次旋转 90° 仍为 L 型图案),那么在由 4× 5 个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的 L 型图案 的个数是( ) A.16 C.48 B.32 D.64

4.有不同颜色的四件衬衣与不同颜色的三条领带,如果一条领带与一件衬衣配成一套.则不同的 配法种数是________. 5.(2013 年高考山东卷改编 )用 0,1,?,9 十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 ________.(用数字作答). 类型一 分类加法计数原理 【例 1】 有 4 位教师在同一年级的 4 个班中各教一个班的数学,在数学检测时要求每位教师不 能在本班监考,则监考的方法有( ) A.8 种 B.9 种 C.10 种 D.11 种 变式训练: 1. (2014 年济南模拟) 椭圆 + = 1 的焦点在 y 轴上,且 m∈ {1,2,3,4,5} ,n ∈ {1,2,3,4,5,6,7},则这样的椭圆的个数为________.
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x2 y2 m n

类型二 分步乘法计数原理 【例 2】 由数字 1,2,3,4, (1)可组成多少个 3 位数; (2)可组成多少个没有重复数字的 3 位数.

类型三 两个原理的综合应用 【例 3】 (1)(2014 年潍坊模拟)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足 a1<a2>a3,则称这样的三位数 为凸数(如 120,343,275 等),那么所有凸数的个数为( ) A.240 B.204 C.729 D.920 (2)(2014 年沈阳模拟)一生产过程有四道工序,每道工序需要安排一人照看,现从甲、乙、丙等 6 名工人中安排 4 人分别照看一道工序,第一道工序只能从甲、乙两工人中安排 1 人,第四道工序 只能从甲、丙两工人中安排 1 人,则不同的安排方案共有________种. 变式训练 2.已知集合 M∈{1,-2,3},N∈{-4,5,6,-7},从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则 这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是( ) A.18 B.10 C.16 D.14 数学思想方法----分类讨论的思想在计数原理中的应用 纵观历年高考对两个计数原理应用的考查,多以选择题与填空题的形式出现,考查蕴含在实际问 题的解决中,多是两原理结合在一起应用,做好问题转化,分好类与步是关键,今年高考仍会坚 持此规律,不会有大的变化. 1.(2013 年高考福建卷)满足 a,b∈{-1,0,1,2},且关于 x 的方程 ax2+2x+b=0 有实数解的有序 数对(a,b)的个数为( ) A.14 B.13 C.12 D.10 2.如图所示,在 A,B 间有四个焊接点 1,2,3,4,若焊接点脱落导致断路,则电路不通.今发现 A, B 之间电路不通,则焊接点脱落的不同情况有( ) A.9 种 B.11 种 C.13 种 D.15 种

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作业及练习
[A 组] 一、选择题 1.高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践,但去何工厂可自由选择,甲工厂 必须有班级要去,则不同的分配方案有( A.16 种 B.18 种 C.37 种 ) D.48 种

2.集合 P={x,1},Q={y,1,2},其中 x,y∈{1,2,3,?,9},且 P?Q.把满足上述条件的一对有序 整数对(x,y)作为一个点的坐标,则这样的点的个数是( A.9 B.14 C.15 D.21 )

3.(2014 年潍坊模拟)从 1 到 10 的正整数中,任意抽取两个数相加,所得和为奇数的不同情形的 种数是( A.10 ) B.15 C.20 D.25

4. 从 0,2 中选一个数字, 从 1,3,5 中选两个数字, 组成无重复数字的三位数, 其中奇数的个数为( A.24 B.18 C.12 D.6

)

5. 用 0,1,2,3,4,5 六个数字组成无重复数字的四位数, 若把每位数字比其左邻的数字小的数叫做“渐 降数”,则上述四位数中“渐降数”的个数为( A.14 B.15 C.16 ) D.17

6.(2014 年海淀模拟)书架上原来并排着 5 本不同的书,现要再插入 3 本不同的书,那么不同的插 法共有( A.336 种 二、填空题 7.从 6 个人中选 4 个人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市至少有一 人游览,每人只游览一个城市,且这 6 个人中,甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共 有________种. ) B.120 种 C.24 种 D.18 种

8. 如图所示,在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有 ________个.

