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2009年第26届全国中学生物理竞赛预赛试卷及答案


2009 年第 26 届全国中学生物理竞赛预赛

第 26 届全国中学生物理竞赛预赛试卷
1-5 9 13 6 10 14 7 11 15 8 12 16 总分

一、选择题.本题共 5 小题,每小题 7 分.在每小题给出的 4 个选 项中,有的小题只有一项是正确的,有的小题有多项是正确的.把 得分 阅卷 复核 正确选项前面的英文

字母写在每小题后面的方括号内. 全部选对的 得 7 分,选对但不全的得 3 分,选错或不答的得 0 分. 1.图中 a、b 和 c、d 分别是两个平行板电容器的极扳,E 为电池,彼此相距较远.用导线 将 E 的正极与 a、 c 相连,将 E 的负极与 b、d 相连,待电容器充电后,去掉导线.这时已 知 a 带的电荷量大于 c 带的电荷量,称此状态为原始状态.现设想用两根导线分别都从原 始状态出发,进行以下两次连接:第一次用一根导线将 a、c 相连,用另一根导线将 b、d 相连;第二次用一根导线将 a、d 相连,用另一根导线将 b、c 相连,每次连接后都随即移 去导线.下面哪种说法是正确的?
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A.经过第一次连接,a、b 间的电压下降,c、d 间的电压上升 B.经过第一次连接,a、b 间和 c、d 间的电压都不变 C.经过第二次连接,a、b 间的电压和 c、d 间的电压中有一个上升,一个下降 D.经过第二次连接,a、b 间的电压和 c、d 间的电压都下降 [ ] 2.两根不同金属导体制成的长度相等、横截面积相同的圆柱形杆,串联后接在某一直流电 源两端,如图所示.已知杆 a 的质量小于杆 b 的质量,杆 a 金属的摩尔质量小于杆 b 金属 的摩尔质量,杆 a 的电阻大于杆 b 的电阻,假设每种金属的每个原子都提供相同数目的自 由电子 (载流子) . 当电流达到稳恒时, 若 a、 b 内存在电场, 则该电场可视为均匀电场. 下 面结论中正确的是
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A.两杆内的电场强度都等于零 B.两杆内的电场强度都不等于零,且 a 内的场强大于 b 内的场强 C.两杆内载流子定向运动的速度一定相等 D.a 内载流子定向运动的速度一定大于 b 内载流子定向运动的速度 [ ] 3.一根内径均匀、两端开口的细长玻璃管,竖直插在水中,管的一部分在水面上.现用手 指封住管的上端,把一定量的空气密封在玻璃管中,以 V0 表示其体积;然后把玻璃管沿竖 直方向提出水面,设此时封在玻璃管中的气体体积为 V1;最后把玻璃管在竖直平面内转过 900,使玻璃管处于水平位置,设此时封在玻璃管中的气体体积为 V2.则有 A.V1>V0=V2 B.V1>V0>V2 C . V1=V2>V0 D . V1>V0 , V2>V0 [ ] 4.一块足够长的白板,位于水平桌面上,处于静止状态.一石墨块(可视为质点)静止在 白板上.石墨块与白板间有摩擦,滑动摩擦系数为 μ.突然,使白板以恒定的速度 v0 做匀
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速直线运动,石墨块将在板上划下黑色痕迹.经过某一时间 t,令白板突然停下,以后不再 运动.在最后石墨块也不再运动时,白板上黑色痕迹的长度可能是(已知重力加速度为 g, 不计石墨与板摩擦划痕过程中损失的质量) A.
2 v0 2? g

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B . v0t

C . v0t ?

1 ? gt 2 2

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D.

2 v0 ?g

[ ] 5.如图 1 所示,一个电容为 C 的理想电容器与两个阻值皆为 R 的电阻串联后通过电键 K 连接在电动势为 E 的直流电源的两端,电源的内电阻忽略不计,电键 K 是断开的,在 t=0 时刻,闭合电键 K,接通电路,在图 2 中给出了六种电压 V 随时间 t 变化的图线 a、b、c、 d、e、f,现从其中选出三种图线用来表示图 l 所示电路上 1、2、3、4 四点中某两点间的电 压随时间 t 的变化,下面四个选项中正确的是

