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上海市静安区2015届高三第一学期期末教学质量检测数学(文)试卷


静安区 2015 届高三第一学期期末教学质量检测 数学(文)试卷
(试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟) 2014.12

一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 计算: lim

n2 ? n ?? 12 n 2 ? 7

.

2. 已知集合 M ? { y | y ? 2 x, x ? 0} , N ? {x | y ? lg(2 x ? x2 )} ,则 M 3. 已知等差数列 {an } 的首项为 3,公差为 4,则该数列的前 n 项和 Sn ?

N?
.

.

4. 一个不透明袋中有 10 个不同颜色的同样大小的球,从中任意摸出 2 个,共有 果(用数值作答). 5. 不等式

种不同结

x?4 ? 0 的解集是 2x ?1

.

6. 设 (1 ? x)8 ? a0 ? a1x ?

? a7 x7 ? a8 x8 ,则 | a0 | ? | a1 | ?

? | a7 | ? | a8 |?

.

7. 已 知 圆 锥 底 面 的 半 径 为 1 , 侧 面 展 开 图 是 一 个 圆 心 角 为 是 .

2? 的扇形,则该圆锥的侧面积 3

8. 已知角 ? 的顶点与直角坐标系的原点重合, 始边在 x 轴的正半轴上, 终边在射线 y ? ?2 x( x ? 0 ) 上,则 sin 2? ? .

9. 已知两个向量 a , b 的夹角为 30 , | a |? 3 , b 为单位向量, c ? ta ? (1 ? t )b ,若 b c ? 0 ,则

t?

.

10. 已知两条直线的方程分别为 l1 : x ? y ? 1 ? 0 和 l2 : 2 x ? y ? 2 ? 0 ,则这两条直线的夹角大小 为 (结果用反三角函数值表示).
2

11. 若 ? , ? 是一二次方程 2 x ? x ? 3 ? 0 的两根,则

1

?

?

1

?

?

.

, 1到 ) 直线 l 的距离等于 1,则直线 l 的方程 12. 直 线 l 经 过 点 P(?2,1) 且 点 A(? 2 ?
是 .

y?2 的取值范围是 . x 14. 一个无穷等比数列的首项为 2,公比为负数,各项和为 S ,则 S 的取值范围是
13. 已知实数 x 、 y 满足 | x |?| y | ?1 ,则
·1 ·

.

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的 相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中,是偶函数且在 (0, ??) 上是增函数的是( A. y ? x 16.
?2

) D. y ? x
2 3

B. y ? x

1 2

C. y ? x

1 3

已 知 直 线 l1 : 3x ? (k ? 2) y ? 6 ? 0 与 直 线 l2 : kx ? (2k ? 3) y ? 2 ? 0 , 记

D?

.D 3   ? k (? 2 ) ? 0 是两条直线 l1 与直线 l2 平行的( k     2k ? 3


8

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 17. 已知 i 为虚数单位,图中复平面内的点 A 表示复数 z ,

6

4

y
2

z 则表示复数 的点是( 1? i
A. M B. N

M A


15 10 5

P O P
2

x Q

5

10

C. P

D. Q

18. 到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为( ) A. 1 个 B. 4 个 C. 7 个 D. 8 个 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤. 19.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.
4 6 8

在锐角 ABC 中, a 、 b 、 c 分别为内角 A 、 B 、 C 所对的边长,且满足 (1)求 ? B 的大小; (2)若 b ?

sin A 3 ? . a 2b

7 , ABC 的面积 S

ABC

?

3 3 ,求 a ? c 的值. 4

·2 ·

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 10 分. 上海出租车的价格规定:起步费 14 元,可行 3 公里,3 公里以后按每公里 2.4 元计算,可再行 7 公里;超过 10 公里按每公里 3.6 元计算,假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用,也不考虑实 际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况,即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定. (1)小明乘出租车从学校到家,共 8 公里,请问他应付出租车费多少元?(本小题只需要回答最后 结果) (2)求车费 y (元)与行车里程 x (公里)之间的函数关系式 y ? f ( x) .

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 如图, 正方体 ABCD ? A 点 P 为面 ADD1 A1 的对角线 AD1 的中点. PM ? 平 1B 1C1D 1 的棱长为 2, 面 ABCD 交 AD 与 M , MN ? BD 于 N . (1)求异面直线 PN 与 AC (结果可用反三角函数值表示) 1 1 所成角的大小; (2)求三棱锥 P ? BMN 的体积.
B1 P A B M N C A1 C1 D D1

·3 ·

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小题满分 8 分.
2 已知函数 f ( x) ? log a ( x ? 1 ? x) (其中 a ? 1 ).

