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文科数学一轮复习:§1.1 集合的概念与运算


※文科数学一轮复习课堂学习单※(1 )

2015、5、15

课题
班级 学习目标

§ 1.1
小组 1.理解集合的基本概念 2.掌握集合间的基本关系 3.灵活进行集合的基本运算

集合的概念与运算
姓名

重 点 难 点

合的运算 集合的基本关系 学 习 导 航 教·学 记要

自学教材:p1 并完成下列问题: 例 1 (1)已知集合 A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A}, ( C.8 D.10 )

则 B 中所含元素的个数为 A.3 B.6

b ? ? (2)设 a,b∈R,集合{1,a+b,a}=?0,a,b?,则 b-a=________. ? ?

例2

(1)已知集合 A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则 ( D.4 )

满足条件 A ? C ? B 的集合 C 的个数为 A.1 B.2 C .3

(2)已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若 B ? A,则 实数 m 的取值范围是________.

例 3

? 1x ? (1)(2013· 湖 北 ) 已 知 全 集 为 R , 集 合 A = ?x|?2? ≤1? , B = ? ?

{x|x2-6x+8≤0},则 A∩(CRB)等于
A.{x|x≤0} C.{x|0≤x<2 或 x>4} B.{x|2≤x≤4} D.{x|0<x≤2 或 x≥4}

(

)

(2)(2012· 天津)已知集合 A={x∈R||x+2|<3},集合 B={x∈R|(x-m)(x- 2)<0},且 A∩B=(-1,n),则 m=________,n=________.

1

学 1、我的疑惑、收获

习 记



2、本节课的知识结构



用 与





教·学 记要

(1)已知集合 A={(x,y)|x,y∈R,且 x2+y2=1},B={(x,y)|x,y∈R, 且 y=x},则 A∩B 的元素个数为 A.0 B.1 C.2 ( ) D.3

(2)若集合 A={x|ax2-3x+2=0}的子集只有两个,则实数 a=________ (3)设 M 为非空的数集,M ? {1,2,3},且 M 中至少含有一个奇数元素,则 这样的集合 M 共有 A.6 个 B.5 个 C.4 个 ( D.3 个 )

(4)已知集合 A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若 A ? B,则实数 a 的取值 范围是(c,+∞),其中 c=________.
? ?x+1≥0,? ? ? ? ? ,B={x∈Z|x-2>0},则 A∩B=( (5)设集合 A=?x∈R|? ? ?x-3≤0 ? ? ? ?

)

A.{x|2<x≤3} C.{2,3}

B.{3} D.{x|-1≤x<2}

(6)设 U=R,集合 A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0}.若 (CUA)∩B= ? ,则 m 的值是________.

2

作 (A 类) 一、选择题



批改·纠错

1. 已知全集 U={1,2,3,4}, 集合 A={1,2}, B={2,3}, 则 CU(A∪B)等于( A.{1,3,4} B.{3,4} C.{3} D.{4} ( B.M={2,3},N={3,2} )

)

2.下列集合中表示同一集合的是 A.M={(3,2)},N={(2,3)}

C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} D.M={2,3},N={(2,3)} 3.全集 S={1,2,a2-2a+3},A={1,a},CSA={3},则实数 a 等于( ) A.0 或 2 B.0 C.1 或 2 D.2 )

4.集合 P={3,log2a},Q={a,b},若 P∩Q={0},则 P∪Q= ( A.{3,0} B.{3,0,2} C.{3,0,1} D.{3,0,1,2}

5.集合 M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则 P 的子集共有( A.2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个 ( D.A∩B= ? ( ) )

)

6.已知集合 A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则 A.A B B.B A C.A=B

7.已知集合 A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则 A∩B 等于 A.(0,1) B.(0,2] C.(1,2)

D.(1,2]

8. 设全集 U 为整数集,集合 A={x∈N|y= 7x-x2-6},B={x∈Z|- 1<x≤3},则右图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为 A.3 B.4 C.7 D.8 ( )

二、填空题 9. 已知集合 A={1,3, a}, B={1, a2-a+1}, 且 B ? A, 则 a=__________.