A.a、b、f B.a、e、f C.b、d、e D.c、d、e [ ] 二、填空题和作图题.把答案填在题中的横线上或把图画在题中指定的地方.只要给出结 果,不需写出求得结果的过程. 6. (8 分)传统的雷达天线依靠转动天线来搜索空中各个方向的目 得分 阅卷 复核 标,这严重影响了搜索的速度.现代的“雷达”是“相位控制阵列 雷达” ,它是由数以万计的只有几厘米或更小的小天线按一定的顺 序排列成的天线阵,小天线发出相干的电磁波,其初相位可通过电 子计算机调节,从而可改变空间干涉极强的方位,这就起了快速扫描搜索空中各个方向目 标的作用.对下面的简单模型的研究,有助于了解改变相干波的初相位差对空间干涉极强 方位的影响. 图中 a、b 为相邻两个小天线,间距为 d,发出波长为 λ 的相干电磁波.Ox 轴通过 a、 b 的中点且垂直于 a、b 的连线.若已知当 a、b 发出的电磁波在 a、b 处的初相位相同即相 位差为 O 时,将在与 x 轴成 θ 角(θ 很小)方向的远处形成干涉极强,现设法改变 a、b 发 出的电磁波的初相位,使 b 的初相位比 a 的落后一个小量 φ,结果,原来相干极强的方向 将从 θ 变为 θ' ,则 θ-θ'等于
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7. (8 分)He 一 Ne 激光器产生的波长为 6.33×10-7m 的谱线是 Ne 得分 阅卷 复核 原子从激发态能级(用 E1 表示)向能量较低的激发态能级(用 E2 表示)跃迁时发生的;波长为 3.39×10-6m 的谱线是 Ne 原子从能 级 E1 向能级较低的激发态能级(用 E3 表示)跃迁时发生的.已知 普朗克常量 h 与光速 c 的乘积 hc=1.24×10-6m·eV.由此可知 Ne 的激发态能级 E3 与 E2 的
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能最差为 得分
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复核
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eV. 8. (8 分) 一列简谐横波沿 x 轴负方向传播, 传播速度 v=200m/s. 已 知位于坐标原点(x=0)处的质元的振动图线如图 1 所示.试在图 2 中画出,t=4Oms,时该简谐波的波形图线(不少于一个波长) .
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9. (8 分)图示为某一圆形水池的示意图(竖直截 面) .AB 为池中水面的直径,MN 为水池底面的直 径, O 为圆形池底的圆心. 已知 ON 为 11.4m , AM、 BN为斜坡, 池中水深 5.00m, 水的折射率为 4 / 3. 水 的透明度极好,不考虑水的吸收.图中 a、b、c、d 为四个发光点,天空是 蓝色的,水面是平的.在池底中心处有一凹槽,一潜水员仰卧其中,他的 眼睛位于 O 处,仰视水面的最大范围的直径为 AB. (i)潜水员仰视时所看到的蓝天图象对他的眼睛所张的视角为 (ii)四个发光点 a、b、c、d 中,其发出的光能通过全反射到达潜水员眼 睛的是 得分
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三、计算题.解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤,只 写出最后结果的不能得分.有数值计算的.答案中必须明确写出数值和单 位. 10. (19 分)试分析下面两个实验操作中的误差(或失误)对实验 得分 阅卷 复核 结果的影响. (i)用“插针法”测量玻璃的折射率时,要先将透明面平行的玻璃 砖放置在铺平的白纸上,然后紧贴玻璃砖的两个透明面,分别画出 两条直线,在实验中便以这两条直线间的距离作为透明面之间的距离.如果由于操作中的 误差,使所画的两条直线间的距离大于玻璃砖两透明面间的实际距离,问这样测得的折射 率与实际值相比,是偏大,偏小,还是相同?试给出简要论证 (ii)在用单摆测量重力加速度 g 时,由于操作失误,致使摆球不在同一竖直平面内运动, 而是在一个水平面内作圆周运动,如图所示.这时如果测出摆球作这种运动的周期,仍用 单摆的周期公式求出重力加速度,问这样求出的重力加速度与重力加速度的实际值相比, 哪个大?试定量比较.
