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2013届高考数学一轮复习讲义:8.1 空间几何体及其表面积与体积


一轮复习讲义

空间几何体及其表面积 与体积

要点梳理
1.多面体

忆一忆知识要点

(1)一般地, 由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体 叫做 棱柱 ; 棱柱两个底面是 全等多边形, 且对应边互相 平行 , 侧面都是平行四边形 . (2)当棱柱的一个底面收缩为一个点时,得到

的几何体叫做棱锥 ; 棱锥底面是多边形 ,侧面是有一个公共顶点的三角形. (3)棱锥被平行于底面的一个平面所截后,截面和底面之间的 部分叫做 棱台 .

要点梳理
2.旋转体

忆一忆知识要点

(1)将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕它的一边、一直 角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周,形成的几何体 分别叫做 圆柱 、 圆锥 、 圆台 ; (2)半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所成的曲面叫做

球面 ,球面围成的几何体叫做 球体 ,简称 球 .

要点梳理

忆一忆知识要点

3.柱、锥、台和球的侧面积和体积 面积 圆柱 S 侧= 2πrh 体积
2 V=Sh = πr h

圆锥

S 侧=

πrl

1 2 1 V= 3Sh = 3πr h 1 = πr2 l2-r2 3

1 V= (S 上+S 下+ 3 圆台 S 侧=π(r1+r2)l S上S下)h 1 2 2 = π(r1+r2+r1r2)h 3 直棱柱 S 侧= Ch V= Sh

要点梳理

忆一忆知识要点

正棱锥 正棱台 球

S 侧= S 侧= S 球面=

1 Ch′ 2
1 (C+C′)h′ 2
4πR2

V=

1 Sh 3

1 V= (S 上+S 下+ S上S下)h 3 V=
4 3 πR 3

要点梳理
4.几何体的表面积

忆一忆知识要点

圆柱

S ? 2πr (r ? l )
r ? r?

?柱体、锥体、 台体的表面积

圆台

?2 ? r 2 ? r ?l ? rl ) S ? π(r
r? ? 0

圆锥

S ? πr (r ? l )

各面面积之和
展开图 各面面积之和 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是______________.

矩形 扇形 (2)圆柱(锥、台)的侧面展开图分别是______、____、 侧面积与底面面积之和 ______、它们的表面积等于_____________________. 扇环形

要点梳理

忆一忆知识要点

5.几何体的体积之间的关系

柱体V ? Sh

S ? S'
柱体、锥体、 台体的体积
V ? 1 ( S ? ? S ?S ? S )h 台体 3

S '? 0
锥体V ? 1 Sh 3 球的体积
V ? 4 πR3 3

[难点正本

疑点清源]

1.几何体的侧面积和全面积 几何体侧面积是指(各个)侧面面积之和,而全面积是侧面积 与所有底面积之和. 对侧面积公式的记忆, 最好结合几何体 的侧面展开图来进行. 要特别留意根据几何体侧面展开图的 平面图形的特点来求解相关问题.如直棱柱(圆柱)侧面展开 图是一矩形, 则可用矩形面积公式求解. 再如圆锥侧面展开 图为扇形, 此扇形的特点是半径为圆锥的母线长, 圆弧长等 于底面的周长, 利用这一点可以求出展开图扇形的圆心角的 大小.

2.要注意领会和掌握两种数学思想方法:割补法与等积法 割补法是割法与补法的总称.补法是把不规则(不熟悉的或复 杂的)几何体延伸或补成规则的(熟悉的或简单的)几何体,把 不完整的图形补成完整的图形.割法是把复杂的(不规则的) 几何体切割成简单的(规则的)几何体.割与补是对立统一的, 是一个问题的两个相反方面.割补法无论是求解体积问题还 是求解空间角(或空间距离)以及证明垂直或平行关系都有简 化解题过程、开阔思维的优点. 等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形 (或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到,利用等积 法可以用来求解几何图形的高或几何体的高,特别是在求三 角形的高和三棱锥的高.这一方法回避了具体通过作图得到 三角形(或三棱锥)的高,而通过直接计算得到高的数值.