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9.将 1,2,3 填入 3×3 的方格中,要求每行、每列都没有重复数字,右面是一种填法,则不同的填 写方法共有________种. 1 3 2 三、解答题 10.标号为 A、B、C 的三个口袋,A 袋中有 1 个红色小球,B 袋中有 2 个不同的白色小球,C 袋 中有 3 个不同的黄色小球,现从中取出 2 个小球. (1)若取出的两个球颜色不同,有多少种取法? (2)若取出的两个球颜色相同,有多少种取法? 2 1 3 3 2 1

11.编号为 A,B,C,D,E 的五个小球放在如图所示的五个盒子里,要求每个盒子只能放一个小 球,且 A 球不能放在 1,2 号,B 球必须放在与 A 球相邻的盒子中,求不同的放法有多少种?

[B 组] 1.如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体 中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( A.60 B.48 C.36 D.24 )

2.(2014 年潍坊期中)如果把个位数是 1,且恰有 3 个数字相同的四位数叫做“好数”,那么在由 1,2,3,4 四个数字组成的有重复数字的四位数中,“好数”共有________个.

3.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为 1,2,?,9 的 9 个小正方形(如图),使得任意相邻(有 公共边的)小正方形所涂颜色都不相同,且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色,则符合 条件的所有涂法共有________种. 1 4 7 2 5 8 3 6 9

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第二节

排列与组合

[最新考纲展示] 1.理解排列、组合的概念. 2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. 3.能利用排列与组合解决简单的实际问题. 考点一 排列与排列数 1.排列 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素, n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. 2.排列数 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,记作 . ,叫做从 n , 叫做从

注意:排列与排列数是不同概念,易混淆,排列数是问题中所有不同排列的个数. 考点二 组合与组合数 1.组合 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素 , 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合. 2.组合数 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的 个不同元素中取出 m 个元素的组合数,记作 . ,叫做从 n

排列与组合有何异同点? 排列与组合问题的共同点:都是“从 n 个不同元素中取出 m 个元素” ;不同点:前者与元素的顺 序有关,为“将取出的元素按照一定顺序排成一列” ,后者与元素的顺序无关,为“将取出的元素 合成一组” . 因此我们可以得到:区分某一问题是排列问题还是组合问题,关键是看选出的元素是否与顺序有 关. 考点三 排列数、组合数的公式及性质

1.对于排列数公式的连乘形式和阶乘形式,运用时注意把握以下几点 (1)排列数公式的连乘形式常用于计算具体的排列数. (2)排列数公式的阶乘形式主要有两个作用:一是当 m,n 较大时,使用计算器快捷地算出结果; 二是对含有字母的排列数的式子进行变形.
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n 2.组合数的性质的应用:性质①主要有两个方面的应用,一是简化运算,当 m> 时,通常将计算 2
n Cm n 转化为计算 Cn
-m

y ;二是列等式,由 Cx n=Cn可得 x=y 或 x+y=n.性质②主要应用于恒等变形,

简化运算.

1.一排 9 个座位坐了 3 个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为( ) A.3×3! B.3×(3!)3 C.(3!)4 D.9! 2.电视台在直播 2013 年世锦赛广州地区羽毛球比赛时要连续插播 5 个广告,其中 3 个不同的商 业广告和 2 个不同的世锦赛宣传广告,要求最后播放的是世锦赛宣传广告,且 2 个世锦赛宣传广 告不能连播.则不同的播放方式有( ) A.120 B.48 C.36 D.18 3.(2014 年开封一模)某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋 友,每位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有( ) A.4 种 B.10 种 C.18 种 D.20 种 4.有 3 张都标着字母 A,6 张分别标着数字 1,2,3,4,5,6 的卡片,若任取其中 5 张卡片组成牌号,则 可以组成的不同牌号的总数等于________.(用数字作答) 类型一 排列问题 【例 1】 有 3 名男生,4 名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法总数: (1)全体排成一行,其中甲只能在中间或者两边位置; (2)全体排成一行,其中甲不在最左边,乙不在最右边; (3)全体排成一行,其中男生必须排在一起; (4)全体排成一行,男、女各不相邻; (5)全体排成一行,男生不能排在一起; (6)全体排成一行,其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变; (7)排成前后两排,前排 3 人,后排 4 人; (8)全体排成一行,甲、乙两人中间必须有 3 人.