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11. (18 分)现有以下器材:电流表一只(量程适当.内阻可忽略 不计.带有按钮开关 K1,按下按钮,电流表与电路接通,有电流 通过电流表,电流表显出一定的读数) ,阻值己知为 R 的固定电阻 一个,阻值未知的待测电阻 Rx 一个,直流电源一个(电动势 ε 和 内阻 r 待测) ,单刀双掷开关 K 一个,接线用的导线若干. 试设计一个实验电路,用它既能测量直流电源的电动势 ε 和内阻 r,又能测量待测电阻 的阻值 Rx (注意: 此电路接好后, 在测量过程中不许再拆开, 只许操作开关, 读取数据) . 具 体要求: (i)画出所设计的电路图. (ii)写出测量 ε、r 和 Rx 主要的实验步骤. (iii)导出用已知量和实验中测量出的量表示的 ε、r 和 Rx 的表达式. 得分
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得分
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12. (18 分)一静止的原子核 A 发生 α 衰变后变成原子核 B,已知 原子核 A、原子核 B 和 α 粒子的质量分别为 mA、mB,和 mα,光速 为 c(不考虑质量与速度有关的相对论效应), 求衰变后原子核 B 和 α 粒子的动能.
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13. (18 分)近代的材料生长和微加工技术,可制造出一种使电子 的运动限制在半导体的一个平面内(二维)的微结构器件,且可做 到电子在器件中像子弹一样飞行,不受杂质原子射散的影响.这种 特点可望有新的应用价值.图 l 所示为四端十字形.二维电子气半 导体,当电流从 l 端进人时,通过控制磁场的作用,可使电流从 2, 3,或 4 端流出.对下 面摸拟结构的研究,有助于理解电流在上述四端十字形导体中的流动.在图 2 中, a、b、 c、 d 为四根半径都为 R 的圆柱体的横截面, 彼此靠得很近, 形成四个宽度极窄的狭缝 1、 2、 3、4,在这些狭缝和四个圆柱所包围的空间(设为真空)存在匀强磁场,磁场方向垂直于 纸面指向纸里.以 B 表示磁感应强度的大小.一个质量为 m、电荷量为 q 的带正电的粒子, 在纸面内以速度 v0 沿与 a、b 都相切的方向由缝 1 射人磁场内,设粒子与圆柱表面只发生 一次碰撞,碰撞是弹性的,碰撞时间极短,且碰撞不改变粒子的电荷量,也不受摩擦力作 用.试求 B 为何值时,该粒子能从缝 2 处且沿与 b、c 都相切的方向射出. 得分
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14. (20 分)如图所示,M1N1N2M2 是位于光滑水平桌面上的刚性 得分 阅卷 复核 U 型金属导轨, 导轨中接有阻值为 R 的电阻, 它们的质量为 m0. 导 轨的两条轨道间的距离为 l,PQ 是质量为 m 的金属杆,可在轨道 上滑动,滑动时保持与轨道垂直,杆与轨道的接触是粗糙的,杆与 导轨的电阻均不计.初始时,杆 PQ 于图中的虚线处,虚线的右侧为一匀强磁场区域,磁 场方向垂直于桌面,磁感应强度的大小为 B.现有一位于导轨平面内的与轨道平行的恒力 F 作用于 PQ 上,使之从静止开始在轨道上向右作加速运动.已知经过时间 t , PQ 离开虚线 的距离为 x,此时通过电阻的电流为 I0,导轨向右移动的距离为 x0(导轨的 N1N2 部分尚未 进人磁场区域) .求在此过程中电阻所消耗的能量.不考虑回路的自感.
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15. (20 分)图中 M1 和 M2 是绝热气缸中的两个活塞,用轻质刚性 细杆连结,活塞与气缸壁的接触是光滑的、不漏气的,M1 是导热 的,M2 是绝热的,且 M2 的横截面积是 M1 的 2 倍.M1 把一定质量 的气体封闭在气缸的 L1 部分,M1 和 M2 把一定质量的气体封闭在气缸的 L2 部分,M2 的右 侧为大气,大气的压强 P0 是恒定的. K 是加热 L2 中气体用的电热丝.初始时,两个活塞 和气体都处在平衡状态, 分别以 V10 和 V20 表示 L1 和 L2 中气体的体积. 现通过 K 对气体缓 慢加热一段时间后停止加热,让气体重新达到平衡态,这时,活塞未被气缸壁挡住.加热 后与加热前比, L1 和 L2 中气体的压强是增大了、 减小了还是未变?要求进行定量论证. 得分
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16. (20 分)一个质量为 m1 的废弃人造地球卫星在离地面 h=800km 得分 阅卷 复核 高空作圆周运动, 在某处和一个质量为 m2=m1/9 的太空碎片发生迎 头正碰, 碰撞时间极短, 碰后二者结合成一个物体并作椭圆运动. 碰 撞前太空碎片作椭圆运动,椭圆轨道的半长轴为 7500km,其轨道和 卫星轨道在同一平面内.已知质量为 m 的物体绕地球作椭圆运动时,其总能量即动能与引
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力势能之和 E ? ?G

