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2016




简单曲线的极坐标方程

1.了解极坐标方程的意义,了解曲线的极坐标方程的求法. 2.会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化;了解简单图形(如过极点的直线、 过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程.(重点、易错点) 3.能够运用直线和圆的极坐标方程解决问题.(难点)

[基础·初探] 教材整理 1 曲线与方程 阅读教材 P12“圆的极坐标方程”以上部分,完成下列问题. 在平面直角坐标系中,平面曲线 C 可以用方程 f(x,y)=0 表示.曲线与方程满足如下 关系: (1)曲线 C 上点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解; (2)以方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上. 教材整理 2 极坐标方程 阅读教材 P12~P13“例 1”以上部分,完成下列问题. 一般地,在极坐标系中,如果平面曲线 C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程

f(ρ ,θ )=0,并且坐标适合方程 f(ρ ,θ )=0 的点都在曲线 C 上,那么方程 f(ρ ,θ )
=0 叫做曲线 C 的极坐标方程.

下列点不在曲线 ρ =cos θ 上的是(

)

?1 π ? A.? , ? ?2 3 ?
π? ?1 C.? ,- ? 2 3? ?

? 1 2π ? B.?- , ? ? 2 3 ?
2π ? ?1 D.? ,- ? 2 3 ? ?

2π ? 1 2π ?1 ? 2π ? 【解析】 点? ,- ?的极坐标满足 ρ = ,θ =- ,且 ρ ≠cos θ =cos?- ? 3 ? 2 3 ?2 ? 3 ? 1 =- . 2 【答案】 D
1

教材整理 3 常见的极坐标方程 阅读教材 P13~P15,完成下列问题. 曲 线 图 形 极坐标方程 ρ =r(0≤θ <2π ) ρ = 圆心为(r,0),半径为 r 的圆 π? ? π 2rcos_θ ?- ≤θ ≤ ? 2? ? 2 ρ =2rsin_θ (0≤θ <π )

圆心在极点,半径为 r 的圆

? π? 圆心为?r, ?,半径为 r 的圆 2? ?
过极点,倾斜角为 α 的直线

θ =α 或 θ =α +π π? ? π ρ cos_θ =a?- <θ < ? 2 2? ?

过点(a,0),与极轴垂直的直线

? π? 过点?a, ?,与极轴平行的直线 2? ?

ρ sin_θ =a(0<θ <π )

极坐标方程 ρ =cos? A.双曲线 C.抛物线

?π -θ ?所表示的曲线是( ? ?4 ?
B.椭圆 D.圆

)

2 2 ?π ? 【解析】 ∵ρ =cos? -θ ?= cosθ + sin θ , 2 ?4 ? 2 ρ =
2 2

2 2 ρ cos θ + ρ sin θ , 2 2
2

∴x +y =

2 2 x+ y,这个方程表示一个圆. 2 2

【答案】 D [质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑:

2

疑问 3: 解惑:

[小组合作型] 直线或射线的极坐标方程 π 求过点 A(1,0),且倾斜角为 的直线的极坐标方程. 4 【思路探究】 画出草图― →设点 M(ρ ,θ )是直线上的任意一点― →建立关于 ρ ,θ 化简 的方程― ― →检验. 【自主解答】 法一 设 M(ρ ,θ )为直线上除点 A 以外的任意一点. π 3π 则∠xAM= ,∠OAM= , 4 4 π ∠OMA= -θ . 4 在△OAM 中,由正弦定理得 |OM| |OA| = , sin∠OAM sin∠OMA 即 ρ 1 = 3π π ? sin sin? -θ 4 ?4

? ? ?

,故 ρ sin?

? π -θ ? = 2 , ? 2 ?4 ?