类型二 组合问题 【例 2】 某课外活动小组共 13 人,其中男生 8 人,女生 5 人,并且男、女生各指定一名队长.现 从中选 5 人主持某种活动,依下列条件各有多少种选法? (1)只有一名女生; (2)两队长当选; (3)至少有一名队长当选;
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(4)至多有两名女生当选; (5)既要有队长,又要有女生当选. 式训练 1.从 6 名男生和 2 名女生中选出 3 名志愿者,其中至少有 1 名女生的选法共有( ) A.36 种 B.30 种 C.42 种 D.60 种 类型三 排列与组合的综合应用 【例 3】 (1)某地奥运会火炬接力传递路线共分 6 段,传递活动分别由 6 名火炬手完成.如果第 一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生,最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生,则不同的 传递方法共有________种(用数字作答). (2)有 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的蓝色卡片,从这 8 张卡 片中取出 4 张卡片排成一行,如果取出的 4 张卡片所标的数字之和等于 10,则不同的排法共有 ________种(用数字作答). 变式训练 2.从 5 种不同的水果和 4 种不同的糖果中各选出 3 种,放入如图所示的 6 个不同的区域(用数字表 示)中拼盘, 每个区域只放一种, 且水果不能放在有公共边的相邻区域内, 则不同的放法共有( ) A.2 880 种 C.1 440 种 B.2 160 种 D.720 种

高考热点——有限制条件的排列组合问题 有限制条件的排列组合问题,高考每年必考,解决此类问题时,一是要明确问题中是排列还是组 合或排列组合混合问题;二是要讲究一些基本策略和方法技巧.常用的有:元素位置分析法、捆 绑法或插空法、先整体后局部法、定序问题相除法、正难则反排除法、分组分配法等. 【典例 1】 1 名老师和 5 位同学站成一排照相,老师不站在两端的排法共有( ) A.450 种 B.460 种 C.480 种 D.500 种 【典例 2】 (2014 年张家界模拟)在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施 6 个程序,其中 程序 A 只能出现在第一或最后一步,程序 B 和 C 在实施时必须相邻,问实验顺序的编排方法共有 ( ) A.34 种 B.48 种 C.96 种 D.144 种 练习:有 5 盆各不相同的菊花,其中黄菊花 2 盆、白菊花 2 盆、红菊花 1 盆,现把它们摆放成一 排,要求 2 盆黄菊花必须相邻,2 盆白菊花不能相邻,则这 5 盆花的不同摆放种数是( ) A.12 B.24 C.36 D.48 [A 组] 1.A、B、C、D、E 五人并排站成一排,如果 B 必须站在 A 的右边(A、B 可以不相邻),那么不同 的排法共有( ) A.24 种 B.60 种 C.90 种 D.120 种 2.若从 1,2,3,?,9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有( A.60 种 B.63 种 C.65 种 D.66 种 )

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3.(2014 年武昌调研)将 4 名教师分配到 3 所中学任教,每所中学至少 1 名教师,则不同的分配方 案共有( ) A.12 种 B.24 种 C.36 种 D.48 种 4.两人进行乒乓球比赛,先赢 3 局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局 次的不同视为不同情形)共有( ) A.10 种 B.15 种 C.20 种 D.30 种 5.有 6 个座位连成一排,现有 3 人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐标有( A.36 种 B.48 种 C.72 种 D.96 种 )

6.甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上,若每级台阶最多站 2 人,同一级台阶上的人不区分站 的位置,则不同的站法种数是( ) A.258 B.306 C.336 D.296 7.(2014 年长春模拟)用 1,2,3,4 这四个数字组成无重复数字的四位数,其中恰有一个偶数字夹在 两个奇数字之间的四位数的个数为________. 8.将 A,B,C,D,E,F 六个字母排成一排,且 A,B 均在 C 的同侧,则不同的排法共有________ 种(用数字作答) 9.从 3 名骨科、4 名脑外科和 5 名内科医生中选派 5 人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑 外科和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是________(用数字作答) 10.某外商计划在 4 个候选城市投资 3 个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过 2 个, 求该外商不同的投资方案有多少种? 11.7 名男生 5 名女生中选取 5 人,分别求符合下列条件的选法总数有多少种. (1)A,B 必须当选; (2)A,B 必不当选; (3)A,B 不全当选; (4)至少有 2 名女生当选; (5)选取 3 名男生和 2 名女生分别担任班长、体育委员等 5 种不同的工作,但体育委员必须由男生 担任,班长必须由女生担任. 12.(能力提升)已知 10 件不同产品中共有 4 件次品,现对它们进行一一测试,直至找到所有次品 为止. (1)若恰在第 5 次测试,才测试到第一件次品,第 10 次才找到最后一件次品的不同测试方法数有 多少种? (2)若恰在第 5 次测试后,就找出了所有次品,则这样的不同测试方法数有多少种? [B 组] 1.某教师一天上 3 个班级的课,每班一节,如果一天共 9 节课,上午 5 节、下午 4 节,并且教师 不能连上 3 节课(第 5 和第 6 节不算连上),那么这位教师一天的课的所有排法有( ) A.474 种 B.77 种 C.462 种 D.79 种 2. 若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大, 则称这个数为“伞数”, 现从 1,2,3,4,5,6 这六个数字中任取 3 个数字,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有( ) A.120 个 B.80 个 C.40 个 D.20 个 3.(2014 年呼和浩特模拟)奥运选手选拔赛上,8 名男运动员参加 100 米决赛.其中甲、乙、丙三 人必须在 1、2、3、4、5、6、7、8 八条跑道的奇数号跑道上,则安排这 8 名运动员比赛的方式共 有________种.
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第三节

