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3.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用


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课时提升作业(十八)
函数 y=Asin(ω x+φ)的图象及三角函数模型的简单应用 (45 分钟 100 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.(2014·湘潭模拟)要得到函数 y=sin(3x-2)的图象,只要将函数 y=sin3x 的图象 ( )

A.向左平移 2 个单位 B.向右平移 2 个单位 C.向左平移错误!未找到引用源。个单位 D.向右平移错误!未找到引用源。个单位 2.(2014·九江模拟)把函数 y=sin(ω x+φ)(ω >0,|φ|<π )的图象向左平移错误! 未找到引用源。个单位,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不 变)所得的图象解析式为 y=sinx,则( A.ω =2,φ=错误!未找到引用源。 ) B.ω =2,φ=-错误!未找到引用源。 D. ω = 错误!未

C.ω =错误!未找到引用源。,φ=错误!未找到引用源。 找到引用源。,φ=错误!未找到引用源。 3.(2014·衡阳模拟)如图所示为函数 f(x)=2sin(ω x+φ)错 误!未找到引用源。的部分图象,其中 A,B 两点之间的距 离为 3,那么 f(-1)=( A.错误!未找到引用源。 D.-2 ) B.错误!未找到引用源。

C.2

4.(2013·福建高考)将函数 f 错误!未找到引用源。=sin 错误!未找到引用源。
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(-错误!未找到引用源。<θ <错误!未找到引用源。)的图象向右平移 φ错误!未找到引用源。个单位长度后得到函数 g 错误!未找到引用源。的图象, 若 f 错误!未找到引用源。,g 错误!未找到引用源。的图象都经过点 P 错误!未 找到引用源。,则φ的值可以是( A.错误!未找到引用源。 找到引用源。 ) B.错误!未找到引用源。 C. 错误!未

D.错误!未找到引用源。

5.(2014·永州模拟)已知函数 f(x)=sin(ω x+θ )错误!未找到引用源。的最小正 周期是π ,若将其图象向右平移错误!未找到引用源。个单位后得到的曲线关于原 点对称,则函数 f(x)的图象( )

A.关于点错误!未找到引用源。对称 B.关于直线 x=错误!未找到引用源。对称 C.关于点错误!未找到引用源。对称 D.关于直线 x=错误!未找到引用源。对称 6.(2014·吉首模拟)函数 f(x)=Asin(ω x+φ)(其中 A>0,|φ|<错误!未找到引用 源。 )的图象如图所示, 为了得到 g(x)=sin 2x 的图象, 则只需将 f(x)的图象( A.向右平移错误!未找到引用源。个长 B.向右平移错误!未找到引用源。个长 C.向左平移错误!未找到引用源。个长 D.向左平移错误!未找到引用源。个长 度单位 度单位 度单位 度单位 )

7.将函数 f(x)=sin(ω x+φ)的图象向左平移错误! 未找到引用源。个单位.若所得 图象与原图象重合,则ω 的值不可能等于( A.4 B.6 C.8 D.12 )

8.已知某海滨浴场的海浪高度 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,记作 y=f(t).下表是某日各时的浪高数据:
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t(小时) y(米)

0 1.5

3 1.0

6 0.5

9 1.0

12 1.5

15 1.0

18 0.5

21 0.99

24 1.5

经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数 y=Acosω t+b(A>0,ω >0)的图象. 根据以上数据,你认为一日(持续 24 小时)内,该海滨浴场的海浪高度超过 1.25 米 的时间为( A.10 小时 ) B.8 小时 C.6 小时 D.4 小时

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 9.(2014·烟台模拟)已知函数 f(x)=2sin(ω x+φ)(ω >0)的部分图象如图所示,则 f 错误!未找到引用源。= .

10.已知函数 f(x)=sin(ω x+φ)(ω >0,-错误!未找到引用源。≤φ≤错误!未找 到引用源。)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为 2 错误!未找到引用 源。,则ω = .

11.(2014·邵阳模拟)函数 f(x)=sin(ω x+φ)错误!未找到引用源。的最小正周期 为π ,且其图象向左平移错误!未找到引用源。个单位后得到的函数为奇函数,则 φ= .

