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高中数学必修5模块测试卷


8.设等差数列{an}的公差为 2,前 n 项和为 Sn,则下列结论中正确的

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤. 17. (本题满分 12 分) a3+b3-c3 在△ABC 中, A、 C 所对的三边长分别为 a、 c, 角 B、 b、 若 a+b-c =c2,a=4 3,B=45° ,求△ABC 的面

积.

18. (本题满分 12 分) 已知不等式 x2-2x-3<0 的解集为 A,不等式 x2+4x-5<0 的

高中数学必修 5 模块测试卷
本试卷共 4 页,分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部 分.共 150 分.考试用时 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题共 60 分) 一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给 出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M={x|x2<4},N={x|x2-2x-3<0},则集合 M∩N 等于 ( ) A.{x|x<-2} C.{x|-1<x<2} B.{x|x>3} D.{x|2<x<3}

是(

) A.Sn=nan-3n(n-1) C.Sn=nan-n(n-1) B.Sn=nan+3n(n-1) D.Sn=nan+n(n-1)

解集为 B. (1)求 A∪B; (2)若不等式 x2+ax+b<0 的解集是 A∪B,求 ax2+x+b<0 的解集.

9.若一个等差数列前三项的和为 34,最后三项的和为 146,且所有 项的和为 390,则这个数列有( A.13 项 C.11 项 ) B.12 项 D.10 项

10. (2009 年高考江西卷)公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 a4 是 a3 与 a7 的等比中项,S8=32,则 S10 等于( A.18 C.60 B.24 D.90 )

2.已知△ABC 中,AB= 3,AC=1 且 B=30° ,则△ABC 的面积等 于( ) 3 A. 2 3 B. 4 3 C. 或 3 2 3 3 D. 或 4 2

11.在△ABC 中,若三边 a,b,c 的倒数成等差数列,则边 b 所对的 角为( ) B.直角 D.不能确定

A.锐角 C.钝角

3.在不等边△ABC 中,a 为最大边,如果 a2<b2+c2,则 A 的取值范 围是( ) B.45° <A<90° D.0° <A<90°

12.若△ABC 的三边长为 a,b,c,且 f(x)=b2x2+(b2+c2-a2)x+c2, 则 f(x)的图象是( ) B.在 x 轴的下方 D.与 x 轴交于两点

A.90° <A<180° C.60° <A<90°

A.在 x 轴的上方 C.与 x 轴相切

An 7n+1 4. 若两个等差数列{an}、 n}前 n 项和分别为 An、 n, {b B 满足 = Bn 4n+27 a11 (n∈N+),则 的值为( b11 A. C. 7 4 ) 3 B. 2 D. 78 71 1 ,则数 anan+1

二、填空题(本大题目共 4 题,每小题 4 分,共 16 分) 13.等比数列{an}中,a2=2,a5=16,那么数列{an}的前 6 项和 S6= ________.

4 3

?x+y-2≥0 ? 14.(2009 年高考北京卷)若实数 x,y 满足?x≤4 ?y≤5 ?
的最小值为________.

,则 s=y-x

5.数列{an}满足 a1=1,a2=2,2an+1=an+an+2,若 bn= 列{bn}的前 5 项和等于( A.1 C. 1 6 ) 5 B. 6 D. 1 30

15. 已知△ABC 中, 三个内角 A、 C 的对边分别是 a、 c, B、 b、 若△ABC 的面积为 S,且 2S=(a+b)2-c2,则 tanC 的值为________. 16.设集合 A={x|x2-2x-3>0},B={x|x2+ax+b≤0},若 A∪B=R, A∩B=(3,4],则 a+b=________.