二项式定理

[最新考纲展示] 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 考点一 二项式定理 1.二项式定理
n 1 n 1 n k k n * 公式(a+b)n=C0 b+?+Ck b +?+Cn na +Cna na nb (n∈N )叫做二项式定理.
- -

2.二项展开式的通项
n r r Tr+1=Cr b 为展开式的第 na


项.

考点二 二项式系数与项的系数 1.二项式系数 二项展开式中各项的系数 C(r∈{0,1,?,n})叫做二项式系数. 2.项的系数 项的系数是该项中非字母因数部分,包括符号等.与二项式系数是两个不同的概念. 3.二项式系数的性质

4.各二项式系数的和 n n n (a+b) 的展开式的各个二项式系数的和等于 2 ,即_______________________________=2 . 二项展开式中,偶数项的二项式系数的和 奇数项的二项式系数的和,即 = = . 1 n 注意:二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指 C0 n,Cn,?,Cn,它只与 各项的项数有关,而与 a,b 的值无关;而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各 项的项数有关,而且也与 a,b 的值有关.如(a+bx)n 的展开式中,第 k+1 项的二项式系数是 Ck n,
n k k 而该项的系数是 Ck b .当然,在某些二项展开式中,各项的系数与二项式系数是相等的. na


基础自测: 7 2 1.(1+x) 的展开式中 x 的系数是( ) A.42 B.35 C.28 D.21 1 3 ?5 2.二项式? ?x -x2? 的展开式中的常数项为________. 3.若(x-1) =a0+a1x+a2x +a3x +a4x ,则 a0+a2+a4 的值为( A.9 B.8 C.7 D.6
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4 2 3 4

)

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3 1?4 4.? ?x -x? 展开式中常数项为________ 5 6 3 5.在(1-x) +(1-x) 的展开式中,含 x 的项的系数是________. 类型一 二项展开式中的特定项或特定项的系数 2?n 【例 1】 (1)(2014 年潍坊模拟)若二项式 ? ? x- x? 的展开式中第 5 项是常数项,则自然数 n 的值

可能为( A.6

) B.10
5

C.12
2

D.15 )

(2)已知(1+ax)(1+x) 的展开式中 x 的系数为 5,则 a=( A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 变式训练

2 1?n 1.(2014 年密云调研)若二项式? ?3x -x? 的展开式中各项系数的和是 512,则展开式中的常数项为

(

) B.27C3 9 D.9C4 9

A.-27C3 9
4 C.-9C9

类型二 二项式系数的和或各项的系数和 9 【例 2】 二项式(2x-3y) 的展开式中,求: (1)二项式系数之和; (2)各项系数之和; (3)所有奇数项系数之和.