(1)判断函数 y ? f ( x) 的奇偶性,并说明理由; (2)求函数 y ? f ( x) 的反函数 y ? f ?1 ( x) ; (3)若两个函数 F ( x) 与 G ( x) 在闭区间 [ p, q ] 上恒满足 | F ( x) ? G( x) |? 2 ,则称函数 F ( x) 与 G ( x) 在闭区间 [ p, q ] 上是分离的. 试判断函数 y ? f ?1 ( x) 与 g ( x) ? a x 在闭区间 [1, 2] 上是否分离?若分离,求出实数 a 的取值范 围;若不分离,请说明理由.

23.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 7 分. 在数列 {an } 中,已知 a2 ? 1 ,前 n 项和为 Sn ,且 S n ? (1)求 a1 ; (2)求数列 {an } 的通项公式; (3)设 lg bn ?

n(an ? a1 ) .(其中 n ? N * ) 2

an ? 1 ,问是否存在正整数 p 、 q (其中 1 ? p ? q ) ,使得 b1 、 bp 、 bq 成等比数列? 3n

若存在,求出所有满足条件的数组 ( p, q) ;否则,说明理由.

·4 ·

静安区 2014 学年第一学期期末教学质量检测 高三年级数学(文科)试卷答案
(试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟) 2014.12

一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.

n2 ? 1. 计算: lim n ?? 12 n 2 ? 7
解:

.

1 . 12
N?
.

2 2. 已知集合 M ? { y | y ? 2 x, x ? 0} , N ? {x | y ? lg(2 x ? x )} ,则 M

解: (0, 2) . 3. 已知等差数列 {an } 的首项为 3,公差为 4,则该数列的前 n 项和 Sn ? 解: 2n ? n .
2

.

4. 一个不透明袋中有 10 个不同颜色的同样大小的球,从中任意摸出 2 个,共有 果(用数值作答). 解:45. 5. 不等式

种不同结

x?4 ? 0 的解集是 2x ?1

.

解: ?

?1 ? ,4? . ?2 ?
8

6. 设 (1 ? x) ? a0 ? a1x ? 解:256.

? a7 x7 ? a8 x8 ,则 | a0 | ? | a1 | ?

? | a7 | ? | a8 |?

.

7. 已 知 圆 锥 底 面 的 半 径 为 1 , 侧 面 展 开 图 是 一 个 圆 心 角 为 是 解: 3? . .
·5 ·

2? 的扇形,则该圆锥的侧面积 3

8. 已知角 ? 的顶点与直角坐标系的原点重合, 始边在 x 轴的正半轴上, 终边在射线 y ? ?2 x( x ? 0 ) 上,则 sin 2? ? 解: ? .

4 . 5

9. 已知两个向量 a , b 的夹角为 30 , | a |? 3 , b 为单位向量, c ? ta ? (1 ? t )b ,若 b c ? 0 ,则

t?
解:-2.

.

10. 已知两条直线的方程分别为 l1 : x ? y ? 1 ? 0 和 l2 : 2 x ? y ? 2 ? 0 ,则这两条直线的夹角大小 为 解: arctan (结果用反三角函数值表示).

1 3 10 10 (或 arccos 或 arcsin ). 3 10 10
2

11. 若 ? , ? 是一二次方程 2 x ? x ? 3 ? 0 的两根,则 解:-3.

1

?

?

1

?

?

.

, 1到 ) 直线 l 的距离等于 1,则直线 l 的方程 12. 直 线 l 经 过 点 P(?2,1) 且 点 A(? 2 ?
是 .

解: 3x ? y ? 1 ? 2 3 ? 0 或 ? 3x ? y ? 1 ? 2 3 ? 0 . 13. 已知实数 x 、 y 满足 | x |?| y | ?1 ,则 解: [?2, 2] . 14. 一个无穷等比数列的首项为 2,公比为负数,各项和为 S ,则 S 的取值范围是 解: (1, 2) . 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的 相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中,是偶函数且在 (0, ??) 上是增函数的是( A. y ? x 解:D. 16. 已 知 直 线 l1 : 3x ? (k ? 2) y ? 6 ? 0 与 直 线 l2 : kx ? (2k ? 3) y ? 2 ? 0 , 记
?2

y?2 的取值范围是 x

.