空间几何体的结构特征
例 1 设有以下四个命题: ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体; ②底面是矩形的平行六面体是长方体; ③直四棱柱是直平行六面体; ④棱台的相对侧棱延长后必交于一点. 其中真命题的序号是________.

利用有关几何体的概念判断所给命题的真假.

解析 命题①符合平行六面体的定义,故命题①是正确的.
底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直,故命题②是 错误的. 因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形,故命题③是错误的. 命题④由棱台的定义知是正确的.

答案 ①④

探究提高
解决该类题目需准确理解几何体的定义,要真正把握几何体的结 构特征,并且学会通过反例对概念进行辨析,即要说明一个命题 是错误的,设法举出一个反例即可.

变式训练 1
下面是关于四棱柱的四个命题: ①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; ②若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四 棱柱; ③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱; ④若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱. 其中,真命题的编号是________.
对于①,平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直 且互相平行,故①假;

对于②,两截面的交线平行于侧棱,且垂直 于底面,故②真; 对于③,作正四棱柱的两个平行菱形截面,
可得满足条件的斜四棱柱(如图(1)),故③假;
对于④,四棱柱一个对角面的两条对角线, 恰为四棱柱的对角线,故对角面为矩形,于 是侧棱垂直于底面的一对角线,同样侧棱也 垂直于底面的另一对角线,故侧棱垂直于底 面,故④真(如图(2)).
答案 ②④

图(1)

图(2)

几何体的表面积
例 2 如图,斜三棱柱 ABC—A′B′C′中,底面 是边长为 a 的正三角形,侧棱长为 b,侧棱 AA′与底面相邻两边 AB 与 AC 都成 45° 角, 求此斜三棱柱的表面积.

由题意,可知 A′在平面 ABC 内的射影 D 在∠BAC 的角平分线 上,从而可证得四边形 BCC′B′是矩形.
解 如图,过 A′作 A′D⊥平面 ABC 于 D,

过 D 作 DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F,连结 A′E,A′F,AD.

则由∠A′AE=∠A′AF,AA′=AA′, 得 Rt△A′AE≌Rt△A′AF, ∴A′E=A′F,∴DE=DF,∴AD 平分∠BAC, 又∵AB=AC,∴BC⊥AD,∴BC⊥AA′,
而 AA′∥BB′,∴BC⊥BB′, ∴四边形 BCC′B′是矩形, ∴斜三棱柱的侧面积为 2×a×bsin 45° +ab=( 2+1)ab. 3 2 3 2 又∵斜三棱柱的底面积为 2× a = a , 4 2 3 2 ∴斜三棱柱的表面积为( 2+1)ab+ a . 2

探究提高
此题构作辅助线的方法具有典型意义,记住这种作法,对解这一 类问题有较大的帮助.

变式训练 2
3 一个正三棱台的上、 下底面边长分别是 3 cm 和 6 cm, 高是 cm. 2 (1)求三棱台的斜高; (2)求三棱台的侧面积和表面积.
解 (1)设 O1、O 分别为正三棱台 ABC

—A1B1C1 的上、下底面正三角形的中心, 3 如图所示,则 O1O= ,过 O1 作 O1D1⊥ 2 B1C1,OD⊥BC,则 D1D 为三棱台的斜高;

3 过 D1 作 D1E⊥AD 于 E,则 D1E=O1O= , 2 3 3 3 因 O1D1= ×3= ,OD= ×6= 3, 6 2 6 3 3 则 DE=OD-O1D1= 3- = . 2 2

在 Rt△D1DE 中,
2

D1D= D1E +ED =

2

? ?3? 2 ? ? +? ? ?2? ?

3 ?2 ? = 3(cm). 2? ?

(2)设 c、c′分别为上、下底的周长,h′为斜高, 1 1 27 3 S 侧= (c+c′)h′= (3×3+3×6)× 3= (cm2), 2 2 2 27 3 3 3 99 3 2 2 S 表=S 侧+S 上+S 下= + ×3 + ×6 = (cm2). 2 4 4 4
27 3 故三棱台斜高为 3 cm,侧面积为 cm2, 2 99 3 表面积为 cm2. 4

几何体的体积
例 3 如图所示,已知 E、F 分别是棱 长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 A1A、CC1 的中点,求四棱锥 C1—B1EDF 的体积.

