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湖南师大附中2016届高三第一次月考数学试题(理科)


湖南师大附中 2016 届高三第一次月考 理科数学试题
命题 高三数学备课组 审题 吴锦坤 时量 120 分钟 总分 150 分 一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1、已知 i 为虚数单位,复数 z 满足 iz ? 3 ? 4i ,则 z =( A.25 【答案】C B. )

7

C. 5

/>
D.1

【解析】由 iz ? 3 ? 4i ,得 z ?

3 ? 4i ? 4 ? 3i ,则 z =5 i

或: iz ? 3 ? 4i ,则 iz ? 3 ? 4i ? z ? 5 2、已知 sin ? ? ?

? ?

?? 1

5? ? ? ? ? ,则 cos ? ? ? ? 的值等于( 4? 3 4 ? ?
C. ?



A. ?

1 3

B.

1 3

2 2 3

D.

2 2 3

【答案】B 【解析】? cos(

5? ? ?? ?? ?? ? ? ? ) ? cos ?? ? ? ? ? ?? ? ? cos ? ? ? ? 4 ?4 ?? ?4 ? ?

? ?? ? ? 1 ?? ? ? ? cos( ? ? ) ? cos ? ? ? ? ? ? ?? ? ? sin ? ? ? ? ? ? ? 4 3 ?? ? 4 ? ?2 ? 4
? cos( 5? 1 ??) ? 4 3
2 2

3 、 设 直 线 ax ? 2 y ? 6 ? 0 与 圆 C : x ? y ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 相 交 于 点 P , Q 两 点 ,

CP ? CQ ,则实数 a 的值为(
A.1 【答案】B B.2

) C.1 或 2
2 2

D.3

2 2 【解析】 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 ? ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 4 ? 圆心 ?1, ?2? ,半径为 2,

? CP ? CQ ? PQ ? 2 2 ,那么圆心到直线的距离为 2
圆心到直线的距离为 d ?

a?4?6 a2 ? 4

? 2?a?2

4、命题 p : “非零向量 a , b ,若 a ? b ? 0 ,则 a , b 的夹角为钝角” ,命题 q : “对函数 f ( x) , 若 f ?( x0 ) ? 0 ,则 x ? x0 为函数的极值点” ,则下列命题中真命题是( A. p ? q 【答案】D 【解析】命题 p 为假命题,夹角可以为 180 ; 命题 q 也是假命题, x ? x0 可能不是极值点; 故选 D 5、 底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥. 如图,半球内有一内 接正四棱锥 S ? ABCD ,该四棱锥的体积为
?

? ?

? ?

? ?



B. p ? q

C. p ? (?q )

D. (?p) ? (?q)

4 2 ,则该半球的体积为。 3
D.

A.

4 2 ? 3

B.

8 2 ? 3

C.

32 2 ? 3

64 2 ? 3

【答案】 :A 【解析】 :设所给半球的半径为 R ,则棱锥的高 h ? R ,底面正方形 中有 AB ? BC ? CD ? DA ? 2R ,所以其体积

2 3 4 2 R ? ,则 3 3

R3 ? 2 2 ,于是球的体积为 V ? 4 ?R 3 ? 8 2 ? .
3 3

1 4 2 ?. 2 3 1 6、在二项式 ( x - )n 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大,则展开式中含 x 2 项的系数 x
则半球的体积为 V ? 是( ). A.-56 【答案】A B.-35 C.35 D.56

【解析】因为二项式 ( x -

1 n ) 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大,所以展开式有 9 x

k 8?k 项,即 n ? 8 ,展开式通项为 Tk ?1 ? C8 x (?1)k x?k ? (?1)k C8k x8?2k ,令 8 ? 2k ? 2 ,得

k ? 3 ;则展开式中含 x 2 项的系数是 (?1)3 C83 ? ?56 .
7 、已知数列 ?a n ? 是等差数列,数列 ?bn ? 是各项为正数的等比数列,且公比 q ? 1 ,若

a2 ? b2 , a10 ? b10 ,则(
A. a6 ? b6 B. a6 ? b6

) C. a6 ? b6 D. a6 ? b6 或 a6 ? b6

【答案】A 【解析】? a6 ?

a2 ? a10 b2 ? b10 ? , b6 ? b2b10 ,且 b2 ? 0, b10 ? 0, b2 ? b10 , 2 2 b ? b10 ? b2b10 ? b6 ,故选 A 则? a6 ? 2 2

( ) 1 ) 1n0 ? 8、 “ (m ?