12.(能力挑战题)关于函数 f(x)=4sin 错误!未找到引用源。(x∈R),有下列命题: ①y=f 错误!未找到引用源。为偶函数; ②要得到函数 g(x)=-4sin2x 的图象,只需将函数 f(x)的图象向右平移错误!未找
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到引用源。个单位长度; ③函数 y=f(x)的图象关于直线 x=-错误!未找到引用源。对称; ④函数 y=f(x)在[0,2π ]上的单调递增区间为错误!未找到引用源。和错误!未找 到引用源。. 其中正确命题的序号为 .

三、解答题(13 题 12 分,14~15 题各 14 分) 13.(2014·郴州模拟)已知函数 f(x)=错误!未找到引用源。sin 错误!未找到引 用源。+1. (1)求它的振幅、最小正周期、初相. (2)画出函数 y=f(x)在错误!未找到引用源。上的图象.

14.如图所示,某市拟在长为 8km 的道路 OP 的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一 部分为曲线段 OSM,该曲线段为函数 y=Asinω x(A>0,ω >0),x∈[0,4]的图象,且图 象的最高点为 S(3,2 错误!未找到引用源。),赛道的后一部分为折线段 MNP.求 A, ω 的值和 M,P 两点间的距离.
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15.(能力挑战题)(2014·怀化模拟)已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ) 错误!未找到引用源。的图象与 y 轴的交点为(0,1),它在 y 轴右侧的第一个最高 点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0+2π ,-2).

(1)求 f(x)的解析式及 x0 的值. (2)求 f(x)的增区间. (3)若 x∈[-π ,π ],求 f(x)的值域.

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答案解析
1.【解析】选 D.因为 y=sin(3x-2)=sin3 错误!未找到引用源。,所以只需将函数 y=sin3x 的图象向右平移错误!未找到引用源。个单位,即可得到 y=sin(3x-2)的 图象. 2.【解析】选 B.把 y=sinx 图象上所有点的横坐标缩小到原来的错误!未找到引用 源。,得到的函数解析式是 y=sin2x,再把这个函数图象向右平移错误! 未找到引用 源。个单位,得到的函数图象的解析式是 y=sin2 错误!未找到引用源。=sin 错误! 未找到引用源。,与已知函数比较得ω=2,φ=-错误!未找到引用源。. 3.【解析】选 C.由图象知:错误!未找到引用源。=3,所以 T=6, ω=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。π. 又 f(0)=2sinφ=1,所以 sinφ=错误!未找到引用源。. 错误!未找到引用源。≤φ≤π,因此φ=错误!未找到引用源。π. 所以 f(x)=2sin 错误!未找到引用源。 , 故 f(-1)=2sin 错误!未找到引用源。=2sin 错误!未找到引用源。=2. 4.【解析】选 B.f(x)的图象向右平移φ个单位,g 错误!未找到引用源。 =sin 错误!未找到引用源。, 由题错误!未找到引用源。解得θ=错误!未找到引用源。.将选项代入检验,φ= 错误!未找到引用源。π. 5.【解析】选 D.由题意知,将原点向左平移错误!未找到引用源。个单位即为函数 y=f(x)的一个对称中心错误! 未找到引用源。.又函数 f(x)的相邻对称中心与对称 轴相差错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,故 f(x)的一条对称轴为 x=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。,又相邻
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对称轴相差错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,故 x=-错误!未找到引 用源。+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。是函数的一条对称轴. 6.【解析】选 A.由图象可得 A=1,错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 -错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 ,T=π,所以ω=错误!未找到引 用源。=2. 因为错误!未找到引用源。是第三关键点,所以 2×错误!未找到引用源。+φ= π, 所以φ=错误!未找到引用源。 ,所以 f(x)=sin 错误!未找到引用源。=sin 错误! 未找到引用源。. 故只需将 f(x) 的图象向右平移错 误!未找 到引用源。 个长度单位,即可得 g(x)=sin2x 的图象. 7.【思路点拨】先进行平移,再比较与原函数的差异,解三角方程求ω值. 【解析】选 B.把 f(x)=sin(ωx+φ)的图象向左平移错误!未找到引用源。个单位 得 y=sin 错误!未找到引用源。 =sin 错误!未找到引用源。, 又该函数图象与原函数图象重合, 所以 sin 错误!未找到引用源。=sin(ωx+φ)恒成立, 所以错误!未找到引用源。ω+φ=2kπ+φ(k∈Z), 所以ω=4k(k∈Z), 所以ω不可能为 6. 【加固训练】已知 A,B,C,D 是函数 y=sin(ωx+φ) ω>0,0<φ<错误!未找到引用 源。 一个周期内的图象上的四个点,如图所示,A 错误!未找到引用源。,B 为 y 轴
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上的点,C 为图象上的最低点,E 为该函数图象的一个对称中心,B 与 D 关于点 E 对称, 错误!未找到引用源。在 x 轴上的投影为错误!未找到引用源。,则ω,φ的值为 ( )