10. 已知集合 A={(0,1), (1,1), (-1, 2)}, B={(x, y)|x+y-1=0, x, y∈Z}, 则 A∩B=__________. 11.已知集合 A={x||x|≤2},B={x|x≤1},则 A∩B=________. 12.已知集合 A={x|1≤x<5},C={x|-a<x≤a+3}.若 C∩A=C,则 a 的取值范围是________.
3

(B 类) 1.设集合 A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8},则满足 S ? A 且 S∩B≠ ? 的 集合 S 的个数是( A.57 )

B.56 C.49 D.8 x 2 2.已知集合 M={x| ≥0,x∈R},N={y|y=3x +1,x∈R},则 M∩N x-1 等于( A. ? ) B.{x|x≥1} C.{x|x>1} D.{x|x≥1 或 x<0}

1 3.已知 U={y|y=log2x,x>1},P={y|y= ,x>2},则 CUP=________. x 4.已知集合 A={x|y=lg(x-x2)},B={x|x2-cx<0,c>0},若 A ? B,则实 数 c 的取值范围是________.

5.已知集合 A={(x,y)|y=a},B={(x,y)|y=bx+1,b>0,b≠1},若集 合 A∩B 只有一个真子集,则实数 a 的取值范围是________.

6.若集合 P={x|x2+x-6=0},S={x|ax+1=0},且 S ? P,则由 a 的可取 值组成的集合为__________.

课后预习

要点梳理 P2:§ 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件

教 · 学 反 思

4

例1

(1)已知集合 A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则 B 中所含元素的 ( B.6 C.8 D.10 )

个数为 A.3 b ? ? (2)设 a,b∈R,集合{1,a+b,a}=?0,a,b?,则 b-a=________. ? ? 思维启迪 性”. 答案 解析 (1)D (2)2 (1)由 x-y∈A,及 A={1,2,3,4,5}得 x>y,

解决集合问题首先要理解集合的含义,明确元素的特征,抓住集合的 “ 三

当 y=1 时,x 可取 2,3,4,5,有 4 个; 当 y=2 时,x 可取 3,4,5,有 3 个; 当 y=3 时,x 可取 4,5,有 2 个; 当 y=4 时,x 可取 5,有 1 个. 故共有 1+2+3+4=10(个),选 D. b ? ? (2)因为{1,a+b,a}=?0,a,b?,a≠0, ? ? b 所以 a+b=0,得 =-1, a 所以 a=-1,b=1.所以 b-a=2. 思维升华 条 件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型集合;(2)集合中元素的互异性常常容易 忽 略,求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题. (1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制

(1)已知集合 A={(x,y)|x,y∈R,且 x2+y2=1},B={(x,y)|x,y∈R,且 y= x},则 A∩B 的元素个数为 ( A.0
2

) B.1 C.2 D.3

(2)若集合 A={x|ax -3x+2=0}的子集只有两个,则实数 a=________. 9 答案 (1)C (2)0 或 8 解析 (1)集合 A 表示的是圆心在原点的单位圆, 集合 B 表示的是直线 y=x, 据此画出图象, 可得图象有两个交点,即 A∩B 的元素个数为 2. (2)∵集合 A 的子集只有两个,∴A 中只有一个元素. 2 当 a=0 时,x= 符合要求. 3 9 当 a≠0 时,Δ=(-3)2-4a×2=0,∴a= . 8
5

9 故 a=0 或 . 8 题型二 集合间的基本关系 例2 (1)已知集合 A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件 A?C ( C.3 D.4 )

?B 的集合 C 的个数为 A.1 B.2

(2)已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若 B?A,则实数 m 的取值范围 是________. 思维启迪 对于含有有限个元素的集合的子集,可按含元素的个数依次写出;B?A 不要忽 略 B=?的情形. 答案 (1)D (2)(-∞,4] 解析 (1)用列举法表示集合 A,B,根据集合关系求出集合 C 的个数. 由 x2-3x+2=0 得 x=1 或 x=2,∴A={1,2}. 由题意知 B={1,2,3,4},∴满足条件的 C 可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}. (2)当 B=?时,有 m+1≥2m-1,则 m≤2. 当 B≠?时,若 B?A,如图.

m+1≥-2 ? ? 则?2m-1≤7 ? ?m+1<2m-1

,解得 2<m≤4.