1 1 6.设 x,y∈R,a>1,b>1,若 ax=by=3,a+b=2 3.则 + 的最 x y 大值为( A.2 C.1 ) 3 B. 2 D. 1 2

7. 若关于 x 的不等式(1+k2)x≤k4+4 的解集是 M, 则对任意实常数 k, 总有( ) B.2?M,0∈M D.2?M,0?M

A.2∈M,0∈M C.2∈M,0?M

高考数学模拟试卷 第 1 页,共 8 页

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19. (本题满分 12 分) △ABC 中角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a(1+cosC)+c(1 +cosA)=3b. (1)求证:a,b,c 成等差数列; (2)求 cosB 的最小值.

20. (本题满分 12 分) .如图所示,a 是海面上一条南北方向的海防警戒线.在 a 上点 A 处有一个水声监测点,另两个监测点 B、C 分别在 A 的正东方 20 km 处和 54 km 处.某时刻,监测点 B 收到发自静止目标 P 的一个声波, 8 s 后监测点 A,20 s 后监测点 C 相继收到这一信号,在当时气象条件 下,声波在水中的传播速率是 1.5 km/s. (1)设 A 到 P 的距离为 x km,用 x 表示 B、C 到 P 的距离,并求 x 的 值; (2)求静止目标 P 到海防警戒线 a 的距离(精确到 0.01 km).

21. (本题满分 13 分) n+1 1 在数列{an}中,a1=1,an+1=(1+ )an+ n . n 2 an (1)设 bn= ,求数列{bn}的通项公式; n (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.

22. (本题满分 13 分)

?x>0 ? 设不等式组?y>0 ? ?y≤-nx+3n
整点个数为 an(n∈N+).

所表示的平面区域为 Dn,记 Dn 内的

(1)求数列{an}的通项公式; (2)记数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Tn= 数 n,总有 Tn≤m,求实数 m 的取值范围. Sn - ,若对一切的正整 3·n 1 2

高考数学模拟试卷

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高中数学必修 5 模块测试卷答案
本试卷共 4 页,分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部 分.共 150 分.考试用时 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题共 60 分) 二、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给 出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M={x|x2<4},N={x|x2-2x-3<0},则集合 M∩N 等于( ) A.{x|x<-2} B.{x|x>3} C.{x|-1<x<2} D.{x|2<x<3} 解析: C.M={x|-2<x<2}, 选 N={x|-1<x<3}, M∩N={x| 故 -1<x<2}. 2.已知△ABC 中,AB= 3,AC=1 且 B=30° ,则△ABC 的面 积等于( ) 3 3 A. B. 2 4 3 3 3 C. 或 3 D. 或 2 4 2 答案:D 3.在不等边△ABC 中,a 为最大边,如果 a2<b2+c2,则 A 的取 值范围是( ) A.90° <A<180° B.45° <A<90° C.60° <A<90° D.0° <A<90° 解析:选 C.由 b2+c2-a2>0 得 cosA>0,故 A<90° ,又 A 为不 等边三角形中的最大角,故 A>60° . An 4.若两个等差数列{an}、{bn}前 n 项和分别为 An、Bn,满足 = Bn 7n+1 a11 (n∈N+),则 的值为( ) b11 4n+27 7 3 A. B. 4 2 4 78 C. D. 3 71 n?a1+a21? 2 21+1 4 a11 2a11 a1+a21 A21 7× 解析:选 C. = = = = = = . b11 2b11 b1+b21 n?b1+b21? B21 4× 21+27 3 2 1 5.数列{an}满足 a1=1,a2=2,2an+1=an+an+2,若 bn= , anan+1 则数列{bn}的前 5 项和等于( ) 5 A.1 B. 6 1 1 C. D. 6 30 解析:选 B.由 2an+1=an+an+2, 得{an}为等差数列,公差 d=a2-a1=1, ∴an=a1+(n-1)× 1=n, 1 1 1 1 ∴bn= = = - , anan+1 n?n+1? n n+1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴{bn}的前 5 项和为 S5=1- + - + - + - + - =1- 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 5 = . 6 1 1 6.设 x,y∈R,a>1,b>1,若 ax=by=3,a+b=2 3.则 + 的 x y 最大值为( ) 3 A.2 B. 2 1 C.1 D. 2