.

) D. y ? x
2 3

B. y ? x

1 2

C. y ? x

1 3

·6 ·

D?

3   ? (k ? 2) . D ? 0 是两条直线 l1 与直线 l2 平行的( k     2k ? 3


8

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 解:B. 17. 已知 i 为虚数单位,图中复平面内的点 A 表示复数 z ,

6

4

y
2

z 则表示复数 的点是( 1? i
A. M B. N

M A


15 10 5

P O P
2

x Q

5

10

C. P

D. Q

解:D. 18. 到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为( ) A. 1 个 B. 4 个 C. 7 个 D. 8 个 解:C. 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤. 19.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.
4 6 8

在锐角 ABC 中, a 、 b 、 c 分别为内角 A 、 B 、 C 所对的边长,且满足 (1)求 ? B 的大小; (2)若 b ?

sin A 3 ? . a 2b

7 , ABC 的面积 S

ABC

?

3 3 ,求 a ? c 的值. 4

解: (1)由正弦定理:

a b sin A 3 sin B 3 ? ? ? ,得 ,∴ sin B ? , (4 分) sin A sin B a 2b b 2

又由 B 为锐角,得 B ?

?
3

.(6 分)

(2) S

ABC

?

1 ac sin B ,又∵ 2
2 2 2

S

ABC

?

3 3 ,∴ 4

ac ? 3 , (8 分)

根据余弦定理: b ? a ? c ? 2ac cos B ? 7 ? 3 ? 10 , (12 分) ∴

(a ? c)2 ? a2 ? c2 ? 2ac ? 16 ,从而 a ? c ? 4 .(14 分)

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 10 分. 上海出租车的价格规定:起步费 14 元,可行 3 公里,3 公里以后按每公里 2.4 元计算,可再行 7 公里;超过 10 公里按每公里 3.6 元计算,假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用,也不考虑实 际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况,即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.
·7 ·

(1)小明乘出租车从学校到家,共 8 公里,请问他应付出租车费多少元?(本小题只需要回答最后 结果) (2)求车费 y (元)与行车里程 x (公里)之间的函数关系式 y ? f ( x) . 解: (1)他应付出出租车费 26 元.(4 分)

0? x?3 ?14,    ? 3 ? x ? 10 . (2) f ( x ) ? ? 2.4 x ? 6.8,    ?3.6 x ? 5.2,  x ? 10 ?
21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 如图, 正方体 ABCD ? A 点 P 为面 ADD1 A1 的对角线 AD1 的中点. PM ? 平 1B 1C1D 1 的棱长为 2, 面 ABCD 交 AD 与 M , MN ? BD 于 N .
A1 P A M N C C1 D D1

(1)求异面直线 PN 与 AC (结果可用反三角函数值表示) 1 1 所成角的大小; B1 (2)求三棱锥 P ? BMN 的体积. 解: (1)∵ 点 P 为面 ADD1 A1 的对角线 AD1 的中点,且 PM ? 平面 ABCD ,
B



PM 为 ADD1 的中位线,得 PM ? 1 ,

又∵

MN ? BD ,∴

MN ? ND ?

2 2 MD ? , (2 分) 2 2
MN // AC ,

∵ 在底面 ABCD 中, MN ? BD , AC ? BD ,∴ 又∵

(6 分) AC 1 1 // AC , ?PNM 为异面直线 PN 与 AC 1 1 所成角,

在 PMN 中, ?PMN 为直角, tan ?PNM ? 2 ,∴

?PNM ? arctan 2 .

即异面直线 PN 与 AC 1 1 所成角的大小为 arctan 2 .(8 分) (2) BN ? 2 2 ?

2 3 2 ? , (9 分) 2 2

1 1 VP ? BMN ? ? ? PM ? MN ? BN , (12 分) 3 2
22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小题满分 8 分.
2 已知函数 f ( x) ? log a ( x ? 1 ? x) (其中 a ? 1 ).