综上,m 的取值范围为 m≤4. 思维升华 (1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否

则会造成漏解;(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点 间的关系,进而转化为参数所满足的关系.常用数轴、Venn 图来直观解决这类问题. (1)设 M 为非空的数集,M?{1,2,3},且 M 中至少含有一个奇数元素,则这样 的集合 M 共有 ( A.6 个 ) B.5 个 C.4 个 D.3 个

(2)已知集合 A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若 A?B,则实数 a 的取值范围是(c,+∞), 其中 c=________. 答案 (1)A (2)4 解析 (1)集合{1,2,3}的所有子集共有 23=8(个),集合{2}的所有子集共有 2 个,故满足要求 的集合 M 共有 8-2=6(个). (2)由 log2x≤2,得 0<x≤4,

6

即 A={x|0<x≤4}, 而 B=(-∞,a), 由于 A?B,如图所示,则 a>4,即 c=4. 题型三 集合的基本运算 例3
? 1x ? 2 (1)(2013· 湖北)已知全集为 R,集合 A=?x|?2? ≤1?,B={x|x -6x+8≤0},则 A∩(? ? ?

RB)等于

(

)

A.{x|x≤0} B.{x|2≤x≤4} C.{x|0≤x<2 或 x>4} D.{x|0<x≤2 或 x≥4} (2)(2012· 天津)已知集合 A={x∈R||x+2|<3}, 集合 B={x∈R|(x-m)(x-2)<0}, 且 A∩B=(- 1,n),则 m=________,n=________. 思维启迪 集合的运算问题可先对集合进行化简,然后结合数轴或 Venn 图计算. 答案 (1)C (2)-1 1 解析 (1)A={x|x≥0},B={x|2≤x≤4} ∴A∩(?RB)={x|x≥0}∩{x|x>4 或 x<2} ={x|0≤x<2 或 x>4}. (2)先求出集合 A,再根据集合的交集的特点求解. A={x|-5<x<1},因为 A∩B={x|-1<x<n}, B={x|(x-m)(x-2)<0},所以 m=-1,n=1. 思维升华 (1)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用 Venn 图表示;集合中的元素若是 连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况.(2)运算过程中要注意集合间的特殊 关系的使用,灵活使用这些关系,会使运算简化. ? ?x+1≥0,? ? ? ? ? ,B={x∈Z|x-2>0},则 A∩B=( (1)设集合 A=?x∈R|? ? ?x-3≤0 ? ? ? ? A.{x|2<x≤3} C.{2,3}
2

)

B.{3} D.{x|-1≤x<2}

(2)设 U=R,集合 A={x|x +3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0}.若(?UA)∩B=?,则 m 的值是________. 答案 (1)B (2)1 或 2 解析 (1)A={x|-1≤x≤3},B={x∈Z|x>2}, ∴A∩B={x∈Z|2<x≤3}={3}. (2)A={-2,-1},由(?UA)∩B=?,得 B?A,
7

∵方程 x2+(m+1)x+m=0 的判别式 Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠?. ∴B={-1}或 B={-2}或 B={-1,-2}. ①若 B={-1},则 m=1; ②若 B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且 m=(-2)· (-2)=4,这两式不能 同时成立,∴B≠{-2}; ③若 B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且 m=(-1)· (-2)=2,由这两 式得 m=2. 经检验知 m=1 和 m=2 符合条件. ∴m=1 或 2.