解析:选 C.x=loga3,y=logb3, a+b 2 1 1 1 1 则 + = + =log3a+log3b=log3ab≤log3( ) =1,当 x y loga3 logb3 2 且仅当 a=b= 3时取等号, 1 1 所以 + 的最大值为 1. x y 7.若关于 x 的不等式(1+k2)x≤k4+4 的解集是 M,则对任意实常 数 k,总有( ) A.2∈M,0∈M B.2?M,0∈M C.2∈M,0?M D.2?M,0?M k4+4 解析:选 A.M={x|x≤ 2 }, k +1 4 4 k +4 k -1+5 2 5 ∵ 2 = 2 =k -1+ 2 k +1 k +1 k +1 5 =k2+1+ 2 -2≥2 5-2>2. k +1 ∴2∈M,0∈M. 8.设等差数列{an}的公差为 2,前 n 项和为 Sn,则下列结论中正 确的是( ) A.Sn=nan-3n(n-1) B.Sn=nan+3n(n-1) C.Sn=nan-n(n-1) D.Sn=nan+n(n-1) 解析:选 C.因为 an=a1+(n-1)d, 所以 a1=an-2(n-1), n?a1+an? 2an-2?n-1? 所以 Sn= = × n 2 2 =nan-n(n-1). 9.若一个等差数列前三项的和为 34,最后三项的和为 146,且 所有项的和为 390,则这个数列有( ) A.13 项 B.12 项 C.11 项 D.10 项 解析:选 A.设此数列为{an},则 a1+a2+a3=34,an+an-1+an-2=146, ∴3(a1+an)=180,∴a1+an=60. n?a1+an? 60n 又 Sn= ,∴390= , 2 2 解得 n=13. 10.(2009 年高考江西卷)公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和 为 Sn,若 a4 是 a3 与 a7 的等比中项,S8=32,则 S10 等于( ) A.18 B.24 C.60 D.90 解析:选 C.由 a2=a3·7,∴(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d). a 4 ∵d≠0,∴2a1+3d=0.① ∵S8=32,∴a1+a8=8,∴2a1+7d=8.② ?a1=-3, 10× 9 由①②得? ∴S10=-3× 10+ × 2=60. 2 ?d=2, 11.在△ABC 中,若三边 a,b,c 的倒数成等差数列,则边 b 所 对的角为( ) A.锐角 B.直角 C.钝角 D.不能确定 1 1 1 解析:选 A.设公差为 d.当 d=0 时, = = ,∴a=b=c,B= a b c 1 1 1 1 1 60° d>0 时, < < ,∴c<b<a,B 为锐角,当 d<0 时, > > .当 a b c a b 1 ,∴a<b<c,B 为锐角.∴B 为锐角. c 12.若△ABC 的三边长为 a,b,c,且 f(x)=b2x2+(b2+c2-a2)x 2 +c ,则 f(x)的图象是( ) A.在 x 轴的上方 B.在 x 轴的下方 C.与 x 轴相切 D.与 x 轴交于两点 解析:选 A.由 Δ=(b2+c2-a2)2-4b2c2=4b2c2cos2A-4b2c2=- 4b2c2sin2 A<0,故 f(x)图象与 x 轴无交点,又 b2>0 则图象在 x 轴上 方.