Mm ,式中 G 是引力常量,M 是地球的质量,a 为椭圆轨道的半长 2a
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轴.设地球是半径 R=6371km 的质量均匀分布的球体,不计空气阻力. (i)试定量论证碰后二者结合成的物体会不会落到地球上. (ii)如果此事件是发生在北级上空(地心和北极的连线方向上) ,碰后二者结合成的物体 与地球相碰处的纬度是多少?
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第 26 届全国中学生物理竞赛预赛试卷 参考解答与评分标准
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一、选择题. (共 35 分) 答案: 1.B , D 2.B 3.A 4.A , C 5.A , B 评分标准: 每小题 7 分.在每小题给出的 4 个选项中,有的小题只有一项是正确的,有的小题有 多项是正确的.全部选对的得 7 分.选对但不全的得 3 分,有选错或不答的得 0 分. 二、填空题和作图题.共 32 分,每小题 8 分.按各小题的答案和评分标准给分.
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?? 6.答案与评分标准: (8 分) 2? d
7.答案与评分标准: 1.59(8 分) 8.答案:

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评分标准:8 分.有任何错误都给 0 分. 9.答案与评分标准: (i)97.20 ( 4 分) (ii)c、d(两个都对得 4 分,只填一个且正确得 2 分,有填错的得 0 分) 10.参考解答: (i)以两条实线代表在白纸上所画出的直线,以两条虚线代 表玻璃砖的两个透明面,根据题意,实线间的距离大于虚线间的距 离,如图所示.根据实线位置定出的折射角为 γ,按实际的玻璃砖 两透明面的位置即虚线定出的折射角为 γ' ,由图知 γ>γ' (l) 由折射定律 sini=nsinγ (2 ) 令入射角 i 相等,当折射角偏大时,测出的折射率将偏小. (ii)以 l 表示摆长,θ 表示摆线与竖直方向的夹角,m 表示 摆球的质量,F 表示摆线对摆球的拉力,T 表示摆球作题图所示运
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动的周期.有

F sin ? ? ml sin ? (

2? 2 ) T

(l)

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F cos ? ? mg
由(l) 、 (2)式得

(2)

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T ? 2?

l cos ? g

(3)

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而单摆的周期公式为

T ? ? 2?

l g

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即使在单摆实验中,摆角很小,θ< 50,但 cosθ< l,这表示对于同样的摆长 l,摆球在 水平面内作圆周运动的周期 T 小于单摆运动的周期 T' ,所以把较小的周期通过(4)求出 的重力加速度的数值将大于 g 的实际值. 评分标准:本题 19 分. 第(i)小题 9 分.得到(l)式给 4 分,得到正确结论给 5 分.只有结论给 0 分. 第(ii)小题 10 分.得到(3)式给 5 分,得到正确结论给 5 分.只有结论给 0 分. 11.参考解答: 解法一 (i)电路如右图所示, (ii)实验步骤: (1)将单向双掷开关 K 置于空位,按所设计的电路图接线. (2)按下电流表上的按钮开关 K1,读下电流表的示数 I1. (3)将 K 打向左侧与 a 接通,读下电流表的示数 12. (4)将 K 打向右侧与 b 接通,读下电流表的示数 13 . (iii)由欧姆定律有
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? ? I1R ? I1r
? ? I2r ? I 2
RRx R ? Rx

(1)

(2)

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? ? ? ? ? I3 R ? ? ? I 3 ? Rx ? RRx ? r ? ? R?R ? x ? ?
解以上三式得

(3)

??

( I 2 ? I 3 ) I1 R I 2 ? I1 ( I1 ? I 3 ) R I 2 ? I1 I3 R I 2 ? I3

(4)

r?

(5)

Rx ?