类型三 二项式定理的应用与函数最值问题 【例 3】 (1)设 a∈Z,且 0≤a<13,若 512 012+a 能被 13 整除,则 a=( ) A.0 B.1 C.11 D.12 2 ?n (2)二项式? ? x+x2? 的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中常数项是( A.180 B.90 C.45 D.360

)

变式训练 2.(2013 年高考全国新课标卷Ⅰ)设 m 为正整数,(x+y)2m 展开式的二项式系数的最大值为 a,(x + +y)2m 1 展开式的二项式系数的最大值为 b,若 13a=7b,则 m=( ) A.5 B.6 C.7 D.8

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高考热点——二项式定理题型透析 通过对近三年高考试题的研究可以看出,二项式定理的应用及二项式系数的性质是高考的必考内 容之一,二项式定理揭示了二项式的幂展开式在项数、系数以及各项中的指数等方面的联系,试 题相对独立,是高考中多年来最缺少变化的题型之一. 1 【典例 1】 (2013 年高考天津卷)?x- ?6 的二项展开式中的常数项为________. x? ? 【典例 2】 (2013 年高考四川卷)二项式(x+y)5 的展开式中,含 x2y3 的项的系数是________.(用 数字作答) 练习: a 3 ?9 1.已知? ) ?x+ x? (a 为实数)的展开式中 x 的系数为 18,则展开式中的常数项为( A.42 B.672 21 C. 2 D.366

1?5 2 2.在? ?2x -x? 的二项展开式中,x 的系数为( A.10 B.-10 C.40

) D.-40

[A 组 基础演练· 能力提升] 1 x2- ?n 的展开式中各项系数的和为( 1.二项式? x? ? A.32 B.-32 C.0 ) D.1 ) D.-40 ) D.6 项 )

2 ?5 2 2.(2013 年高考江西卷)? ?x -x3? 展开式中的常数项为( A.80 B.-80 C.40 3.在?

? x+ 1 ?24 3 ? 的展开式中,x 的幂指数是整数的项共有( x? ?
B.4 项 C.5 项

A.3 项

a?8 4.已知? ?x-x? 展开式中常数项为 1 120,其中实数 a 是常数,则展开式中各项系数的和是( A.28 C.1 或 38 B.38 D.1 或 28 )

5.已知(1+x)10=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+?+a10(1-x)10,则 a8=( A.180 B.90 C.-5 D.5

1 ?n 6.(2013 年高考辽宁卷)使得?3x+ (n∈N+)的展开式中含有常数项的最小的 n 为( x x? ? A.4 B.5 C.6 D.7

)

? x- 1 ?5 7.(2013 年高考浙江卷)设二项式? 3 ? 的展开式中常数项为 A,则 A=________. x? ?
8.设(2x-1)6=a6x6+a5x5+?+a1x+a0,则|a0|+|a1|+|a2|+?+|a6|=________.
n 2 2 1 9.若 n 是正整数,则 7n+7n 1C1 Cn+?+7Cn n+7 n 除以 9 的余数是________.
- - -

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? 1? 10.已知二项式? 3 x+ ?n 的展开式中各项的系数和为 256. x? ? (1)求 n; (2)求展开式中的常数项.

11.已知?

? x+ 1 ?n 4 ? 的展开式中,前三项系数成等差数列. 2 x? ?

(1)求 n; (2)求第三项的二项式系数及项的系数; (3)求含 x 项的系数.

1 ?n 12.(能力提升)已知? ?2+2x? , (1)若展开式中第 5 项,第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项 的系数; (2)若展开式前三项的二项式系数和等于 79,求展开式中系数最大的项.

[B 组 因材施教· 备选练习] 1 3 1.(2014 年聊城一模)若?x - ?n 的展开式中第三项与第五项的系数之比为 ,则展开式中常数 14 x ? ? 项是( ) A.-10 B.10 C.-45 D.45 4 2k 2n 2.C2 + C +?+ C +?+ C 的值为 ( ) 2n 2n 2n 2n - A.2n B.22n 1 - C.2n-1 D.22n 1-1 5 2 3 3.(2014 年银川模拟)若(2x-3) =a0+a1x+a2x +a3x +a4x4+a5x5,则 a1+2a2+3a3+4a4+5a5= ________.
2

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第四节

随机事件的概率

[最新考纲展示] 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别. 2.了解两个互斥 事件的概率加法公式. 考点一 随机事件及其概率和频率 1.事件 (1)在条件 S 下, 的事件,叫做相对于条件 S 的必然事件. (2)在条件 S 下, 的事件,叫做相对于条件 S 的不可能事件. (3)在条件 S 下, 的事件,叫做相对于条件 S 的随机事件. 2.概率和频率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出 nA 现的频数,称事件 A 出现的比例 fn(A)= 为事件 A 出现的频率. n (2)对于给定的随机事件 A,由于事件 A 发生的频率 fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率 P(A),因此可以用 来估计概率 P(A). 思考:频率与概率有什么区别与联系? 频率在一定程度上可以反映事件发生的可能性的大小.因为频率不是一个完全确定的数,随着试验次数的不同产 生的频率也可能不同,所以频率无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小.但从大量的重复试验中发现,随 着试验次数的增加,频率就稳定在某一固定的值上,频率具有某种稳定性. 概率是一个常数,它是频率的科学抽象,当试验次数增加时,所得的频率可近似地当作事件的概率. 考点二 事件的关系与运算