思路一:先求出四棱锥 C1—B1EDF 的高及其底面积,再利用棱 锥的体积公式求出其体积; 思路二:先将四棱锥 C1—B1EDF 化为两个三棱锥 B1—C1EF 与 D—C1EF,再求四棱锥 C1—B1EDF 的体积.



方法一

连结 A1C1,B1D1 交于点 O1,

连结 B1D,过 O1 作 O1H⊥B1D 于 H.∵EF ∥A1C1,且 A1C1?平面 B1EDF,∴A1C1∥ 平面 B1EDF.

∴C1 到平面 B1EDF 的距离就是 A1C1 到平面 B1EDF 的距离. ∵平面 B1D1D⊥平面 B1EDF, ∴O1H⊥平面 B1EDF,即 O1H 为棱锥的高. B1O1· 1 DD 6 ∵△B1O1H∽△B1DD1,∴O1H= = a. B1 D 6 1 11 11 ∴ VC1 ? B1EDF ? S四边形 B EDF · 1 H= ·· B1D· 1H= ·· 2a· 3 EF· O O 32 32 1 3 6 1 3 a· a= a . 6 6

方法二

连结 EF,B1D.

设 B1 到平面 C1EF 的距离为 h1, D 到平面 C1EF 的距离为 h2, 则 h1+h2=B1D1= 2a.

V1 1 由题意得, C ? B EDF ? VB ?C EF 1 1 1 1 3 = ·S?C EF · 1+h2)= a . (h 3 6 1
方法三
1 3 = a. 6

? VD?C1EF

VC1 ?B1EDF ? V多面体A1B1E?D1C1FD ?VE? A1B1C1D1 ?VE?C1D1D

探究提高
在求解一些不规则的几何体的体积以及两个几何体的体积之比 时,常常需要用到分割法.在求一个几何体被分成两部分的体积 之比时,若有一部分为不规则几何体,则可用整个几何体的体积 减去规则几何体的体积求出其体积.

变式训练 3
如图(1)所示,在直角梯形 ABEF 中(图中数字表示线段的长度), 将直角梯形 DCEF 沿 CD 折起,使平面 DCEF⊥平面 ABCD,连 结部分线段后围成一个空间几何体,如图(2)所示.

图(1)
(1)求证:BE∥平面 ADF; (2)求三棱锥 F—BCE 的体积.

图(2)

(1)证明

方法一

取 DF 的中点 G,连结

AG,EG, 1 ∵CE 綊 DF,∴EG 綊 CD. 2
又∵AB 綊 CD,∴EG 綊 AB. ∴四边形 ABEG 为平行四边形. ∴BE∥AG. 又∵BE?平面 ADF,AG?平面 ADF,
∴BE∥平面 ADF. 方法二 由图(1)可知 BC∥AD,CE∥DF,折叠之后平行关系

不变. ∵BC∥AD,BC?平面 ADF,AD?平面 ADF, ∴BC∥平面 ADF.同理 CE∥平面 ADF.

∵BC∩CE=C,BC、CE?平面 BCE, ∴平面 BCE∥平面 ADF. ∵BE?平面 BCE,BE?平面 ADF, ∴BE∥平面 ADF. (2)解 方法一 ∵VF—BCE=VB—CEF, 由图(1),可知 BC⊥CD,

∵平面 DCEF⊥平面 ABCD,平面 DCEF∩平面 ABCD=CD, BC?平面 ABCD,
又∵BC⊥DC,∴BC⊥平面 DCEF. 1 1 由图(1)可知,DC=CE=1,S△CEF= CE×DC= , 2 2 1 1 ∴VF—BCE=VB—CEF= ×BC×S△CEF= . 3 6

方法二 由图(1),可知 CD⊥BC,CD⊥CE,∵BC∩CE=C, ∴CD⊥平面 BCE.
∵DF∥CE, F 到平面 BCE 的距离等于点 D 到平面 BCE 的距 点 1 1 离为 1,由图(1),可知 BC=CE=1,S△BCE = BC×CE= , 2 2 1 1 ∴VF—BCE= ×CD×S△BCE= . 3 6
方法三 如图所示,过 E 作 EH⊥FC,垂足 为 H,由图可知 BC⊥CD,∵平面 DCEF⊥ 平面 ABCD,平面 DCEF∩平面 ABCD=CD, BC⊥DC,

BC?平面 ABCD, ∴BC⊥平面 DCEF.