(6)

评分标准:本题 18 分. 第(i)小题 9 分.若所设计的电路无法根据题的要求测出所有的应测电流,都得 0 分. 第(ii)题 3 分.在电路正确的前提下,每测一个电流的步骤占 1 分. 第(iii)题 6 分. (4) 、 (5) 、 (6)式各 2 分. 解法二 (i)电路如右图所示. (ii)实验步骤: (1)将单向双掷开关 K 置于空位,按所设计的电路图接线.
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(2)按下电流表上的按钮开关 K1,读下电流表的示数 I1. (3)将 K 打向左侧与 a 接通,读下电流表的示数 I2. (4)将 K 打向右侧与 b 接通,读下电流表的示数 13. (iii)由欧姆定律有
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? ? I1 ( R ? Rx ? r )

(1) (2)

? ? I2 (R ? r)
? ? I3 ( Rx ? r )
解以上三式得

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(3)

??

I1 I 3 R I 3 ? I1 I1I 2 ? I1I 3 ? I 2 I 3 R I 2 ( I3 ? I1 ) I 3 ( I 2 ? I1 ) R I 2 ( I 3 ? I1 )

(4)

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r?

(5)

Rx ?

(6)

评分标准:本题 18 分. 第(i)小题 9 分.若所设计的电路无法根据题的要求测出所有的应测电流,都得 0 分. 第(ii)题 3 分.在电路正确的前提下,每测一个电流的步骤占 1 分. 第(iii)题 6 分. (4) 、 (5) 、 (6)式各 2 分. 12.参考解答: 设 α 粒子速度的大小为 vα,原子核 B 速度的大小为 vB,在衰变过程中动量守恒,有 mαvα+mBvB=0 (1) 衰变过程中能量守恒,有
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mA c 2 ?

1 1 2 2 m? v? ? mB vB ? m? c 2 ? mB c 2 2 2

(2)

解(l) 、 (2)二式得

m? 1 2 mB vB ? (mA ? mB ? m? )c 2 2 m? ? mB mB 1 2 m? v? ? (mA ? mB ? m? )c 2 2 m? ? mB

(3)

(4)

评分标准:本题 18 分. (1)式 4 分, (2)式 8 分, (3) 、 (4)各 3 分. 13.参考解答: 解法一 在图中纸面内取 Oxy 坐标(如图) ,原点在狭缝 l 处,x 轴过缝 1 和缝 3.粒子从缝 1 进人磁场,在洛仑兹力作用下作圆周运动,圆轨道在原点与 x 轴相切,故其圆心必在 y 轴上.若以 r 表示此圆的半径,则圆方程为 x2+(y-r)2=r2 (1) 根据题的要求和对称性可知,粒子在磁场中作圆周运动时应与 d 的柱
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面相碰于缝 3、4 间的圆弧中点处,碰撞处的坐标为 x=2R-Rsin450 y=R-R cos450 由(l) 、 (2) 、 (3)式得 r=3R 由洛仑兹力和牛顿定律有
2 v0 qv B ? m 0 r

(2) (3) (4) (5)

由(4) 、 (5)式得

B?

mv0 3qR

(6)

评分标准:本题 18 分. (1) 、 (2) 、 (3)式各 4 分, (4) 、 ( 5) 、 (6)式各 2 分. 解法二 如图所示,A 为 a、b 两圆圆心的连线与缝 l 的交点,F 为 c、d 两圆 圆心的连线与缝 3 的交点.从 1 缝中射人的粒子在磁场作用下与圆柱 d 的表面发生弹性碰撞后,反弹进人缝 2,这个过程一定对连结 b、d 两圆 圆心的直线 OP 对称,故直线 OP 与 d 圆的交点 C 必是碰度点.由于粒 子在磁场中做圆运动过 A 点, 因此这个轨道的圆心必在过 A 点并垂直于 AF 的直线 AE 上;同时这个轨道经过 C 点,所以轨道的圆心也一定在 AC 的垂直平分线 DE 上. 这样 AE 与 DE 的交点 E 就是轨道的圆心, AE 就是轨道的半径 r.过 C 点作 AF 的垂线与 AF 交于 H 点,则

有 由图可知

?AHC∽?EDA AC r? AD HC
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(1)

HC ? R ?

2 R 2 2 R 2

(2)

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AH ? 2 R ?