怎样区分互斥事件与对立事件? 互斥事件与对立事件都是指两个事件的关系,互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个 事件不同时发生外,还要求必须有一个发生.因此,对立事件一定是互斥事件,而互斥事件未必是对立事件.例 如:掷一枚骰子“出现的点数是 1”与“出现的点数是偶数”是互斥事件,但不是对立事件;而“出现的点数是 奇数”与“出现的点数是偶数”是互斥事件,也是对立事件. 考点三 概率的基本性质 1.概率的取值范围: . 2.必然事件的概率:P(E)= . 3.不可能事件的概率:P(F)= . 4.概率的加法公式 如果事件 A 与事件 B 互斥,则 P(A∪B)= . 5.对立事件的概率 若事件 A 与事件 B 互为对立事件,则 A∪B 为必然事件.P(A∪B)=1,P(A)= . 1.当一个事件包含多个结果时要用到概率加法公式的推广,即 P(A1∪A2∪?∪An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An),注 意涉及的各事件要彼此互斥. 高三理科数学 第 13 页 2015-2-2

2.P( A1∪A2∪?∪An )=1-P(A1∪A2∪?∪An)=1-P(A1)-P(A2)-?-P(An). 基础自测 1.掷一枚均匀的硬币两次,事件 M:一次正面朝上,一次反面朝上;事件 N:至少一次正面朝上.则下列结果正 确的是( A.P(M)= 1 3 ) P(N)= 1 2 1 B.P(M)= 2 P(N)= 1 2 C.P(M)= 1 3 P(N)= 3 4 1 D.P(M)= 2 ) 3 P(N)= 4

m m 2.在 n 次重复进行的试验中,事件 A 发生的频率为 ,当 n 很大时,P(A)与 的关系是( n n A.P(A)≈ m n m B.P(A)< n m C.P(A)> n m D.P(A)= n

3.(2014 年长沙调研)甲:A1、A2 是互斥事件;乙:A1、A2 是对立事件,那么( ) A.甲是乙的充分但不必要条件 B.甲是乙的必要但不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件 4.2013 年亚冠决赛由中国广州恒大与韩国首尔 FC 强强较量.中国选手获胜的概率为 0.41.战平的概率为 0.27, 那么中国选手不输的概率为________. 5.从分别写有 0,1,2,3,4 的五张卡片中取出一张卡片,记下数字后放回,再从中取出一张卡片.则两次取出的卡 片上的数字之和恰好等于 4 的概率是________. 类型一 随机事件的频率与概率 【例 1】 (2013 年高考湖南卷)某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉 点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收货量 Y(单位: kg)与它的“相近”作物株数 X 之间的关系如下表所示

这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米. (1)完成下表,并求所种作物的平均年收获量:

(2)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为 48 kg 的概率.

变式训练 1.假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为 了解他们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取 100 个进行测试,结果统计如图所示: (1)估计甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率; (2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了 200 小时,试估计该产品 是甲品牌的概率.

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类型二 件.

事件关系的判断

【例 2】 从装有 5 只红球,5 只白球的袋中任意取出 3 只球,判断下列每对事件是否为互斥事件,是否为对立事

(1)“取出 2 只红球和 1 只白球”与“取出 1 只红球和 2 只白球” ; (2)“取出 2 只红球和 1 只白球”与“取出 3 只红球” ; (3)“取出 3 只红球”与“取出 3 只球中至少有 1 只白球” ; (4)“取出 3 只红球”与“取出 3 只球中至少有 1 只红球” . 变式训练 2.一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字 1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷 1 次,设事件 A 表示向上的 一面出现奇数点,事件 B 表示向上的一面出现的点数不超过 3,事件 C 表示向上的一面出现的点数不小于 4,则 ( ) B.A 与 B 是对立事件 D.B 与 C 是对立事件 A.A 与 B 是互斥而非对立事件 C.B 与 C 是互斥而非对立事件 类型三 【例 3】 互斥事件、对立事件的概率 某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为 0.3、0.2、0.1、0.4.