又∵EH?平面 DCEF,∴BC⊥EH, ∴EH⊥平面 BCF.
由 BC⊥FC,FC= DC2+DF2= 5, 1 5 S△BCF= BC×CF= , 2 2 1 在△CEF 中,由等面积法可得 EH= , 5 1 1 ∴VF—BCE=VE—BCF= ×EH×S△BCF= . 3 6

组合体的表面积与体积问题
例 4 正三棱锥的高为 1,底面边长为 2 6,内 有一个球与它的四个面都相切(如图).求: (1)这个正三棱锥的表面积; (2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积.

(1)利用特征三角形求出斜高即可;(2)抓住球心到正三棱锥 四个面的距离相等求出球的半径即可.
解 (1)底面正三角形中心到一边的距离为 1 3 × ×2 6= 2, 3 2

则正棱锥侧面的斜高为 12+( 2)2= 3. 1 ∴S 侧=3× ×2 6× 3=9 2. 2 1 3 ∴S 表=S 侧+S 底=9 2+ × ×(2 6)2 2 2 =9 2+6 3.
(2)设正三棱锥 P—ABC 的内切球球心为 O, 连结 OP、OA、OB、OC,而 O 点到三棱锥 的四个面的距离都为球的半径 r.
∴VP—ABC=VO—PAB+VO—PBC+VO—PAC+VO—ABC 1 1 = S 侧· S△ABC· r+ r 3 3 1 = S 表· r=(3 2+2 3)r. 3

1 1 3 又 VP—ABC= × × ×(2 6)2×1=2 3, 3 2 2 ∴(3 2+2 3)r=2 3, 2 3(3 2-2 3) 2 3 得 r= = = 6-2. 18-12 3 2+2 3
∴S 内切球=4π( 6-2)2=(40-16 6)π. 4 8 3 V 内切球= π( 6-2) = (9 6-22)π. 3 3

探究提高
解决球与其他几何体的切、接问题,关键在于仔细观察、分析, 弄清相关元素的关系和数量关系,选准最佳角度作出截面(要使 这个截面尽可能多地包含球、 几何体的各种元素以及体现这些元 素之间的关系),达到空间问题平面化的目的.

变式训练 4
有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放 一个半径为 r 的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将 球取出,求这时容器中水的深度. 解 如图所示,作出轴截面,因轴截面是正三
角形,根据切线性质知当球在容器内时,水的 深度为 3r,水面半径 BC 的长为 3r,则容器 内水的体积为 V=V 圆锥-V 球 π 4π 3 5π 3 2 = ( 3r) · 3r- r = r , 3 3 3 将球取出后,设容器中水的深度为 h, 3 则水面圆的半径为 h,从而容器内水的体积为 3 π? 3 ?2 π 3 3 ? ? V′= ? h? h= h ,由 V=V′,得 h= 15r. 3? 3 ? 9

思想与方法
空间与平面的转化
(16 分)如图,在直棱柱 ABC—A′B′C′中, 底面是边长为 3 的等边三角形,AA′=4,M 为 AA′的中点,P 是 BC 上一点,且由 P 沿棱 柱侧面经过棱 CC′到 M 的最短路线长为 29, 设这条最短路线与 CC′的交点为 N,求: (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长; (2)PC 与 NC 的长; (3)三棱锥 C—MNP 的体积.

审题视角
(1)侧面展开图从哪里剪开展平;(2)MN+NP 最短在展开 图上呈现怎样的形式;(3)三棱锥以谁做底好.
规范解答 解 (1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为 4 和 9 的矩形, 故 [3 分] 对角线长为 42+92= 97.