二、填空题(本大题目共 4 题,每小题 4 分,共 16 分) 13.等比数列{an}中,a2=2,a5=16,那么数列{an}的前 6 项和 S6=________. ?a1q=2 解析:设公比为 q,则? 4 , ?a1q =16 ?a1=1 解得? , ?q=2 1·?1-2 ? =63. 1-2 答案:63 ∴S6= 14.(2009 年高考北京卷)若实数 x,y 满足?x≤4
6

又因为 0° <C<180° ,所以 C=60° . 因为 B=45° ,A+B+C=180° , 所以 A=180° -(60° +45° )=75° .根据正弦定理得 2 4 3× 2 asinB 所以 b= = =12-4 3. sinA 6+ 2 4 1 1 根 据 三 角 形 的 面 积 公 式 得 S△ABC = absinC = × 3 × - 4 (12 2 2 3 4 3)× =36-12 3. 2 18. (本题满分 12 分) 已知不等式 x2-2x-3<0 的解集为 A,不等式 x2+4x-5<0 的 解集为 B. (1)求 A∪B; (2)若不等式 x2+ax+b<0 的解集是 A∪B, ax2+x+b<0 的解 求 集. 解:(1)解不等式 x2-2x-3<0,得 A={x|-1<x<3} 解不等式 x2+4x-5<0, 得 B={x|-5<x<1}, ∴A∪B={x|-5<x<3}. (2)由 x2+ax+b<0 的解集是(-5,3), ?25-5a+b=0 ?a=2 ∴? ,解得? , ?9+3a+b=0 ?b=-15 ∴2x2+x-15<0, 5 求得解集为{x|-3<x< }. 2 19. (本题满分 12 分) △ABC 中角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a(1+cosC)+c(1 +cosA)=3b. (1)求证:a,b,c 成等差数列; (2)求 cosB 的最小值. 解: (1)证明: 由正弦定理得 sinA(1+cosC)+sinC(1+cosA)=3sinB ? sinA+sinC+sinAcosC+cosAsinC=3sinB ? sinA+sinC+sin(A+C)=3sinB ? sinA+sinC=2sinB. 由正弦定理知 a+c=2b, 所以 a,b,c 成等差数列. a+c2 a2+c2-? ? 2 a2+c2-b2 (2)cosB= = 2ac 2ac 3a2+3c2-2ac 3 a2+c2 1 = = · - 8ac 8 ac 4 3 1 1 ≥ - = , 4 4 2 1 所以当 a=c 时,(cosB)min= . 2 20. (本题满分 12 分) .如图所示,a 是海面上一条南北方向的海防警戒线.在 a 上点 A 处有一个水声监测点,另两个监测点 B、C 分别在 A 的正东方 20 km 处和 54 km 处.某时刻,监测点 B 收到发自静止目标 P 的一个声波, 8 s 后监测点 A,20 s 后监测点 C 相继收到这一信号,在当时气象条件 下,声波在水中的传播速率是 1.5 km/s. a b = , sinA sinB

?x+y-2≥0 ? ?y≤5 ?

,则 s

=y-x 的最小值为________. 解析:如图画出可行域知,当直线过(4,-2)点时 smin=-6.

答案:-6 15.已知△ABC 中,三个内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c, 若△ABC 的面积为 S,且 2S=(a+b)2-c2,则 tanC 的值为________. 解析:依题意,得 absinC=a2+b2-c2+2ab. 由余弦定理知:a2+b2-c2=2abcosC. ∴absinC=2ab(1+cosC),即 sinC=2(1+cosC). C C C ∵sin cos =2cos2 , 2 2 2 C 又 0° <C<180° ,∴cos ≠0, 2 C C C ∴sin =2cos ,即 tan =2. 2 2 2 C 2tan 2 4 4 ∴tanC= = =- . C 1-4 3 1-tan2 2 4 答案:- 3 16.设集合 A={x|x2-2x-3>0},B={x|x2+ax+b≤0},若 A∪B =R,A∩B=(3,4],则 a+b=________. 解析:A={x|x<-1 或 x>3},又 A∪B=R,A∩B=(3,4],所以 B ={x|-1≤x≤4},即-1,4 是关于 x 的方程 x2+ax+b=0 的两个根,由 此得 a=-3,b=-4,故 a+b=-7. 答案:-7 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤. 17. (本题满分 12 分) 17.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的三边长分别为 a、b、c,若 a3+b3-c3 2 =c ,a=4 3,B=45° ,求△ABC 的面积. a+b-c a3+b3-c3 2 解:因为 =c , a+b-c 所以变形得(a+b)(a2+b2-c2-ab)=0. 因为 a+b≠0,所以 a2+b2-c2-ab=0, 即 a2+b2-c2=ab. a2+b2-c2 ab 1 根据余弦定理的推论得 cosC= = = . 2ab 2ab 2 高考数学模拟试卷 第 6 页,共 8 页