A.2,错误!未找到引用源。 用源。

B.错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引 D.错误!未找到引用源。,

C.2,错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。 【解析】选 A.由错误!未找到引用源。在 x 轴上的投影为错误!未找到引用源。, 知 OF=错误!未找到引用源。, 又 A 错误!未找到引用源。,所以 AF=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。,所以ω=2.同时函数图象可以看成是由 y=sin2x 的图象向 左平移而来,故可知错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到 引用源。,即φ=错误!未找到引用源。.

8.【思路点拨】根据表格数据求出函数解析式,再由 y>1.25 求解. 【解析】选 B.依题意得错误!未找到引用源。
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解得 A=0.5,b=1,ω=错误!未找到引用源。, 则 y=0.5cos 错误!未找到引用源。t+1. 令 y=0.5cos 错误!未找到引用源。t+1>1.25(t∈[0,24])得 cos 错误!未找到引 用源。t>错误!未找到引用源。. 又 t∈[0,24],错误!未找到引用源。t∈[0,4π], 因此 0≤错误!未找到引用源。t<错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。 <错误!未找到引用源。t≤2π或 2π≤错误!未找到引用源。t<2π+错误!未找 到引用源。或 2π+错误!未找到引用源。<错误!未找到引用源。t≤2π+2π,即 0≤t<2 或 10<t≤12 或 12≤t<14 或 22<t≤24,在一日内,该海滨浴场的海浪高度超 过 1.25 米的时间为 8 小时. 【误区警示】本题容易对 t 的求解不全面而导致错解. 9. 【解析】由图象知函数 f(x)的最小正周期 T= 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,故ω=3, 又 x=错误!未找到引用源。时,f(x)=0,即 2sin 错误!未找到引用源。=0,可得φ =-错误!未找到引用源。+2kπ,k∈Z, 所以 f 错误!未找到引用源。=2sin 错误!未找到引用源。=0. 答案:0 10.【解析】由已知两相邻最高点和最低点的距离为 2 错误!未找到引用源。,而 f(x)max-f(x)min=2,由勾股定理可得错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 =2,所以 T=4,所以ω=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 答案:错误!未找到引用源。 11.【解析】因为错误!未找到引用源。=π,
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所以ω=2.所以 f(x)=sin(2x+φ), 其图象向左平移错误!未找到引用源。个单位后得到的函数为 f 错误!未找到引用源。=sin 错误!未找到引用源。 =sin 错误!未找到引用源。,由 f 错误!未找到引用源。为奇函数得φ+错误!未 找到引用源。=kπ(k∈Z),因为|φ|<错误!未找到引用源。,所以φ=-错误!未找 到引用源。. 答案:-错误!未找到引用源。 12.【解析】y=f 错误!未找到引用源。=4sin 错误!未找到引用源。 =4sin 错误!未找到引用源。,非奇非偶函数,①错误;函数 f(x)的图象向右平移错 误!未找到引用源。个单位长度 ,得到函数 f1(x)=4sin 错误!未找到引用源。 =-4sin2x 的图象,②正确;当 x=-错误!未找到引用源。时,2x-错误!未找到引用 源。=-错误!未找到引用源。,使函数 f(x)取得最小值,函数 y=f(x)关于直线 x=错误!未找到引用源。对称,③正确;由函数 f(x)的单调递增区间为错误!未找到 引用源。,k∈Z,知④错误. 答案:②③ 【方法技巧】函数 y=Asin(ωx+φ)性质的应用 (1)应用的范围:函数的单调性、最值、奇偶性、图象的对称性等方面都有体现和 考查. (2)解决的方法:有关函数 y=Asin(ωx+φ)的性质的运用问题,充分利用三角函数 的基本性质,要特别注意整体代换思想的运用. 13.【解析】(1)f(x)=错误!未找到引用源。sin 错误!未找到引用源。+1 的振幅 为错误!未找到引用源。,最小正周期 T=错误!未找到引用源。=π,初相为-错误!
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未找到引用源。. (2)列表并描点画出图象: -错误! -错误!未 -错误!未找到 x 未找到 引用源。 y 2 找到引用 引用源。 源。 1-错误! 未找到 1 引用源。 故函数 y=f(x)在区间错误!未找到引用源。上的图象是 1 引用源。 1+错误! 未找到 2