(1)判断函数 y ? f ( x) 的奇偶性,并说明理由;

·8 ·

(2)求函数 y ? f ( x) 的反函数 y ? f ?1 ( x) ; (3)若两个函数 F ( x) 与 G ( x) 在闭区间 [ p, q ] 上恒满足 | F ( x) ? G( x) |? 2 ,则称函数 F ( x) 与 G ( x) 在闭区间 [ p, q ] 上是分离的. 试判断函数 y ? f ?1 ( x) 与 g ( x) ? a x 在闭区间 [1, 2] 上是否分离?若分离,求出实数 a 的取值范 围;若不分离,请说明理由. 解: (1)∵ 又∵ (1 分) x 2 ? 1 ? x ?| x | ? x ? 0 ,∴ 函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,

f ( x) ? f (? x) ? log a ( x 2 ? 1 ? x) ? log a ( x 2 ? 1 ? x) ? 0 ,

∴ 函数 y ? f ( x) 是奇函数.(4 分) (2)由 x2 ?1 ? x ? 0 ,且当 x ??? 时, x2 ? 1 ? x ? 0 ,
2 当 x ??? 时, x2 ? 1 ? x ? ?? ,得 f ( x) ? log a ( x ? 1 ? x) 的值域为实数集.

2 ?1 解 y ? log a ( x ? 1 ? x ) 得 f ( x) ?

1 x (a ? a ? x ) , x ? R .(8 分) 2

(3)

1 1 x (a ? a ? x ) ? a x ? 2 在区间 [1, 2] 上恒成立,即 a x ? a ? x ? 2 , 2 2
?x

即a ?a
x x

? 4 在区间 [1, 2] 上恒成立, (11 分)
a ? 1 ,∴

令 a ? t ,∵

t ?[a, a2 ] ,
1 ? 1? ?t ? ? ? a ? ? 4 , a ? t ?min

1 t ? 在 t ?[a, a2 ] 上单调递增,∴ t
解得 a ? 2 ? 3 ,∴

a ? (2 ? 3, ??) .(16 分)

23.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 7 分. 在数列 {an } 中,已知 a2 ? 1 ,前 n 项和为 Sn ,且 S n ? (1)求 a1 ; (2)求数列 {an } 的通项公式;
·9 ·

n(an ? a1 ) .(其中 n ? N * ) 2

(3)设 lg bn ?

an ? 1 ,问是否存在正整数 p 、 q (其中 1 ? p ? q ) ,使得 b1 、 bp 、 bq 成等比数列? 3n

若存在,求出所有满足条件的数组 ( p, q) ;否则,说明理由. 解: (1)∵

n(an ? a1 ) (a ? a1 ) ? 0 ,∴ ,令 n ? 1 ,得 a1 ? 1 2 2 2(a2 ? a1 ) 或者令 n ? 2 ,得 a1 ? a2 ? ,∴ a1 ? 0 . 2 (n ? 1)(an ?1 ? a1 ) (n ? 1)an ?1 ? (2)当 n ? 2 时, S n ?1 ? , 2 2 Sn ?


(3 分) a1 ? 0 ,

an ?1 ? S n ?1 ? S n ?

(n ? 1)an ?1 nan ? ,∴ 2 2

an?1 n , ? an n ?1

推得

an ?1 n ? ,又∵ a3 2

a2 ? 1 ,∴

a3 ? 2a2 ? 3 ,∴

an?1 ? n ,

当 n ? 1, 2 时也成立,∴

an ? n ?1 ( n ? N * ).(9 分)

(3)假设存在正整数 p 、 q ,使得 b1 、bp 、bq 成等比数列,则 lg b1 、lg bp 、 lg bq 成等差数列, 故

2p 1 q ? ? (**) (11 分) 3 p 3 3q 1 2p 1 p 1 由于右边大于 ,则 p ? ,即 p ? , 3 3 3 3 6
考查数列 ?

?p? 的单调性,∵ p ? ?3 ?

p ?1 p 1? 2 p ? ? p ?1 ? 0 , 3 p ?1 3 p 3

∴ 数列 ?

?p? 为单调递减数列.(14 分) p ? ?3 ?

q 1 p 2 1 ? ? ,代入(**)式得 q ? ,解得 q ? 3 ; p 3 9 3 9 6 p 1 当 p ? 3 时, p ? (舍). 3 9
当 p ? 2 时, 综上得:满足条件的正整数组 ( p, q) 为 (2,3) .(16 分) (说明:从不定方程

2p 1 q ? ? 以具体值代入求解也可参照上面步骤给分) 3 p 3 3q

·10·


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