π 2 ? π ? 即 ρ ?sin cos θ -cos sin θ ?= , 4 4 ? ? 2 化简得 ρ (cos θ -sin θ )=1, 经检验点 A(1,0)的坐标适合上述方程, π 所以满足条件的直线的极坐标方程为 ρ (cos θ -sin θ )=1,其中,0≤θ < ,ρ ≥0 4 5π 和 <θ <2π ,ρ ≥0. 4 法二 以极点 O 为直角坐标原点,极轴为 x 轴,建立平面直角坐标系 xOy. π ∵直线的斜率 k=tan =1, 4 ∴过点 A(1,0)的直线方程为 y=x-1. 将 y=ρ sin θ ,x=ρ cos θ 代入上式,得 ρ sin θ =ρ cos θ -1,

3

∴ρ (cos θ -sin θ )=1, π 5π 其中,0≤θ < ,ρ ≥0 和 <θ <2π ,ρ ≥0. 4 4

法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点 M 所满足的等式,从而集中条件建立了以 ρ ,θ 为未知数的方程;法二先求出直线的直角坐标方程,然后通过直角坐标向极坐标的 转化公式间接得解,过渡自然,视角新颖,不仅优化了思维方式,而且简化了解题过程.

[再练一题] 1.若本例中条件不变,如何求以 A 为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程? 【解】 由题意,设 M(ρ ,θ )为射线上任意一点, 2 ?π ? 根据例题可知,ρ sin? -θ ?= , ?4 ? 2 化简得 ρ (cos θ -sin θ )=1. 经检验点 A(1,0)的坐标适合上述方程. 因此,以 A 为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程为 ρ (cos θ - sin θ ) = π? ? 1?其中ρ ≥0,0≤θ < ?. 4? ? 极坐标方程与直角坐标方 程的互化 若曲线 C 的极坐标方程为 ρ =2sin θ +4cos θ ,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系. (1)求曲线 C 的直角坐标方程; π? ? (2)若直线 ρ sin?θ - ?=0 与曲线 C 相交于 A、B,求|AB|. 4? ? 【导学号:91060006】 【思路探究】 利用极坐标化为直角坐标的公式将直线和圆的极坐标方程化为直角坐标 方程求解. 【自主解答】 (1)因为?
?x=ρ cos θ , ? ?y=ρ sin θ , ?
2

所以 ρ =x +y ,

2

2

2

由 ρ =2sin θ +4cos θ ,得 ρ =2ρ sin θ +4ρ cos θ ∴x +y -4x-2y=0,即(x-2) +(y-1) =5. π? ? (2)由 ρ sin?θ - ?=0, 4? ?
2 2 2 2

4

得ρ ?

2 ? 2 ? sin θ - cos θ ?=0, 2 ?2 ?

即 ρ sin θ -ρ cos θ =0,∴x-y=0. 由于圆(x-2) +(y-1) =5 的半径为 r= 5,圆心(2,1)到直线 x-y=0 的距离为 d= |2-1| 1 = , 2 2 ∴|AB|=2 r -d =3 2.
2 2 2 2

1.直角坐标方程化为极坐标方程,只需把公式 x=ρ cos θ 及 y=ρ sin θ 直接代入 并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形,构造形如 ρ cos θ ,ρ sin θ , ρ 的形式,进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ 及方程两边平方是常用的 变形方法.但对方程进行变形时,方程必须保持同解,因此应注意对变形过程的检验. 2.对方程进行合理变形,并注重公式的正向、逆向与变形使用.
2

[再练一题]

? π? 2.在极坐标系中,点?2, ?到直线 ρ sin θ =2 的距离等于________. 6? ? ? π? 【解析】 极坐标系中点?2, ?对应的直角坐标为( 3, 1). 极坐标系中直线 ρ sin θ 6? ?
=2 对应直角坐标系中直线 y=2,故所求距离为 1. 【答案】 1 极坐标方程的应用 从极点 O 作直线与另一直线 l:ρ cos θ =4 相交于点 M,在 OM 上取一点 P, 使|OM|·|OP|=12. (1)求点 P 的轨迹方程; (2)设 R 为 l 上的任意一点,试求|RP|的最小值. 【思路探究】 (1)建立点 P 的极坐标方程,完成直角坐标与极坐标方程的互化.(2) 根据直线与圆的位置关系,数形结合求|RP|的最小值. 【自主解答】 (1)设动点 P 的极坐标为(ρ ,θ ),M 的极坐标为(ρ 0,θ ),则 ρ ρ =12. ∵ρ 0cos θ =4,∴ρ =3cos θ 即为所求的轨迹方程. (2)将 ρ =3cos θ 化为直角坐标方程,得 x +y =3x,
2 2 0

? 3? ?3? 2 即?x- ? +y =? ? , ? 2? ?2?
5

2

2

3 ?3 ? 知 P 的轨迹是以? ,0?为圆心,半径为 的圆. 2 ?2 ? 直线 l 的直角坐标方程是 x=4. 结合图形(图略)易得|RP|的最小值为 1.