? ”是“ logn m ? 0 ”的
B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A. 充分不必要条件 C. 充要条件 【答案】B 【解析】 :

?m ? 1 ? m ? 1 (m ? 1 )n (? 1 ?) 等价于 0 或? , ? ?n ? 1 ? n ? 1 ? m ? 1 ?0 ? m ? 1 或? , ? n ? 1 ?0 ? n ? 1

而 log n m>0 等价于 ?

所以条件具有必要性,但不具有充分性,比如 m ? 0 ,n=0 时,不能得出 log n m>0 , 故选 B 。 9、如图,已知圆 M 的半径为 2,点 P 与圆心 M 的距 离为 4,正方形 ABCD 是圆 M 的内接四边形,E,F 是 边 AB, AD 的中点, 当正方形 ABCD 绕圆心 M 转动时,

PF ? ME 的取值范围是
A. [?2,2] C. [?4.4] 【答案】D 【解析】 PF ? ME ? (PM ? MF ) ? ME ? PM ? ME ? MF ? ME B. [?2 2 ,2 2 ] D. [?4 2 ,4 2 ]

? PM ? ME ? 4 2 cos? (其中 ? 为 PM , ME 的夹角)
故选 D

?x ? y ? 1 ? 0 ? 10、若实数 x, y 满足的约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为 a , b ,则 ?y ?1 ? 0 ?
z ? 2ax ? by 在点(2,?1) 处取得最大值的概率为(
A. )

1 5

B.

2 5

C.

1 6

D.

5 6

【答案】D

? 1), B(?2, ?1),C (0,1) , 【解析】约束条件为一个三角形 ABC 及其内部,其中 A(2,

要使函数 z ? 2ax ? by 在点 (2,?1) 处取得最大值,需满足 ? 将一颗骰子投掷两次共有 36 个有序实数对 (a, b) ,

2a ? ?1 ? b ? 2a , b

其中满足 b ? 2a 有 (1,1),(2,1),?,(6,1);(1, 2),(2, 2),?,(6, 2);(2,3),(3,3),?,(6,3);(2, 4),(3, 4),?,(6, 4);
(3,5),(4,5),(5,5),(6,5);(3,6),(4,6),(5,6),(6,6);(2,3),(3,3),?,(6,3); 共 30 对,

30 5 = . 选 D. 36 6 11、已知 A, B, C 是 ?ABC 的三个内角,给出下列三组数据

所以所求概率为

① sinA,sinB,sinC ; ③ cos2
A B C ,cos2 ,cos2 ; 2 2 2

② sin 2 A,sin 2 B,sin 2 C ;

分别以每组数据作为三条线段的长,其中一定能构成三角形的数组的序号是 B.①③ C.②③ D.①②③ A .①② 【答案】B 【解析】 :设 A, B, C 的对边为 a, b, c 令 A ? B ? C ? a ? b ? c , ①中 sinA? sinB? sinC ?
a b c ? ? ? 0 ,所以可以构成三角形 2R 2R 2R

a 2 b2 c 2 2 2 2 , 仅在 a ? b ? c ? 0 即 cosC ? 0 时构成三角形 ? ? R2 R2 R2 A B C cosA? cosB? cosC 1 ③中 cos2 +cos2 ? cos2 ? ? ? 0 恒成立,所以可以构成三角形 2 2 2 2 2
②中 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? 12、 已知 f ?? x ? 是定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 的导函数, 且 f ( x) ? f ?( x) , 则a ?

1 fn l( 2) , 2

1 f (1) , c ? f (0) 的大小关系为 e A. a ? b ? c B. b ? a ? c b?
【答案】D 【解析】构造函数 g ( x ) ?

C. c ? b ? a

D. c ? a ? b

f ( x) f ?( x) ? f ( x) ? 0 ,故函数 g ( x) 为增函数; ,则 g ?( x) ? x e ex

又 ln1 ? ln 2 ? ln e ? g (0) ? g (ln 2) ? g (ln e) ,

f (0) f (ln 2) f (ln e) 1 1 ? ln 2 ? ln e ? f (0) ? f (ln 2) ? f (1) 0 e e e 2 e 所以: c ? a ? b ,故选 D
即: 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13、已知定义在 R 上的函数 f ? x ? ? 2 解集为
x ?m

?1 ( m ? R )为偶函数,则不等式 f ( x) ? 1 的

【答案】 ( ?1,1) 【解析】显然有 m ? 0 ,则 f ( x) ? 2 ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? x ? 1 ? ?1 ? x ? 1
开始
x x

14、执行如图所示的程序框图,则输出的结果是

.

