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成都七中高一上学期期末考试数学试题及答案


高一上学期期末考试数学试题
一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 若 ?2, 3? A. 5 2. 函数 f ( x) ? A. ? ? , ?? ? ? 3 ?
? 1 ?

M
2

?1,3,5?, 则M的个数为:

2,4,
C. 7
? lg(3x ? 1) 的定义域是:

B. 6
3x 1? x

D. 8

1? ? ? 1 1? ? 1 ? B. ? ??, ? ? C. ? ? , ? D. ? ? ,1? 3 3? 3? ? ? ? 3 ? 3. 一个圆柱的侧面展开图是正方形,这个圆柱的表面积与侧面积之比是:

A.

1? 2? 2?
2

B.

1? 4? 4?
1

C.

1? 2?

?
C. y ? x 3
1

D.

1? 4?

?
D. y ? x
?3

4. 下列函数中既是奇函数,又是其定义域上的增函数的是: A. y ? x B. y ? x 2

5. 把正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二角后,下列命题正确的是: A. AB ? BC A. [?4, ??) B. AC ? BD C. CD ? 平面ABC
2

D. 平面ABC ? 平面ACD D. [?4,5) 7 -129.6

6. 已知函数 f ( x) ? x ? 4 x, x ? [1,5) ,则此函数的值域为: B. [?3,5) C. [?4,5] 7. 已知函数 f ? x ? 的图像是连续不断的,有如下的 x, f ? x ? 对应值表: x 1 2 3 4 5 6

f ? x?

123.5

21.5

-7.82

11.57

-53.7

-126.7

那么函数 f ? x ? 在区间 ?1, 6 ? 上的零点至少有: A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个

8. 若函数 f ? x ? 在 R 上是单调递减的奇函数,则下列关系式成立的是: A. f ? 3? ? f ? 4 ? B. f ? 3? ? ? f ? ?4 ? C. ? f ? ?3? ? f ? ?4 ? D. f ? ?3? ? f ? ?4 ?

9. 已知直线 l 在 x 轴上的截距为 1,且垂直于直线 y ? A. y ? ?2 x ? 2 B. y ? ?2 x ? 1

1 x ,则 l 的方程是: 2
D. y ? 2 x ? 1

C. y ? 2 x ? 2

10. 若两直线 y ? x ? 2k 与 y ? 2 x ? k ? 1 的交点在圆 x ? y ? 4 上,则 k 的值是:
2 2

A. ?

1 或 ?1 5

B. ?

1 或1 5

C. ?

1 或1 3

D. ? 2 或 2

二、

填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 把答案填在题中的横线上.

11. 圆台的上,下底面积分别为 ? ,4? ,侧面积为 6? ,则这个圆台的体积是 12. 对于函数 y ? ( )

1 2

x2 ? x ?

3 4

的值域

13. 若平面 ? ∥ 平面? ,点 A, C ? ? , 点B, D ? ? , 且AB ? 48, CD ? 25, 又 CD 在平面 ? 内 的射影长为 7,则 AB 于平面 ? 所长角的度数是 14. 若 a ? 2 ? 3

?

?

?1

,b ? 2 ? 3

?

?

?1

,则 ? a ? 1?

?2

? ? b ? 1? 的值是
?2

三、 解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15(本小题满分 12 分) 若 0 ? x ? 2 ,求函数 y ? 4
x? 1 2

? 3 ? 2x ? 5 的最大值和最小值.

16(本小题满分 12 分) 求过点 A?2,?1? ,圆心在直线 y ? ?2 x 上,且与直线 x ? y ? 1 ? 0 相切的圆的方程.

17(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ?

2 . x

(1)判断 f (x) 的奇偶性,并证明你的结论; (2)证明:函数 f (x) 在

?

2 ,?? 内是增函数.

?

18(本小题满分 14 分) (本小题 14 分)如图,棱长为 1 的正方体

D A B

C

ABCD ? A1 B1C1 D1 中,
(1)求证: AC ? 平面B1 D1 DB ; (2) 求三棱锥 B ? ACB1 的体积.

D1

C1
B1

A1

19. (本小题满分 12 分) 某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过 0.1%,若最初时含杂质 2%,每 过滤一次可使杂质含量减少

1 ,问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求? 3

(已知 lg 2 ? 0.3010 , lg3 ? 0.4771 )

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ? x ? ? lg a ? b
x

?

x

? ? a ? 1 ? b ? 0? .

(1)求 y ? f ? x ? 的定义域; (2)在函数 y ? f ? x ? 的图像上是否存在不同的两点,使过此两点的直线平行于 x 轴; (3)当 a, b 满足什么关系时, f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上恒取正值.

一. B D A C B 二. 11.

D B C A B 12. ? ??, ?

7 3 ? 3

? ?

2? ? 2 ?
? 1 2

13. 30

?

14.