1.用极坐标法可使几何中的一些问题得出很直接、简单的解法.当然,因为建系的不 同,曲线的极坐标方程也会不同. 2.解题时关键是极坐标要选取适当,这样可以简化运算过程,转化为直角坐标时也容 易一些.

[再练一题] 3.(2016·唐山期末)已知圆 C:x +y =4,直线 l:x+y=2,以 O 为极点,x 轴的正 半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系. (1)将圆 C 和直线 l 方程化为极坐标方程; (2)P 是 l 上的点,射线 OP 交圆 C 于点 R,又点 Q 在 OP 上且满足|OQ|·|OP|=|OR| , 当点 P 在 l 上移动时,求点 Q 轨迹的极坐标方程. 【解】 (1)将 x=ρ cos θ ,y=ρ sin θ 分别代入圆 C 和直线 l 的直角坐标方程得其 极坐标方程为 C:ρ =2,
2 2 2

l:ρ (cos θ +sin θ )=2.
(2)设 P, Q, R 的极坐标分别为(ρ 1, θ ), (ρ , θ ), (ρ 2, θ ), 则由|OQ|·|OP|=|OR| 得 ρ ρ 1=ρ 2. 2 2ρ 又 ρ 2=2,ρ 1= ,所以 =4, cos θ +sin θ cos θ +sin θ 故点 Q 轨迹的极坐标方程为 ρ =2(cos θ +sin θ )(ρ ≠0). [探究共研型] 圆的极坐标方程 探究 如何求圆心为 C(ρ 1,θ 1),半径为 r 的圆的极坐标方程? 【提示】 如图所示,设圆 C 上的任意一点为 M(ρ ,θ ),且 O、C、
2 2

M 三点不共线,不妨以如图所示情况加以说明,在△OCM 中,由余弦定理
得|OM| +|OC| -2|OM|·|OC|·cos∠COM=|CM| , ∴ρ +ρ 1-2ρ ρ 1cos(θ -θ 1)=r ,可以检验,当 O、C、M 三点 共线时的点 M 的坐标也适合上式,当 θ <θ 1 时也满足该式,所以半径为 r,圆心在 C(ρ 1, θ 1)的圆的极坐标方程为 ρ +ρ 1-2ρ ρ 1cos(θ -θ 1)-r =0.
2 2 2 2 2 2 2 2 2

6

5π ? ? 3π ? ? 求圆心在 C?2, ?处并且过极点的圆的极坐标方程,并判断点?-2,sin ? 2 ? 6 ? ? ? 是否在这个圆上. 【思路探究】 解答本题先设圆上任意一点 M(ρ ,θ ),建立等式转化为 ρ ,θ 的方 程,化简可得,并检验特殊点. 【自主解答】 如图,由题意知,圆经过极点 O,OA 为其一条直径,设 M(ρ ,θ )为圆 上除点 O,A 以外的任意一点,则|OA|=2r,连接 AM,则 OM⊥MA. 在 Rt△OAM 中,|OM|=|OA|cos∠AOM, 即 ρ =2rcos?

?3π -θ ?, ? ? 2 ?

∴ρ =-4sin θ ,

? 3π ? 经验证,点 O(0,0),A?4, ?的坐标满足上式, 2 ? ?
∴满足条件的圆的极坐标方程为 ρ =-4sin θ . 5π 1 ∵sin = , 6 2 5π ∴ρ =-4sin θ =-4sin =-2, 6 5π ? ? ∴点?-2,sin ?在此圆上. 6 ? ?