(3)

AC ? AH 2 ?HC 2
AD ?
由以上各式得 r=3R
2 v0 qv B ? m 0 r

(4) (5) (6) (7)

1 AC 2

由洛仑兹力和牛顿定律有

得到

B?

mv0 3qR

(8)

评分标准:本题 18 分. (1)式 8 分, (2) 、 (3) (4) 、 (5)式各 1 分, (6) 、 (7) 、 (8)式各 1 分. 14.参考解答: 杆 PQ 在磁场中运动时,受到的作用力有:外加恒力 F,方向向右;磁场的安培力,其
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大小 FB=BIl,方向向左,式中 I 是通过杆的感应电流,其大小与杆的速度有关;摩擦力, 大小为 Fμ,方向向左.根据动能定理,在所考察过程中作用于杆的合力做的功等于杆所增 加的动能,即有

WF ? WFB ? W

F?

?

1 2 mv 2

(1)

式中 v 为经过时间 t 杆速度的大小,WF 为恒力 F 对杆做的功,WF 安为安培力对杆做的 功,WFμ 为摩擦力对杆做的功.恒力 F 对杆做的功 WF=Fx (2) 因安培力的大小是变化的,安培力对杆做的功用初等数学无法计算,但杆克服安培力 做的功等于电阻所消耗的能量,若以 ER 表示电阻所消耗的能量,则有 -WF 安=ER (3) 摩擦力 Fμ 是恒力,它对杆做的功 WFμ=-Fμx (4) 但 Fμ 未知.因 U 型导轨在摩擦力作用下做匀加速运动,若其加速度为 a,则有 Fμ=m0a (5) 2 而 a=2x0/t (6) 由(4) 、 (5) 、 (6)三式得

WF? ? ?2m0

x0 x t2

(7)

经过时间 t 杆的速度设为 v,则杆和导轨构成的回路中的感应电动势 ε=Blv (8) 根据题意,此时回路中的感应电流

I0 ?
由(8) 、 (9)式得

?
R

(9)

v?

I0 R Bl
2 2 x0 R 1 I0 ) x ? m 2 2 2 t 2 Bl

(10)

由(l) 、 (2) 、 (3) 、 (7) 、 (10)各式得

ER ? ( F ? 2m0

(11)

评分标准:本题 20 分. (1)式 3 分, (2)式 l 分, (3)式 4 分, (7)式 4 分, (10)式 5 分, (11)式 3 分. 15.参考解答: 解法一 用 n1 和 n2 分别表示 L1 和 L2 中气体的摩尔数,P1、P2 和 V1、V2 分别表示 L1 和 L2 中 气体处在平衡态时的压强和体积,T 表示气体的温度(因为 M1 是导热的,两部分气体的 温度相等) ,由理想气体状态方程有 p1V1=n1RT (1) P2V2=n2RT (2) 式中 R 为普适气体常量.若以两个活塞和轻杆构成的系统为研究对象,处在平衡状态 时有 p1S1-p2S1+p2S2-p0S2=0 (3) 已知 S2=2S1 (4) 由(3) 、 (4)式得 p1+p2=2p0 (5)
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由(l) 、 (2) 、 (5)三式得

n1 p0V2 n2 p1 ? n V1 ? 1 V2 n2 2

(6)

若(6)式中的 V1、V2 是加热后 L1 和 L2 中气体的体积,则 p1 就是加热后 L1 中气体的 压强.加热前 L1 中气体的压强则为

n1 p0V20 n2 p10 ? n V10 ? 1 V20 n2 2

(7)

设加热后,L1 中气体体积的增加量为△V1,L2 中气体体积的增加量为△V2,因连结两 活塞的杆是刚性的,活塞 M2 的横截面积是 M1 的 2 倍,故有 △V1=△V2=△V (8) 加热后,L1 和 L2 中气体的体积都是增大的,即△V > 0 .[若△V< 0,即加热后,活塞是 向左移动的,则大气将对封闭在气缸中的气体做功,电热丝又对气体加热,根据热力学第 一定律,气体的内能增加,温度将上升,而体积是减小的,故 L1 和 L2 中气体的压强 p1 和 p2 都将增大,这违反力学平衡条件(5)式] 于是有 V1=V10+△V (9) V2=V20+△V (10) 由(6) 、 (7) 、 (9) 、 (10)四式得

n1 p0 (V10 ? V20 )?V n2 p1 ? p10 ? n n [V10 ? ?V ? 1 (V20 ? ?V )](V10 ? 1 V20 ) n2 n2 2