(1)求他乘火车或乘飞机去开会的概率; (2)求他不乘轮船去开会的概率.

高考热点——互斥事件与对立事件的概率 从近两年高考命题看,随机事件及其概率基本上不单独考查,但概率与统计交汇、互斥事件、对立事件与古典概 型、几何概型渗透是命题的热点,题目不超过中等难度,重点考查学生分析问题与数学计算能力,解题的关键是 准确理解事件间关系及其概率. 【典例】 (2014 年洛阳模拟)(本题满分 12 分)经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下: 求(1)至多 2 人排队等候的概率是多少? (2)至少 3 人排队等候的概率是多少? [A 组] 1.一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( ) A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C.只有一次中靶 D.两次都不中靶 2.(2014 年绍兴一模)从 1,2,?,9 中任取两数,其中:①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个奇数和 两个数都是奇数;③至少有一个奇数和两个数都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数. 在上述事件中,是对立事件的是( ) A. ① B.②④ C.③ D.①③ 3. (2014 年日照模拟)从一箱产品中随机抽取一件, 设事件 A={抽到一等品}, 事件 B={抽到二等品}, 事件 C={抽 到三等品},且已知 P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的不是一等品”的概率为( ) A.0.7 B.0.65 C.0.35 D.0.3 高三理科数学 第 15 页 2015-2-2

4.盒中装有 10 个乒乓球,其中 6 个新球,4 个旧球.不放回地依次取出 2 个球使用,在第一次取出新球的条件 下,第二次也取到新球的概率为( ) 3 1 5 2 A. B. C. D. 5 10 9 5 5.下面的茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损,则甲 的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是( ) 2 7 4 9 B. C. D. 5 10 5 10 6.第 27 届世界大学生夏季运动会在于 2013 年 7 月 7 日在喀山体育场正式开幕,运动会期间从来自 A 大学的 2 名志愿者和来自 B 大学的 4 名志愿者中随机抽取 2 人到体操比赛场馆服务,至少有一名 A 大学志愿者的概率是 ( ) 1 2 3 14 A. B. C. D. 15 5 5 15 7.对飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹.设 A={两次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰有一 次击中飞机},D={至少有一次击中飞机},其中彼此互斥的事件是________,互为对立事件的是________. 1 1 8.抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件 A 为出现奇数点,事件 B 为出现 2 点,已知 P(A)= ,P(B)= ,则 2 6 出现奇数点或 2 点的概率为________. 9.(2014 年成都模拟)某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品.若生产中出现乙级品的概率为 0.03, 丙级品的概率为 0.01,则对成品抽查一件抽得正品的概率为________. 1 5 10.袋中有红球、黑球、黄球、绿球若干,从中任取一球,得到红球的概率为 ,得到黑球或黄球的概率为 ,得 3 12 5 到黄球或绿球的概率为 ,求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是多少? 12 11.黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示: A B AB O 血型 28 29 8 35 该血型的人所占比/% 已知同种血型的人可以输血,O 型血可以输给任一种血型的人,任何人的血都可以输给 AB 型血的人,其他不同 血型的人不能互相输血.小明是 B 型血,若小明因病需要输血,问: (1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少? (2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少? A.

12.(能力提升)某校共有学生 1 200 名,各年级男、女生人数如下表: 七年级 八年级 九年级 a 216 b 女生 198 222 c 男生 已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到七年级女生的概率是 0.17. (1)求 a 的值; (2)现用分层抽样的方法在全校抽取 200 名学生,问应在九年级抽取多少名学生? (3)已知 175≤b≤183,求九年级中女生不少于男生的概率.

[B 组] 1.甲、乙二人玩数字游戏,先由甲任想一数字,记为 a,再由乙猜甲刚才想的数字,把乙猜出的数字记为 b,且 a,b∈{1,2,3},若|a-b|≤1,则称甲、乙“心有灵犀”,现任意找两个人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概 率为( ) 1 5 2 7 A. B. C. D. 3 9 3 9 2.(2014 年日照模拟)某学校成立了数学、英语、音乐 3 个课外兴趣小组,3 个小组分别有 39、32、33 个成员,一 些成员参加了不止一个小组,具体情况如图所示. 现随机选取一个成员,他属于至少 2 小组的概率是________,他属于不超过 2 个小组的概率是 ________.

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