1.求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤:(1)建立适当的极坐标系(本题无需建); (2)在曲线上任取一点 M(ρ ,θ );(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式;(4)用极坐 标(ρ ,θ )表示上述等式,并化简得曲线的极坐标方程;(5)证明所得的方程是曲线的极坐 标方程(一般只要对特殊点加以检验即可). 2.求曲线的极坐标方程,关键是找出曲线上的点满足的几何条件,并进行坐标表示.

[再练一题] 4.曲线 C 的直角坐标方程为 x +y -2x=0,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立 极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为________. 【解析】 直角坐标方程 x +y -2x=0 可化为 x +y =2x, 将 ρ =x +y , x=ρ cos θ 代入整理得 ρ =2cos θ . 【答案】 ρ =2cos θ [构建·体系]
2 2 2 2 2 2 2 2 2

7

?— 曲线与方程 — 极坐标方程 极坐标方程—? — 圆的极坐标方程 ? — 直线的极坐标方程

1.圆心在(1,0)且过极点的圆的极坐标方程为( A.ρ =1 C.ρ =2cos θ
2

)

B.ρ =cos θ D.ρ =2sin θ
2

【解析】 圆的直角坐标方程是(x-1) +y =1,将 x=ρ cos θ ,y=ρ sin θ 代入上 式,整理得,ρ =2cos θ ,即为此圆的极坐标方程. 【答案】 C 2.极坐标方程(ρ -1)(θ -π )=0(ρ ≥0)表示的图形是( A.两个圆 B.两条直线 C.一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线 【解析】 由题设,得 ρ =1,或 θ =π , ρ =1 表示圆,θ =π (ρ ≥0)表示一条射线. 【答案】 C 3.极坐标方程分别为 ρ =2cos θ 和 ρ =sin θ 的两个圆的圆心距为________. 【导学号:91060007】 【解析】 )

? 1? 2 2 2 2 两圆方程分别为 x +y =2x,x +y =y,知两圆圆心 C1(1,0),C2?0, ?, ? 2?
5 ?1? 1 +? ? = . 2 ? ? 2
2 2

∴|C1C2|= 【答案】

5 2

π 4. (2016·佛山质检)在极坐标系(ρ , θ )(0≤θ <2π )中, 直线 θ = 被圆 ρ =2sin θ 4 截得的弦长是________. 【解析】 直线为 y=x(x≥0),圆的方程为 x +(y-1) =1,
2 2

8

交于原点和点 A(1,1),弦长为 2. 【答案】 2

5.求过(-2,3)点且斜率为 2 的直线的极坐标方程. 【解】 由题意知,直线的直角坐标方程为 y-3=2(x+2), 即:2x-y+7=0. 设 M(ρ ,θ )为直线上任意一点, 将 x=ρ cos θ ,y=ρ sin θ 代入直角坐标方程 2x-y+7=0 得:2ρ cos θ -ρ sin θ +7=0, 这就是所求的极坐标方程.

我还有这些不足: (1) (2) 我的课下提升方案: (1) (2)

学业分层测评(三) (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.极坐标方程 ρ =1 表示( A.直线 C.圆
2 2

) B.射线 D.椭圆
2

【解析】 由 ρ =1,得 ρ =1,即 x +y =1,故选 C. 【答案】 C π 2.过极点且倾斜角为 的直线的极坐标方程可以为( 3 π A.θ = 3 4π C.θ = ,ρ ≥0 3 )

π B.θ = ,ρ ≥0 3 π 4π D.θ = 和 θ = ,ρ ≥0 3 3

【解析】 以极点 O 为端点,所求直线上的点的极坐标分成两条射线.
9

π 4 ∵两条射线的极坐标方程为 θ = 和 θ = π , 3 3 ∴直线的极坐标方程为 θ = 【答案】 D 3.在极坐标系中,圆 ρ =-2sin θ 的圆心的极坐标是( ) π 4 和 θ = π (ρ ≥0). 3 3