(11)

由(11)式可知,若加热前 V10=V20,则 p1=p10,即加热后 p1 不变,由(5)式知 p2 亦不变;若加热前 V10<V20,则 p1< p10,即加热后 P1 必减小,由(5)式知 P2 必增大;若 加热前 V10>V20, 则 p1> p10,即加热后 p1 必增大,由(5)式知 p2 必减小. 评分标准:本题 20 分. 得到(5)式得 3 分,得到(8)式得 3 分,得到(11)式得 8 分,最后结论得 6 分. 解法二 设加热前 L1 和 L2 中气体的压强和体积分别为 p10、p20 和 V10、V20,以 pl、p2 和 V1、 V2 分别表示加热后 L1 和 L2 中气体的压强和体积,由于 M1 是导热的,加热前 L1 和 L2 中气 体的温度是相等的,设为 T0,加热后 L1 和 L2 中气体的温度也相等,设为 T.因加热前、 后两个活塞和轻杆构成的系统都处在力学平衡状态,注意到 S2=2S1,力学平衡条件分别为 p10+p20=2p0 (1) p1+p2=2p0 (2) 由(l) 、 (2)两式得 p1-p10=- (p2-p20) (3) 根据理想气体状态方程,对 L1 中的气体有
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p1V1 T ? p10V10 T0

(4)
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对 L :中的气体有

p2V2 T ? p20V20 T0
由(4) 、 (5)两式得

(5)

p1V1 pV ? 2 2 p10V10 p20V20
(6)式可改写成

(6)

(1 ?

p1 ? p10 V ?V p ? p20 V ?V )(1 ? 1 10 ) ? (1 ? 2 )(1 ? 2 20 ) p10 V10 p20 V20

(7)

因连结两活塞的杆是刚性的,活塞 M2 的横截面积是 M1 的 2 倍,故有 V1-V10=V2-V20 把(3) 、 (8)式代入(7)式得

(8)

(1 ?

p1 ? p10 V ?V p ?p V ?V )(1 ? 1 10 ) ? (1 ? 1 10 )(1 ? 1 10 ) p10 V10 p20 V20

(9)

若 V10=V20,则由(9)式得 p1=p10,即若加热前,L1 中气体的体积等于 L2 中气体的体 积,则加热后 L1 中气体的压强不变,由(2)式可知加热后 L2 中气体的压强亦不变. 若 V10<V20,则由(9)式得 p1< p10,即若加热前,L1 中气体的体积小于 L2 中气体的体 积,则加热后 L1 中气体的压强必减小,由(2)式可知加热后 L2 中气体的压强必增大. 若 V10>V20,则由(9)式得 p1> p10,即若加热前, L1 中气体的体积大于 L2 中气体的 体积,则加热后 L1 中气体的压强必增大,由(2)式可知加热后 L2 中气体的压强必减小. 评分标准:本题 20 分. 得到(l)式和(2)式或得到(3)得 3 分,得到(8)式得 3 分,得到(9)式得 8 分, 最后结论得 6 分. 16.参考解答: (i)图 1 为卫星和碎片运行轨道的示意图.以 v1 表示碰撞前卫星作圆周运 动的速度,以 M 表示地球 E 的质量,根据万有引力定律和牛顿定律有
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G

Mm1 v12 ? m 1 ( R ? h)2 R?h

( 1)

式中 G 是引力常量.由(l)式得

v1 ?

GM ? R?h

R GM R?h R

(2)

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以 v2 表示刚要碰撞时太空碎片的速度,因为与卫星发生碰撞时,碎片到地心的距离等 于卫星到地心的距离,根据题意,太空碎片作椭圆运动的总能量

Mm2 Mm2 1 2 m2 v2 ?G ? ?G 2 R?h 2a
式中 a 为椭圆轨道的半长轴.由(3)式得

(3)

v2 ?