(2)将该三棱柱的侧面沿棱 BB′展开,如下图,设 PC=x,则 MP2=MA2+(AC+x)2.

∵MP= 29,MA=2,AC=3,∴x=2,即 PC=2. PC NC 2 NC 4 又 NC∥AM,故PA =AM,即 = .∴NC= . 5 2 5
1 1 4 4 (3)S△PCN= ×CP×CN= ×2× = . 2 2 5 5 在三棱锥 M—PCN 中,M 到面 PCN 的距离, 3 3 3 即 h= ×3= . 2 2 1 ∴VC—MNP=VM—CNP= · S△CNP h· 3 1 3 3 4 2 3 = × × = . 3 2 5 5

[10 分]

[14 分]

[16 分]

批阅笔记

(1)解决空间几何体表面上的最值问题的根本思路是“展开”, 即将空间几何体的“面”展开后铺在一个平面上, 将问题转化为 平面上的最值问题. (2)如果已知的空间几何体是多面体,则根据问题的具体情况可 以将这个多面体沿多面体中某条棱或者两个面的交线展开, 把不 在一个平面上的问题转化到一个平面上. 如果是圆柱、 圆锥则可沿母线展开, 把曲面上的问题转化为平面 上的问题. (3)本题的易错点是,不知道从哪条侧棱剪开展平,不能正确地 画出侧面展开图.缺乏空间图形或平面图形的转化意识.

方法与技巧
1.对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球 的表面积的问题,要结合它们的结构特点与平面几何知识 来解决. 2.要注意将空间问题转化为平面问题. 3.求几何体的体积,要注意分割与补形.将不规则的几何体通 过分割或补形将其转化为规则的几何体求解.

失误与防范
1.将几何体展开为平面图形时,要注意在何处剪开,多面体要 选择一条棱剪开,旋转体要沿一条母线剪开. 2.与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时 要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间 的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切 点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球 外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角 线长等于球的直径.球与旋转体的组合,通常作它们的轴截 面进行解题,球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和 球心,或“切点”、“接点”作出截面图.

知识网络
空 间 几 何 体

?中心投影 ? ? ?三视图 ? 投影 ? ?正投影 ? ?直观图 ? 斜二侧画法 ?平行投影 ? ? ? ?斜投影 ?

简单组合体的结构特征
? ?V棱柱 ? Sh ? ? π ? S表面积 ? 2 r ( r ? l ) ?柱 ? ? ? ?圆柱 ? 2 ?V圆柱 ?π r h ? ? ? ? ? S = 1 ch? ? 锥侧 2 ? 锥(棱锥圆锥)? ? ? ?V锥 = 1 Sh ? 3 ? 多面体 ? ? ? S ? 1 (c ? c )h? ? ? 台侧 2 1 2 ?台(棱台圆台)? ? ?V台 = 1 ( S1 ? S2 ? S1 S 2 )h 3 ? ? ? ?S π 2 侧面积 = 4 R ? ? ?球 ?V = 4π R 3 ? ? 球 3 ? ?

要点梳理

忆一忆知识要点

1.棱柱、棱锥、棱台的表面积

h' h'

要点梳理

忆一忆知识要点

?直棱柱的侧面展开图:

h

S直棱柱侧 ? ch
其中c为底面周长,h为高.

要点梳理

忆一忆知识要点

?正棱锥的侧面展开图:

h'

???? ?
侧面展开

h'

S正棱锥侧 ? 1 ch? 2
其中c为底面周长, h′为斜高,即侧面三角形的高.

要点梳理

忆一忆知识要点

?正棱台的侧面展开图

侧面展开 ???? ?

h'

S正棱台侧 ? 1 (c ? c?)h? 2

h'

c, c′分别为上下底面周长, h′为斜高,即侧面等 腰梯形的高.