? π? A.?1, ? 2? ?
C.(1,0)
2

π? ? B.?1,- ? 2? ? D.(1,π )
2 2

【解析】 由 ρ =-2sin θ 得 ρ =-2ρ sin θ ,化成直角坐标方程为 x +y =-2y, π? ? 2 2 化成标准方程为 x +(y+1) =1,圆心坐标为(0,-1),其对应的极坐标为?1,- ?. 2? ? 【答案】 B 4.在极坐标系中,圆 ρ =2cos θ 的垂直于极轴的两条切线方程分别为( A.θ =0(ρ ∈R)和 ρ cos θ =2 π B.θ = (ρ ∈R)和 ρ cos θ =2 2 π C.θ = (ρ ∈R)和 ρ cos θ =1 2 D.θ =0(ρ ∈R)和 ρ cos θ =1 【解析】 由 ρ =2cos θ ,得 ρ =2ρ cos θ ,化为直角坐标方程为 x +y -2x=0, 即(x-1) +y =1,其垂直于极轴的两条切线方程为 x=0 和 x=2,相应的极坐标方程为 θ π = (ρ ∈R)和 ρ cos θ =2. 2 【答案】 B 5.在极坐标系中与圆 ρ =4sin θ 相切的一条直线的方程为( ) 【导学号:91060008】 1 A.ρ cos θ = 2 π? ? C.ρ =4sin?θ + ? 3? ? B.ρ cos θ =2 π? ? D.ρ =4sin?θ - ? 3? ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

【解析】 极坐标方程 ρ =4sin θ 化为 ρ =4ρ sin θ ,即 x +y =4y,即 x +(y- 2) =4. 由所给的选项中 ρ cos θ =2 知,x=2 为其对应的直角坐标方程,该直线与圆相切. 【答案】 B 二、填空题
2

10

π 6.在极坐标系中,圆 ρ =4 被直线 θ = 分成两部分的面积之比是________. 4 π 【解析】 ∵直线 θ = 过圆 ρ =4 的圆心, 4 ∴直线把圆分成两部分的面积之比是 1∶1. 【答案】 1∶1 π 7.(2016·惠州模拟)若直线 l 的极坐标方程为 ρ cosθ - =3 2,曲线 C:ρ =1 上 4 的点到直线 l 的距离为 d,则 d 的最大值为________. 【解析】 直线的直角坐标方程为 x+y-6=0,曲线 C 的方程为 x +y =1,为圆;d |0+0-6| 的最大值为圆心到直线的距离加半径,即为 dmax= +1=3 2+1. 2 【答案】 3 2+1 π 8.在极坐标系中,圆 ρ =4sin θ 的圆心到直线 θ = (ρ ∈R)的距离是________. 6 【解析】 极坐标系中的圆 ρ =4sin θ 转化为平面直角坐标系中的一般方程为:x
2 2 2

π 2 2 2 +y =4y,即 x +(y-2) =4,其圆心为(0,2),直线 θ = 转化为平面直角坐标系中的方 6 程为 y= 3 x,即 3x-3y=0, 3

|0-3×2| ∴圆心(0,2)到直线 3x-3y=0 的距离为 = 3. 3+9 【答案】 三、解答题 9.(2016·银川月考)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 正半轴为极轴建立极坐标 π? ? 系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ cos?θ - ?=1,M,N 分别为 C 与 x 轴,y 轴的交点. 3? ? (1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程. π? ? 【解】 (1)由 ρ cos?θ - ?=1, 3? ? 3 ?1 ? 得 ρ ? cos θ + sin θ ?=1. 2 ?2 ? 又 x=ρ cos θ ,y=ρ sin θ , 3

x 3 ∴曲线 C 的直角坐标方程为 + y=1, 2 2
即 x+ 3y-2=0.
11

当 θ =0 时,ρ =2,∴点 M(2,0). π? π 2 ?2 当 θ = 时,ρ = 3,∴点 N? 3, ?. 2? 2 3 ?3

? 2 ? (2)由(1)知,M 点的坐标(2,0),点 N 的坐标?0, 3?. ? 3 ?
又 P 为 MN 的中点, ∴点 P?1,

? ?