【加固训练】设 x∈R,函数 f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,-错误!未找到引用源。<φ <0)的最小正周期为π,且 f 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. (1)求ω和φ的值. (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π]上的图象.

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【解析】(1)因为函数 f(x)的最小正周期 T=错误!未找到引用源。=π, 所以ω=2. 因为 f 错误!未找到引用源。=cos 错误!未找到引用源。 =cos 错误!未找到引用源。=-sinφ=错误!未找到引用源。, 且-错误!未找到引用源。<φ<0,所以φ=-错误!未找到引用源。. (2)由(1)知 f(x)=cos 错误!未找到引用源。,列表如下: -错误! 2x-错误!未找 未找到 到引用源。 引用源。 用源。π 用源。π 错误!未 错误!未 错误!未 x 0 找到引 找到引 找到引 π 0 π 找到引 找到引 错误!未 错误!未

用源。π 用源。π 用源。π f(x) 图象如图: 1 0 -1 0

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14.【解析】依题意,有 A=2 错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。=3,又 T=错误!未找到引用源。, 所以ω=错误!未找到引用源。, 所以 y=2 错误!未找到引用源。sin 错误!未找到引用源。x,x∈[0,4], 所以当 x=4 时,y=2 错误!未找到引用源。sin 错误!未找到引用源。=3, 所以 M(4,3).又 P(8,0), 所以 MP=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=5(km),即 M,P 两点间的距 离为 5km. 15.【解析】(1)由图象知 A=2,由错误!未找到引用源。=2π得 T=4π, 所以ω=错误!未找到引用源。. 所以 f(x)=2sin 错误!未找到引用源。, 所以 f(0)=2sinφ=1,又因为|φ|<错误!未找到引用源。, 所以φ=错误!未找到引用源。,所以 f(x)=2sin 错误!未找到引用源。, 由 f(x0)=2sin 错误!未找到引用源。=2, 所以错误!未找到引用源。x0+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+2k π,k∈Z,
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x0=4kπ+错误!未找到引用源。,k∈Z, 又(x0,2)是 y 轴右侧的第一个最高点,所以 x0=错误!未找到引用源。. (2)由-错误!未找到引用源。+2kπ≤错误!未找到引用源。x+错误!未找到引用 源。≤错误!未找到引用源。+2kπ,k∈Z 得-错误!未找到引用源。+4kπ≤x≤错 误!未找到引用源。+4kπ,k∈Z,所以 f(x)的增区间为错误!未找到引用源。,k ∈Z. (3)因为-π≤x≤π, 所以-错误!未找到引用源。≤错误!未找到引用源。x+错误!未找到引用源。≤ 错误!未找到引用源。, 所以-错误!未找到引用源。≤sin 错误!未找到引用源。≤1, 所以-错误!未找到引用源。≤f(x)≤2,所以 f(x)的值域为[-错误!未找到引用 源。,2].

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