要点梳理

忆一忆知识要点

?圆柱的表面积

l

圆柱的侧面展开图是矩形
S圆柱表面积 ? 2 r ? 2 rl π π
2

要点梳理

忆一忆知识要点

?圆锥的表面积

l

圆锥的侧面展开图是扇形

S圆锥表面积 ?π r ?π rl
2

要点梳理

忆一忆知识要点

?圆台的表面积
2? r ? 2? r
l

圆台的侧面展开图是扇环

?2 ?π(r ? r ?)l S圆台表面积 ?π r ?π r
2

空间几何体中的最值问题
例 1. (2010·全国)已知正四棱锥 S-ABCD 中,SA=2 3,那 么当该棱锥的体积最大时,它的高为

2

.

在正四棱锥 S-ABCD 中,SO 是高,设高 SO 为 x ( x > 0), 在正四棱锥 S-ABCD 中,SO 是高,设高 SO 为 x (( x > 0), 在正四棱锥 S-ABCD 中,SO 是高,设高 SO 为 2 ( x > 0), 2 中,SO 是高,设高 ?2 为 x x > 0), 在正四棱锥 S-ABCD SA2 -SO2 = ?(2 SO-x2= x 12-x2 , 2 2 在 Rt△ SOA 中,OA= 2 2 在 Rt△ SOA 中,OA= SA 2-SO2= ?(?(2 3)?2?2-x2= 12-x 2, -SO 2 = 2 3) ?2 = 12-x2 , 2 在 Rt△ SOA 中,OA= SA -SO = ?(2 3)?22 2= 12-x2, Rt△ SOA 中,OA= SA 3) -x 2 在 -x 1 1 1 2 2 2 2 1 ×1(2 12-x2 )2x=2 (12-x2)x=8x-2 x3 , 则 V= 1 1 12-x 2 2 2 V= 1 (2 2 2 33 则 V=3×2 (2 12-x2)2x=3(12-x 2)x=8x-3x 3, ) x= (12-x2 )x=8x- x , 则 V= × (2 12-x2)2x= (12-x2)x=8x-2x3, × 3 2 2 3 3 则 3 2 2 2 3 3 3 3 3 ∴V′=8-2x 2, ∴V′=8-2x 2, , ∴V′=8-2x2, 2 ∴V′=8-2x 2 =0,得 x=2,或 x=-2(舍去), 令 V′=8-2x 2 令 V′=8-2x 2=0,得 x=2,或 x=-2(舍去), 令 V′=8-2x2=0,得 x=2,或 x=-2(舍去), V′=8-2x =0,得 x=2,或 x=-2(舍去), 令 又当 0<x<2 时,V′>0;当 x>2 时,V′<0, 又当 0<x<2 时,V′>0;当 x>2 时,V′<0, 又当 0<x<2 时,V′>0;当 x>2 时,V′<0, 又当 0<x<2 时,V′>0;当 x>2 时,V′<0, ∴当 x=2 时,体积 V 有最大值. ∴当 x=2 时,体积 V 有最大值. ∴当 x=2 时,体积 V 有最大值. ∴当 x=2 时,体积 V 有最大值. 【考查目标】本题考查正四棱锥的概念和体积的计算,考查函数 最大值的概念和求解方法,综合考查考生的运算求解能力.

空间几何体中的最值问题
例2.
当圆

解:

空间几何体中的最值问题
例2. 当圆

1.(2011· 四川,15)如图,半径为 R 的球 O 中有一内 接圆柱.当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的 侧面积之差是_________. 2πR 2 S ? 2π ? R sin ? ? 2 R cos ?
O?

r

?

? 2πR 2 sin 2? .
π 当 ? ? 时,S 取最大值 2πR 2 . 4

几何体的截面问题
【1】棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个 球面上,若过该球球心的一个截面如图,则图中三角形 (正四面体的截面)的面积是 2 .

过该球球心的一个截面如图为△ABF, 则 AB=2,E为AB中点,且EF⊥DC.
在△DCE中,DE ? EC ?
DC ? 2.

3 ? 2 ? 3. 2

? EF ? EC ? 2.