3? ?2 3 π ? ?,则点 P 的极坐标为? , ?. 3? 6? ? 3

π 所以直线 OP 的极坐标方程为 θ = (ρ ∈R). 6 10 .(2016·南通期中 )在极坐标系下,已知圆 O:ρ = cos θ + sin θ 和直线 l : π? 2 ? ρ sin?θ - ?= , 4? 2 ? (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (2)当 θ ∈(0,π )时,求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标. 【解】 (1)由 ρ =cos θ +sin θ ,可得 ρ =ρ cos θ +ρ sin θ ,
2 2 2 ρ =x +y , ? ? 又?ρ cos θ =x, ? ?ρ sin θ =y, 2

代入得⊙O:x +y -x-y=0,

2

2

π? 2 2 2 2 ? 由 l:ρ sin?θ - ?= ,得: ρ sin θ - ρ cos θ = ,ρ sin θ -ρ cos θ 4? 2 2 2 2 ? =1,
? ?ρ cos θ =x, 又? ?ρ sin θ =y, ?

代入得:x-y+1=0.
?x=0, ? ? ?y=1,

(2)由?
2

?x-y+1=0, ? ? ?x +y -x-y=0,
2 2 2 2

解得?

ρ =x +y , ? ? 又? y tan θ = , ? x ?

? ?ρ =1, 得? ?tan θ 不存在, ?

π ? π? 又因为 θ ∈(0,π ),则 θ = ,故为?1, ?. 2? 2 ? [能力提升] π? ? 1.在极坐标系中,曲线 ρ =4sin?θ - ?关于( 3? ? π A.直线 θ = 对称 3 )

5π B.直线 θ = 对称 6

12

? π? C.点?2, ?对称 3? ?
π? ? 【解析】 由方程 ρ =4sin?θ - ?, 3? ? 得 ρ =2ρ sin θ -2 3ρ cos θ , 即 x +y =2y-2 3x, 配方,得(x+ 3) +(y-1) =4.
2 2 2 2 2

D.极点对称

它表示圆心在(- 3,1)、半径为 2 且过原点的圆, 5π 所以在极坐标系中,它关于直线 θ = 成轴对称. 6 【答案】 B

? π? 2.(2016·湛江模拟)在极坐标方程中,曲线 C 的方程是 ρ =4sin θ ,过点?4, ?作 6? ?
曲线 C 的切线,则切线长为( A.4 C.2 2 ) B. 7 D.2 3

? π? 2 2 【解析】 ρ =4sin θ 化为直角坐标方程为 x +(y-2) =4,点?4, ?化为直角坐标 6? ?
为(2 3,2),切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形,由勾股定理:切线长为 ?2 3? +?2-2? -2 =2 2. 【答案】 C 3.在极坐标系(ρ ,θ )(0≤θ <2π )中,曲线 ρ =2sin θ 与 ρ cos θ =-1 的交点 的极坐标为________. 【解析】 由 ρ =2sin θ ,得 ρ =2ρ sin θ , 其直角坐标方程为 x +y =2y, ρ cos θ =-1 的直角坐标方程为 x=-1,
? ?x +y =2y, 联立? ?x=-1, ?
2 2 2 2 2 2 2 2

解得?

?x=-1, ? ? ?y=1,

3π ? 点(-1,1)的极坐标为? 2, 4 ?

?. ? ?

3π ? ? 【答案】 ? 2, ? 4 ? ?

? π? 4.在极坐标系中,O 为极点,已知圆 C 的圆心为?2, ?,半径 r=1,P 在圆 C 上运动. 3? ?
(1)求圆 C 的极坐标方程;
13

(2)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位, 且以极点 O 为原点, 以极轴为 x 轴正 半轴)中,若 Q 为线段 OP 的中点,求点 Q 轨迹的直角坐标方程. 【解】 (1) 设 圆 C 上 任 一 点 坐 标 为 (ρ , θ ) , 由 余 弦 定 理 得 1 = ρ + 2 -
2 2 2

π? ? 2·2ρ cos?θ - ?, 3? ? π? ? 2 所以圆的极坐标方程为 ρ -4ρ cos?θ - ?+3=0. 3? ? (2)设 Q(x,y),则 P(2x,2y),由于圆 C 的直角坐标方程为(x-1) +(y- 3) =1,P 3? 2 1 ? 1?2 ? 2 2 在圆 C 上,所以(2x-1) +(2y- 3) =1,则 Q 的直角坐标方程为?x- ? +?y- ? = . 2 ? ? ? 2? 4
2 2

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