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2013高考数学(理)热点专题专练:3-8直线与方程、圆与方程


高考专题训练(八)

直线与方程、圆与方程

时间:45 分钟 分值:75 分 一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.在每小 题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项填在括号里. 1.(2012· 天津)设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 与 圆(x-1)2+(y-1)2=1 相切,则 m+n 的取值范围是( A.[1- 3,1+ 3] B.(-∞,1- 3]∪[1+ 3,+∞) C.[2-2 2,2+2 2] D.(-∞,2-2 2]∪[2+2 2,+∞) 解析 mn≤? 由直线与圆相切得: |m+1+n+1-2| =1?m+n+1= ?m+1?2+?n+1?2 )

?m+n?2 ? ?(m+n)2-4(m+n)-4≥0,所以:m+n≥2+2 2或 m ? 2 ?

+n≤2-2 2. 答案 D

2.若 PQ 是圆 x2+y2=9 的弦,PQ 的中点是 M(1,2),则直线 PQ 的方程是( ) B.x+2y-5=0 D.2x-y=0

A.x+2y-3=0 C.2x-y+4=0

1 解析 由圆的几何性质知 kPQ·OM=-1,∵kOM=2,∴kPQ=-2, k 1 故直线 PQ 的方程为 y-2=-2(x-1),即 x+2y-5=0. 答案 B

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x y 3.(2012· 日照市模拟)若直线a+b=1 经过点 M(cosα,sinα),则 ( ) A.a2+b2≤1 1 1 C.a2+b2≤1 B.a2+b2≥1 1 1 D.a2+b2≥1

解析 由点 M(cosα,sinα)可知,点 M 在圆 x2+y2=1 上,又直线 x y |ab| +b=1 经过点 M,所以 2 2≤1?a2+b2≥a2b2,不等式两边同时 a a +b 1 1 除以 a2b2 得a2+b2≥1,故选 D. 答案 D

4.(2012· 临沂市模拟)已知直线 x+ 3y-m=0 与圆 x2+y2=1 交 → → 于 A、B 两点,则与OA+OB共线的向量为(
?1 3? A.? ,- ? 3? ?2

)

?1 3? B.? , ? 3? ?2

C.(-1, 3) 解析

D.(1, 3)

→ → → → → 根据题意得|OA|=|OB|=1,故(OA+OB)⊥AB,直线 AB

→ → 3 的斜率为- 3 ,故向量OA+OB所在直线的斜率为 3,结合选项知, 只有选项 D 符合要求. 答案 D

5.(2012· 烟台市模拟)若圆 x2+y2-ax+2y+1=0 与圆 x2+y2=1 关于直线 y=x-1 对称,过点 C(-a,a)的圆 P 与 y 轴相切,则圆心 P 的轨迹方程为( )

A.y2-4x+4y+8=0 B.y2+2x-2y+2=0
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C.y2+4x-4y+8=0 D.y2-2x-y-1=0 解析 由圆 x2+y2-ax+2y+1=0 与圆 x2+y2=1 关于直线 y=x -1 对称可知两圆半径相等,故可得 a=± 2(舍负),即点 C(-2,2),所 以过点 C(-2,2)且与 y 轴相切的圆圆心的轨迹方程为(x+2)2+(y-2)2 =x2,整理即得 y2+4x-4y+8=0,故答案选 C. 答案 C

6.(2012· 山东省临沂市模拟)已知点 P(x,y)在直线 x+2y=3 上 1? ? 1? ? 移动,当 2x+4y 取最小值时,过点 P(x,y)引圆 C:?x-2?2+?y+4?2
? ? ? ?

1 =2的切线,则此切线长等于( 1 A.2 6 C. 2

) 3 B.2 3 D. 2

解析 由于点 P(x,y)在直线 x+2y=3 上移动,得 x,y 满足 x+ 2y=3,又 2x+4y=2x+22y≥2 2x+2y=4 2,取得最小值时 x=2y,此 1? ?3 3? ?1 时点 P 的坐标为 ?2,4? .由于点 P 到圆心 C?2,-4? 的距离为 d= ? ? ? ?
?3 1?2 ?3 1?2 2 ? - ? +? + ? = 2,而圆 C 的半径为 r= ,那么切线长为 2 ?2 2? ?4 4?

d2-r2= 答案 C

1 6 2-2= 2 ,故选 C.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案 填在题中横线上. 7. 圆心为原点且与直线 x+y-2=0 相切的圆的方程为________.

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解析 本题考查了直线与圆的位置关系, 在解题时应首先求得原 点到直线的距离,即是圆的半径,写出圆的方程即可,题目定位于简 单题. 由题意可知,原点到直线 x+y-2=0 的距离为圆的半径,即 r |0+0-2| = = 2,所以圆的方程为 x2+y2=2. 2 答案 x2+y2=2

8.若不同两点 P,Q 的坐标分别为(a,b),(3-b,3-a),则线段 PQ 的垂直平分线 l 的斜率为________; 圆(x-2)2+(y-3)2=1 关于直 线 l 对称的圆的方程为________. 解析 本小题主要考查了直线与圆的知识, 并且考查了圆关于直 线对称的知识点. 由题可知 kPQ= 3-a-b =1,又 klkPQ=-1?kl=-1,圆关于直 3-b-a

线 l 对称,找到圆心(2,3)的对称点(0,1),又圆的半径不变,易得 x2+ (y-1)2=1. 答案 -1 x2+(y-1)2=1

9.(2012· 临沂市模拟)已知点 P 在直线 x+2y-1=0 上,点 Q 在 y0 直线 x+2y+3=0 上,PQ 中点为 M(x0,y0),且 y0≥x0+2,则x 的取
0

值范围为________. 解析 如下图所示,点 M 在射线 AB 上,射线 AB 的方程为 y= 5? ? 5 1? 1 1? y0 y0 -2x-2?x≤-3?, A 的坐标是?-3,3?, 点 根据x 的几何意义可知x 的 ? ? ? ? 0 0 1? ? 1 取值范围是?-2,-5?. ? ?