? S△FAB ? 1 ? 2 ? 2 ? 2. 2

探究提高 估算省去了很多推导过程和比较复杂的计算,节省了时间. 其应用广泛,它是人们发现问题、研究问题、解决问题的一 种重要的运算方法.从考试的角度来看,解选择题、填空题只

要选对做对就行.但平时做题时要尽量弄清每一个选择支正确
的与错误的原因.另外,在解答一道选择题、填空题时,往往 需要同时采用几种方法进行分析、推理,只有这样,才会在 高考时充分利用题目自身提供的信息,做到准确快速地解题.

几何体的截面问题
【2】如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上 底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得,现用一个竖直的平 面去截这个几何体,则所截得的几何体可能是 ①⑤ .

由于空间想象能力不强,对几何体的形成过程 不熟悉,导致错误,同学们在生活中一定要注意加 强对空间物体的想象力.

【3】下面有四位同学的判断,你对他们四位同学的结论有何看 法?会不会还有其他的形状呢? 甲:当正方体的一个面为水平面时,液面是正方形,如图(1)所示; 乙:可能是矩形,如图(2)所示中的平面 ABCD; 丙:可能是菱形,如图(3)所示中的平面 ABCD,其中 B、D 分别是 各棱的中点(也就是将乙的情况倾斜一个角度); 丁:还可以是正六边形,如图(4)所示中的平面 ABCDEF,其中 A、 B、C、D、E、F 分别是各棱的中点.

答 根据题意, 其实质等价于一个正方体被某平面分成等体积的两部分. 其 中甲、乙、丙、丁四位同学各自站在一个观察角度分析了其中一种截面的形 状.其实,截面的形状不是唯一的,要视具体情况而定.如题图所示.液面 的形状可能是正方形、矩形、菱形、正六边形四种可能,不可能为三角形或 其他平行四边形(除正方形、矩形、菱形外的).