2GM GM 2R R GM ? ? ? R?h a R?h a R

(4)

卫星和碎片碰撞过程中动量守恒,有
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m1v1-m2v2=(m1+m2)v (5) 这里 v 是碰后二者结合成的物体(简称结合物)的速度.由(5)式得

v?

m1v 1? m v 2 m1 ? m2

2

(6)

由(2) 、 (4) 、 (6)三式并代人有关数据得

GM v?0.7520 R

( 7)

结合物能否撞上地球,要看其轨道(椭圆)的近地点到地心的距离 rmin,如果 rmin<R, 则结合物就撞上地球.为此我们先来求结合物轨道的半长轴 a '.结合物的总能量

?G

M (m1 ? m 2) 1 M (m 1 ? m )2 ? (m1 ? m2 )v 2 ? G 2a? 2 R?h

(8)

代人有关数据得 a '=5259km (9) 结合物轨道的近地点到地心的距离 rmin=2 a '-(R+h)=3347km<R (10) 据此可以判断,结合物最后要撞上地球. (ii)解法一 在极坐标中讨论.取极坐标,坐标原点在地心处,极轴由北极指向南极,如 图 2 所示.碰撞点在北极上空,是椭圆轨道的远地点,结合物轨道的椭圆方程

r?

p 1 ? e cos ?

(11)

式中 e 是偏心率,p 是椭圆的半正焦弦,远地点到地心的距离 rmax=R+h (12) 由解析几何有

e?

rm a x? r 2a?

min

(? 0 . 3 6 3 5 )

(13)

在轨道的近地点,r=rmin,θ=0,由(11)式得 p=rmin(1+e)(=4563km) 或有 p=rmax (1-e) 在结合物撞击地球处;r= R,由(11)式有

(14) (15)



p 1 ? e c o? s p?R cos ?? eR R?

(16) (17)

代人有关数据可得 cosθ=-0.7807 (18) 0 θ=141.32 (19) 0 这是在北纬 51.32 . 评分标准:本题 20 分. 第(i)小题 12 分. (1)或(2) 、 (3)或(4) 、 (5)或(6)式各 2 分, (8)式 3 分, (10)式 3 分. 第(ii)小题 8 分. (11) 、 (12) 、 (13) 、 (14)或(15) 、 (16)或(17)式各 l 分, (19) 0 0 式 2 分(答案在 141 到 142 之间的都给 2 分) ,正确指出纬度给 l 分. 解法二
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在直角坐标中讨论.取直角坐标系,以椭圆的对称中心为坐标原点 O, x 轴通过近地点 和远地点并由远地点指向近地点,如图 3 所示.结合物轨道的椭圆方程是

x2 y 2 ? ?1 a?2 b?2

(20)

式中 a' 、b'分别为结合物椭圆轨道的半长轴和半短轴.远地点到地心 的距离 rmax=R+h (21) 根据解析几何,若 c 为地心与坐标原点间的距离, c= rmax-a'(=1912km) (22) 而

b? ? a?2 ? c2

(23)

注意到 a'由(9)式给出,得 b'=4899km (24) 结合物撞击地面处是结合物的椭圆轨道与地面的交点,设该处的坐标为 xp 和 yp,则有 xp=Rcosθ+c (25) yp=Rsinθ (26) 式中 θ 为从地心指向撞击点的矢经与 x 方向的夹角.因撞击点在结合物的轨道上,将 (24) 、 (25)式代入轨道方程(20)式,经整理得
2 ? 2? a ? 2) c o ? R2 ( b s ? 2 ?2 ?2 ? b 2c R c ?o ?s ? a b2 ? a2? R

0 (27)

引人以下符号并代人有关数据得
11 ? 2? a ? 2) ? ? ? R2 ( b ( ? 148 ?4 1 0 km )
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? ? 2b?2 c R (? 5 8 4 ? 6 1110 km )
ht

?2b ? 2? a ?2( ? ? b?2 c2 ? a R2? 5 4 6 5 ? 1 01 1k m)
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代入(27)式得

?co2 s ?? ? c o s ?? ?? 0
解得

(28)

cos ??

?? ? ?2 ? 4 ?? 2?

(29)

舍掉不合理的答案,得 cosθ=-0.7807 (30) 0 θ=141.32 (31) 0 这是在北纬 51.32 . 评分标准: (20) 、 (21) 、 (22) 、 (23)或(24) 、 (27)式各 l 分, (31)式 2 分(答案在 1410 到 1420 之间的都给 2 分) ,正确指出纬度给 1 分.
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