遗忘空集致误

典例:(5 分)若集合 P={x|x2+x-6=0},S={x|ax+1=0},且 S?P,则由 a 的可取值组成 的集合为__________. 易错分析 从集合的关系看,S?P,则 S=?或 S≠?,易遗忘 S=?的情况. 解析 P={-3,2}.当 a=0 时,S=?,满足 S?P; 1 当 a≠0 时,方程 ax+1=0 的解集为 x=- , a 1 1 为满足 S?P 可使- =-3 或- =2, a a 1 1? 1 1 ? 即 a= 或 a=- .故所求集合为?0,3,-2?. 3 2 ? ? 1 1? ? 答案 ?0,3,-2? ? ? 温馨提醒 (1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容.解答此类问题的关键是抓

住集合间的关系以及集合元素的特征.(2)在解答本题时,存在两个典型错误.一是忽略对 1 空集的讨论,如 a=0 时,S=?;二是易忽略对字母的讨论.如- 可以为-3 或 2.因此,在 a 解答此类问题时,一定要注意分类讨论,避免漏解.

方法与技巧 1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检 验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化. 2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系,

8

求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号. 3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助 Venn 图.这是数形结合思想的 又一体现. 失误与防范 1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合),要对集合 进行化简. 2.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏解. 3.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系;二是集合与集合的包含关系. 4.Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示 法要特别注意端点是实心还是空心. 5.要注意 A?B、A∩B=A、A∪B=B、?UA??UB、A∩(?UB)=?这五个关系式的等价性.

A 组 专项基础训练 一、选择题 1.(2013· 重庆)已知全集 U={1,2,3,4},集合 A={1,2},B={2,3},则?U(A∪B)等于( A.{1,3,4} C.{3} 答案 D 解析 因为 A∪B={1,2,3},全集 U={1,2,3,4},所以?U(A∪B)={4},故选 D. 2.下列集合中表示同一集合的是 A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={2,3},N={3,2} C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} D.M={2,3},N={(2,3)} 答案 B 解析 选项 A 中的集合 M 表示由点(3,2)所组成的单点集,集合 N 表示由点(2,3)所组成 的单点集,故集合 M 与 N 不是同一个集合.选项 C 中的集合 M 表示由直线 x+y=1 上 的所有点组成的集合,集合 N 表示由直线 x+y=1 上的所有点的纵坐标组成的集合,即 N={y|x+y=1}=R,故集合 M 与 N 不是同一个集合.选项 D 中的集合 M 有两个元素, 而集合 N 只含有一个元素,故集合 M 与 N 不是同一个集合.对选项 B,由集合元素的 无序性,可知 M,N 表示同一个集合. 3.已知全集 S={1,2,a2-2a+3},A={1,a},?SA={3},则实数 a 等于 A.0 或 2 B .0
9

)

B.{3,4} D.{4}

(

)

(

)

C.1 或 2 答案 D

D.2

? ?a=2, 解析 由题意,知? 2 则 a=2. ?a -2a+3=3, ?

4.设集合 P={3,log2a},Q={a,b},若 P∩Q={0},则 P∪Q 等于 A.{3,0} C.{3,0,1} 答案 C 解析 由 P∩Q={0},得 log2a=0,所以 a=1,从而 b=0, P∪Q={3,0,1}. 5.已知集合 M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则 P 的子集共有 A.2 个 答案 B 解析 ∵M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},∴M∩N={1,3}. ∴M∩N 的子集共有 22=4 个. 6.已知集合 A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则 A.A B C.A=B 答案 B 解析 因为 A={x|x2-x-2<0}, 所以 A={x|-1<x<2}. 又 B={x|-1<x<1},画出数轴,可得 B A. 7.(2013· 辽宁)已知集合 A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则 A∩B 等于 A.(0,1) 答案 D 解析 A={x|1<x<4},B={x|x≤2},∴A∩B={x|1<x≤2}. 8. 设全集 U 为整数集,集合 A={x∈N|y= 7x-x2-6},B={x∈Z|- 1<x≤3},则右图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为 A.3 答案 C B.4 C.7 ( ) D.8 B.(0,2] C.(1,2) D.(1,2] B.B A D.A∩B=? B.4 个 C.6 个 B.{3,0,2} D.{3,0,1,2}