(1)设 A 到 P 的距离为 x km,用 x 表示 B、C 到 P 的距离,并求 x 的值; (2)求静止目标 P 到海防警戒线 a 的距离(精确到 0.01 km).

高考数学模拟试卷 第 5 页,共 8 页

解:(1)依题意,PA-PB=1.5× 8=12(km), PC-PB=1.5× 20=30(km), ∴PB=(x-12) km,PC=(x+18) km.

?x>0 ? 设不等式组?y>0 ?y≤-nx+3n ?

所表示的平面区域为 Dn,记 Dn 内的

整点个数为 an(n∈N+). (1)求数列{an}的通项公式; (2)记数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Tn= 在△PAB 中,AB=20 km,由余弦定理,得 PA2+AB2-PB2 cos∠PAB= 2PA· AB x2+202-?x-12?2 3x+32 = = . 2x· 20 5x 72-x 同理 cos∠PAC= . 3x 由于 cos∠PAB=cos∠PAC, 3x+32 72-x 132 即 = ,解得 x= km. 5x 3x 7 (2)作 PD⊥a,垂足为 D,在 Rt△PDA 中, PD=PAcos∠APD=PAcos∠PAB 3x+32 =x· ≈17.71(km). 5x 所以,静止目标 P 到海防警戒线 a 的距离约为 17.71 km. 21. (本题满分 12 分) n+1 1 在数列{an}中,a1=1,an+1=(1+ )an+ n . n 2 an (1)设 bn= ,求数列{bn}的通项公式; n (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. an+1 an 1 解:(1)由已知得 b1=a1=1 且 = + n, n+1 n 2 1 即 bn+1=bn+ n, 2 1 从而 b2=b1+ , 2 1 b3=b2+ 2, 2 … 1 bn=bn-1+ n-1(n≥2), 2 1 1 1 于是 bn=b1+ + 2+…+ n-1, 2 2 2 1 =2- n-1(n≥2), 2 又 b1=1, 1 ∴{bn}的通项公式 bn=2- n-1. 2 n (2)由(1)知 an=n·n=2n- n-1, b 2 1 2 3 n 令 Tn= 0+ 1+ 2+…+ n-1, 2 2 2 2 2 3 n 则 2Tn=2+ 0+ +…+ n-2, 2 2 2 作差得: n+2 1 1 1 n Tn=2+( 0+ 1+…+ n-2)- n-1=4- n-1 , 2 2 2 2 2 ∴Sn=(2+4+6+…+2n)-Tn n+2 =n(n+1)+ n-1 -4. 2 22. (本题满分 12 分) Sn - ,若对一切的正整 3·n 1 2

数 n,总有 Tn≤m,求实数 m 的取值范围. 解:(1)由 x>0,y>0,y=3n-nx>0,得 0<x<3. 所以 x=1 或 x=2,即 Dn 内的整点在直线 x=1 和 x=2 上. 记直线 y=-nx+3n 为 l,l 与 x=1,x=2 的交点的纵坐标分别 为 y1,y2,则 y1=2n,y2=n,所以 an=3n(n∈N+). 3n?n+1? (2)因为 Sn=3(1+2+…+n)= , 2 n?n+1? Tn+1 n+2 所以 Tn= n .又 = , 2 Tn 2n 3 所以当 n≥3 时,Tn>Tn+1,且 T1=1<T2=T3= . 2 3 所以实数 m 的取值范围为[ ,+∞). 2

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