2 3
(2 分)

三. 15. 解:原式可变形为 y ? 4 ? 4
x

? 3 ? 2x ? 5 ,

2 1 ? ? 2x ? ? 3 ? 2x ? 5 ? 0 ? x ? 2 ? 2 1 x 令 2 ? t ,则问题转化为 y ? t 2 ? 3t ? 5 ?1 ? t ? 4 ? 2 1 1 2 将函数配方有 y ? ? t ? 3? ? ?1 ? x ? 4 ? 2 2

即y?

(4 分) (6 分) (8 分)

根据二次函数的区间及最值可知: 当 t ? 3 ,即 2 ? 3 时,函数取得最小值,最小值为
x

1 . 2

(10 分) (12 分)

当 t ? 1,即 x ? 0 时,函数取得最大值,最大值为 16. 解:设圆心为 ?a,?2a ? ,圆的方程为

5 . 2

?x ? a ?2 ? ? y ? 2a ?2 ? r 2
??2 ? a ?2 ? ?? 1 ? 2a ?2 ? r 2 ? 则 ? a ? 2a ? 1 ?r ? 2 ?
解得 a ? 1 , r ?

(2 分)

(6 分)

2
2 2

(10 分) (12 分) (1 分)

因此,所求得圆的方程为 ?x ? 1? ? ? y ? 2? ? 2 17. 解: (1)函数的定义域是 ?? ?,0? ? ?0,???

? f (? x) ? ? x ?
? f (x) 是奇函数
(2)设

2 2 ? ?( x ? ) ? ? f ( x) ?x x
(5 分)

x1 , x 2 ?

?

2, ? ? ,且 x1 ? x2

?

(6 分) (7 分)

则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? x1 ?

2 2 ? ( x2 ? ) x1 x2

? ( x1 ? x2 ) ? ( ? ( x1 ? x2 )(

2 2 ? ) x1 x2

x1 x2 ? 2 ) (10 分) x1 x2 ? 2 ? x1 ? x 2 ,? x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 2 ? 0, x1 x2 ? 0 (12 分)

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,即f ( x1 ) ? f ( x2 )
故 f (x) 在

(13 分) (14 分)

?

2,+? 内是增函数

?

18. 解:(1)证明:? ?

? BB1 ? 平面ABCD ? AC ? 平面ABCD

? BB1 ? AC

(3 分) (5 分) (7 分)

在正方形 ABCD 中, AC ? BD ,

? AC ? 平面B1 D1 DB
(2) V三棱锥 B ? ACB1 ? V三棱锥 C ? ABB1 ?

1 1 (14 分) ? CB ? S ?ABB1 ? 3 6 1 2 19.解:每过滤一次可使杂质含量减少 ,则杂质含量降为原来的 ,那么过滤 n 次后杂 3 3
2 ?2? ?? ? , 质含量为 100 ? 3 ?
结合按市场要求杂质含量不能超过 0.1%,
n

(2 分)

2 ?2? 1 ?2? ? ? ? ? 0.1% ,即 ? ? ? 则有 , 20 100 ? 3 ? ?3?
则 n ? lg 2 ? lg 3? ? ? ?1 ? lg 2 ? , 故n ?

n

n

(6 分)

(8 分)

1 ? lg 2 ? 7.4 , lg 3 ? lg 2

(10 分) (12 分) (2 分)

考虑到 n ? N ,故 n ? 8 ,即至少要过滤 8 次才能达到市场要求.

?a? 20. 解: (1)由 a ? b ? 0 得 ? ? ? 1 , ?b?
x x

x

由已知

a ? 1 ,故 x ? 0 , b

(3 分) (4 分)

即函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0, ?? ? .

(2)设 x1 ? x2 ? 0,? a ? 1 ? b ? 0,

(5 分) (6 分) (7 分) (9 分) (10 分)

? a x1 ? a x2 , b x1 ? b x2 , 则 ?b x1 ? ?b x2 .
故 a 1 ?b 1 ? a 2 ?b
x x x x2

?0,

? lg ? a x1 ? b x1 ? ? lg ? a x2 ? b x2 ?
即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? .? f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上为增函数.

假设函数 y ? f ? x ? 的图像上存在不同的两点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,使直线 AB 平行于 x 轴,即 x1 ? x2 , y1 ? y2 ,这与 f ? x ? 是增函数矛盾.故函数 y ? f ? x ? 的图像上不存在不同 的两点,使过这两点的直线平行于 x 轴. (3)由(2)知, f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 是增函数, (11 分)

? f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上也是增函数.

(12 分) (13 分) (15 分) (16 分)

?当 x ? ?1, ?? ? 时, f ? x ? ? f ?1? . ?只需 f ?1? ? 0 ,即 lg ? a ? b ? ? 0 ,即 a ? b ? 1 ,
a ? b ? 1时, f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上恒取正值.


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