(

)

( D.8 个

)

(

)

(

)

解析 因为 A={x∈N|y= 7x-x2-6}={x∈N|7x-x2-6≥0}={x∈N|1≤x≤6}, 由题意,知题图中阴影部分表示的集合为 A∩B={1,2,3}, 所以其真子集有:?,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},共 7 个. 二、填空题 9.已知集合 A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且 B?A,则 a=__________.
10

答案 -1 或 2 解析 由 a2-a+1=3,得 a=-1 或 a=2,经检验符合.由 a2-a+1=a,得 a=1,由 于集合中不能有相同元素,所以舍去.故 a=-1 或 2. 10.已知集合 A={(0,1),(1,1),(-1,2)},B={(x,y)|x+y-1=0,x,y∈Z},则 A∩B= __________. 答案 {(0,1),(-1,2)}

解析 A、B 都表示点集,A∩B 即是由 A 中在直线 x+y-1=0 上的所有点组成的集合, 代入验证即可. 11.已知集合 A={x||x|≤2},B={x|x≤1},则 A∩B=________. 答案 {x|-2≤x≤1}

解析 易知 A={x|-2≤x≤2},∴A∩B={x|-2≤x≤1}. 12. 已知集合 A={x|1≤x<5}, C={x|-a<x≤a+3}. 若 C∩A=C, 则 a 的取值范围是________. 答案 (-∞,-1]

解析 因为 C∩A=C,所以 C?A. 3 ①当 C=?时,满足 C?A,此时-a≥a+3,得 a≤- ; 2 -a<a+3, ? ? ②当 C≠?时,要使 C?A,则?-a≥1, ? ?a+3<5, 3 解得- <a≤-1. 2

B 组 专项能力提升 1. 设集合 A={1,2,3,4,5,6}, B={4,5,6,7,8}, 则满足 S?A 且 S∩B≠?的集合 S 的个数是( A.57 答案 B 解析 集合 S 的个数为 26-23=64-8=56. x 2.已知集合 M={x| ≥0,x∈R},N={y|y=3x2+1,x∈R},则 M∩N 等于( x-1 A.? C.{x|x>1} 答案 C
?x≠1, ? x 解析 由 ≥0,得? x-1 ? ?x?x-1?≥0,

)

B.56

C.49

D.8

)

B.{x|x≥1} D.{x|x≥1 或 x<0}

∴x>1 或 x≤0,∴M={x|x>1 或 x≤0},N={y|y≥1}, M∩N={x|x>1}. 1 3.已知 U={y|y=log2x,x>1},P={y|y= ,x>2},则?UP=________. x 1 ? 答案 ? ?2,+∞? 解析 ∵U={y|y=log2x,x>1}={y|y>0},
11

1 1 P={y|y= ,x>2}={y|0<y< }, x 2 1 ?1 ∴?UP={y|y≥ }=?2,+∞? ?. 2 4.已知集合 A={x|y=lg(x-x2)},B={x|x2-cx<0,c>0},若 A?B,则实数 c 的取值范围是 ________. 答案 [1,+∞)

解析 A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>0}=(0,1),B={x|x2-cx<0,c>0}=(0,c), 因为 A?B,画出数轴,如右图所示,得 c≥1. 5.已知集合 A={(x,y)|y=a},B={(x,y)|y=bx+1,b>0,b≠1},若集 合 A∩B 只有一个真子集,则实数 a 的取值范围是________. 答案 (1,+∞)

解析 由于集合 B 中的元素是指数函数 y=bx 的图象向上平移一个单位长度后得到的函 数图象上的所有点,要使集合 A∩B 只有一个真子集,那么 y=bx+1(b>0,b≠1)与 y=a 的图象只能有一个交点,所以实数 a 的取值范围是(1,+∞).

12


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