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1? ? 1 答案 ?-2,-5?
? ?

10.(2012· 浙江)定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称 为曲线 C 到直线 l 的距离.已知曲线 C1:y=x2+a 到直线 l:y=x 的 距离等于曲线 C2:x2+(y+4)2=2 到直线 l:y=x 的距离,则实数 a =________. 解析 由于曲线 C2 的圆心为(0,-4),半径为 2,而圆心到直 |0+4| 线 l 的距离为 d= =2 2,那么根据定义知曲线 C2 到直线 l 的距 2 离为 2 2- 2= 2,而对于曲线 C1,y′=2x,由 y′=2x=1 得 x
?1 1 ? 1 1 =2, 此时 y=4+a, 那么点?2,4+a?到直线 l 的距离为 d= ? ? ?1 ?1 ?? ? -? +a?? ?? ?2 ?4

2

9 7 = 2,解得 a=4或-4(数形结合知负值不满足条件,舍去). 9 答案 4 三、解答题:本大题共 2 小题,共 25 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 11.(12 分)已知,如图,⊙O:x2+y2=1 和定点 A(2,1),由⊙O 外一点 P(a,b)向⊙O 引切线 PQ,切点为 Q,且满足|PQ|=|PA|.

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(1)求实数 a、b 间满足的等量关系; (2)求线段 PQ 长的最小值; (3)若以 P 为圆心所作的⊙P 与⊙O 有公共点, 试求半径取最小值 时⊙P 的方程. 解 (1)连接 OP,∵Q 为切点,PQ⊥OQ,由勾股定理有|PQ|2=

|OP|2-|OQ|2. 又由已知|PQ|=|PA|,故|PQ|2=|PA|2, 即(a2+b2)-12=(a-2)2+(b-1)2. 化简得实数 a、b 间满足的等量关系为 2a+b-3=0. (2)由 2a+b-3=0,得 b=-2a+3. |PQ|= a2+b2-1= a2+?-2a+3?2-1 = 5a2-12a+8= 6? 4 ? 5?a-5?2+5.
? ?

6 2 故当 a=5时,|PQ|min=5 5, 2 即线段 PQ 长的最小值为5 5. (3)设⊙P 的半径为 R,⊙P 与⊙O 有公共点, ∵⊙O 的半径为 1, ∴|R-1|≤|OP|≤R+1,即 R≥|OP|-1 且 R≤|OP|+1.
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而|OP|= a2+b2= a2+?-2a+3?2 = 6? 9 ? 5?a-5?2+5.
? ?

6 3 3 3 故当 a=5时,|PO|min=5 5,此时 b=-2a+3=5,Rmin=5 5- 6? ? 3? ?3 ? ? 1.则半径取最小值时⊙P 的方程为?x-5?2+?y-5?2=?5 5-1?2.
? ? ? ? ? ?

12.(13 分)(2012· 湖南)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 上的点均 在圆 C2:(x-5)2+y2=9 外,且对 C1 上任意一点 M,M 到直线 x=- 2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值. (1)求曲线 C1 的方程; (2)设 P(x0,y0)(y0≠± 3)为圆 C2 外一点,过点 P 作圆 C2 的两条切 线,分别与曲线 C1 相交于点 A,B 和 C,D.证明:当 P 在直线 x=- 4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定值. 解 (1) 解 法 一 : 设 M 的 坐 标 为 (x , y) , 由 已 知 得 |x + 2| =

?x-5?2+y2-3.易知圆 C2 上的点位于直线 x=-2 的右侧,于是 x+ 2>0,所以 ?x-5?2+y2=x+5. 化简得曲线 C1 的方程为 y2=20x. 解法二:由题设知,曲线 C1 上任意一点 M 到圆心 C2(5,0)的距离 等于它到直线 x=-5 的距离.因此,曲线 C1 是以(5,0)为焦点,直线 x=-5 为准线的抛物线.故其方程为 y2=20x. (2)当点 P 在直线 x=-4 上运动时,点 P 的坐标为(-4,y0).又 y0≠± 3,则过点 P 且与圆 C2 相切的直线的斜率 k 存在且不为 0,每条 切线都与抛物线有两个交点,切线方程为 y-y0=k(x+4),即 kx-y +y0+4k=0.于是 |5k+y0+4k| 2 =3.整理得 72k2+18y0k+y0-9=0.① 2 k +1
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设过 P 所作的两条切线 PA,PC 的斜率分别为 k1,k2,则 k1,k2 是方程①的两个实根.故 18y0 y0 k1+k2=- 72 =- 4 .②
?k1x-y+y0+4k1=0, ? 由? 2 得 ?y =20x ?

k1y2-20y+20(y0+4k1)=0.③ 设四点 A,B,C,D 的纵坐标分别为 y1,y2,y3,y4,则 y1,y2 是方程③的两个实根,所以 20?y0+4k1? y1y2= .④ k
1

同理可得 20?y0+4k2? y3y4= .⑤ k
2

于是由②,④,⑤三式得 y1y2y3y4= 400?y0+4k1??y0+4k2? k1 k2

400[y2+4?k1+k2?y0+16k1k2] 0 = k1 k2 400?y2-y2+16k1k2? 0 0 = =6 400. k1 k2 所以,当点 P 在直线 x=-4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵 坐标之积为定值 6 400.

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