【4】下列五个正方体图形中, l 是正方体的
一条对角线,点M, N, P分别为其所在棱的中点, 能得到 l ⊥ 平面 MNP 的图形的序号是

①④⑤ __________.
M A1 N D C
M A D

D1

P

C1

D1 A1 B1 N

C1

B1

A



B



P B

C

D1 A1

P B1

C1

D1 A1 B1

C1

N M
M D C A B N D1

D P A C B


A1

C1 B1 N



P

D M A B C



表面积与体积的计算
解:∵AB⊥BC, ∴AC 为截面圆的直径, 解:∵AB⊥BC, ∴AC 为截面圆的直径, 解:∵AB⊥BC, ∴AC 为截面圆的直径, ∴AC 为截面圆的直径, 解:∵AB⊥BC, ∴AC 为截面圆的直径, 解:∵AB⊥BC, ∴AC 为截面圆的直径, ∴AC 中点为截面圆的圆心, 解:∵AB⊥BC, ∴AC 中点为截面圆的圆心, 解:∵AB⊥BC, ∴AC 为截面圆的直径, ∴AC 中点为截面圆的圆心, 中点为截面圆的圆心, ∴AC中点为截面圆的圆心, OD⊥平面 ABC. ∴AC为 AC 中点,连 OD,则 OD⊥平面 ABC. 设 D 中点为截面圆的圆心, ∴AC 为 AC 中点,连接 OD,则 OD⊥平面 ABC. 设 D 中点为截面圆的圆心, ∴AC 为 AC 中点,连 OD,则 OD⊥平面 ABC. 设 D 为 AC 中点,连 OD,则 D 中点,连 OD,则 ABC. 设D 为 AC 中点,连∴SA∥ODOD⊥平面ABC. 设 D 为 AC 中点,连 OD,则 OD⊥平面 ABC. ∵SA⊥平面 ABC, OD,则 OD⊥平面 ABC. 设 ∵SA⊥平面 ABC, ∴SA∥OD. 设 D 为 AC 中点,连∴SA∥OD. ∵SA⊥平面 ABC, 2OD,则 OD⊥平面2 ABC, ∴SA∥OD. . ∵SA⊥平面ABC, ∴SA∥OD.2 2 ∵SA⊥平面 ABC, SA2 +AC2 =2 .2+? 3?2 =2. 连 SC,则 SC= ∵SA⊥平面 ∴SA∥OD. +? 3? =2. ∵SA⊥平面 ABC, SA2SA2+AC =22 12+? 223?2=2. ∴SA∥OD 1 连 SC,则 SC= +AC22 = 1 2 连接 SC则则 SC= 2 +AC = 1 +? 3? 2 连SC,则2,BC=SA+AC2==SB2 +BC2 =2. SC,,SC= SA2,∵SC2 12+? 3? 2=2. SC= 连 SC,则 SC= SA2,∵SC 22 12+? 3?2=2. 又 SC,则 SC= SA2+AC2=2 1 +? 3? =2. SB= 2,BC= +AC ==SB 22 连 SB= 2,BC= 2,∵SC =SB +BC 2, 又 , 连 SB= 2,BC= 2,∵SC =SB2+BC2, 又 SB= 2 2 +BC , 2 又 又 SB= 2,BC= 2,∵SC2=SB2+BC2, ∴∠SBC=90° ,∵∠SAC=90° , 又 SB= 2,BC= 2,∵SC =SB +BC , ∴∠SBC=90°,∵∠SAC=90° ,∵∠SAC=90°, , 又 SB= 2,BC= 2,∵SC2=SB2+BC2, ∴∠SBC=90° ∴∠SBC=90° ∴∠SBC=90°,∵∠SAC=90° ,∵∠SAC=90°, , ∴SC 为球 O 的直径 为球 O 的直径 ∴∠SBC=90° ,∵∠SAC=90° , ∴SC 为球 O 的直径 ∴∠SBC=90° ,∵∠SAC=90° 2 , ∴SC 为球 O 的直径 ∴SC为球 O 的直径 ∴SC 为球 O 的直径. ∵2R=2 O 的直径 故 R=1,∴S 球=4πR22=4π. R=1,∴S 球=4πR22 ∴SC ∵2R=2 故 R=1,∴S =4πR =4π. ∴SC 为球 故 R=1,∴S 球=4πR =4π. ∵2R=2 故 ∵2R=2 故 R=1,∴S 球球 2 =4π. ∵2R=2 故 R=1,∴S 球=4πR2=4π. ∵2R=2 =4πR2=4π. ∵2R=2,故 R=1,∴S 球=4πR =4π.

例 5.(2010· 辽宁)已知 S,A,B,C 是球 O 表面上的点,SA⊥平面 ABC,AB⊥BC,SA=AB=1,BC= 2,求球 O 的表面积.

表面积与体积的计算
【1】半径为 R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积 3 πR 3 为 . 24

2? r ? ? R ? r ? R . 2
h ? 3 R. 2 V ? 1 ? ? ( R )2 ? 3 R ? 3 ? R 3 . A 3 2 2 24
P R
O

B

表面积与体积的计算

【2】五棱台的上,下底面均是正五边形,边 长分别是8cm和18cm,侧面是全等的等腰梯形, 侧棱长是13cm,求它的侧面面积.
解:如图,梯形的高为
132 ? ( 18 ? 8 )2 ? 12, 2

8

S梯 ? 1 ? (8 ? 18) ? 12 ? 156 cm2 , 2
18

13

S侧 ? 5S梯形 ? 5 ? 156 ? 780 cm .
2

表面积与体积的计算
【3】 (09 全国)直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的各顶点都 在同一球面上,若 AB ? AC ? AA1 ? 2 , ?BAC ? 120? ,则此 球的表面积等于 20π .

BC ? 2 3
? 2r ? 2 3 ? 4, sin120?

O?

R2 ? 12 ? 22 ? 5,

S ? 4π ? R ? 20π.
2

【4】已知过球面上三点 A, B, C的截面到球心 O 的 距离等于球半径的一半, 且 AB=BC=CA=2cm, 则球的表
64π 面积是_________. 9

解: 如图,设球O半径为R, 截面⊙O′ 的半径为r,
? O?O ? R ,△ABC 是正三角形, 2 O?A ? 3 AB ? 2 3 . 3 3 在Rt?OO ?A中, R 2 ? ( R )2 ? ( 2 3 )2 , 2 3

O
O?

A

C

?R ? 4. 3
S ? 4?R2 ? 4?? 16 ? 64 ?. 9 9

B


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