【答案】 :16 【解析】 :由程序框图可知,从 n ? 1 到 n ? 15 得到 S ? ?3 , 因此将输出 n ? 16 . 15、已知方程 x ? px ? q ? 0 ? p ? 0, q ? 0? 有两个不同的根 x1 , x2 ,
2

S ? 0, n ? 1
S ? S ? log 2 n ?1 n?2

n ? n ?1

S ? ?3?
是 输出n 结束



且 x1 , x2 ,?2 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后 成等比数列,则 p× q 的值等于 【答案】20 【解析】由韦达定理得 x1 ? x2 ? p, x1 x2 ? q ,则 x1 ? 0, x2 ? 0 ,
§K]

则 x1 , x 2 , ?2 只有在顺序 x1 ,?2, x2 或 x2 ,?2, x1 时成等比数列,故 q ? x1 x2 ? 4 , 又 x1 , x2 ,?2 适当排序成为等差数列, 则 x1 ? 4, x2 ? 1 或 x1 ? 1, x2 ? 4 ,则 p ? x1 ? x2 ? 5 故 pq ? 20

x2 y 2 16、设双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F (c,0) ,右顶点为 A(a,0) ,过 F 作 x 轴 a b
的垂线与双曲线交于 B,C 两点,过 B,C 分别作 AC,AB 的垂线,两垂线交于点 D.,若 D 到直线 BC 的距离等于 a ? c ,则双曲线的离心率为 【答案】 2 【解析】由题意, A(a,0), B(c,

b2 b2 ), C (c,? ) ,由双曲线的对称性知点 D 在 x 轴上, a a

设 D( xo ,0) ,由 BD ? AC ,得 c ? xo ?

b4 , a 2 (c ? a )

由已知得

b4 b4 ? a ? c ? ? c 2 ? a 2 ? b2 ? a ? b , a 2 (c ? a) a2

又 c ? a ? b ? 2a ,故 e ?
2 2 2 2

2

三、解答题(本题共 6 个小题,满分 70 分) 17、 (满分 10 分)已知函数 f ( x ) ? sin??x ? ? ? ? ? 0 , 0 ? ? ? ? 为偶函数,且其图象 上相邻两对称轴之间的距离为 ? . (I)求函数 f ( x ) 的单调区间;

?

?

?? ? 2 sin? 2? ? ? ? 1 ? 2 4? (II)若 sin ? ? f (? ) ? ,求 的值. 1 ? tan ? 3
【解析】 (I)∵ f ( x ) 为偶函数 ∴ sin? ??x ? ? ? ? sin??x ? ? ? 即 2 sin ?x cos? ? 0 恒成立 ∴ cos? ? 0 又 ∵ 0 ? ? ? ?,∴? ? 又其图象上相邻对称轴之间的距离为π

?
2

??????1 分

∴T ? 2?

∴? ? 1 ...............2 分

∴f ( x ) ? cos x ..............3 分
则函数的单调递增区间为: [2k? ? ? ,2k? ](k ? Z ) ................4 分 函数的单调递减区间为: [2k? ,2k? ? ? ](k ? Z ) .........................5 分

sin 2? ? cos 2? ? 1 ? 2 sin ? cos? ??????7 分 1 ? tan ? 2 4 又 ∵ sin ? ? cos ? ? ,∴1 ? 2 sin ? cos ? ? ??????8 分分 3 9 5 5 即 2 sin ? cos ? ? ? , 故原式 ? ? ??????10 分 9 9
(II)∵原式 ? 18、 (满分 12 分)某品牌的汽车 4S 店,对最近 100 位采用分期付款的购车者进行统计,统 计结果如下表所示:已知分 3 期付款的频率为 0.2,4S 店经销一辆该品牌的汽车,顾客分 1 期付款,其利润为 1 万元;分 2 期或 3 期付款其利润为 1.5 万元;分 4 期或 5 期付款,其利 润为 2 万元. 用 ? 表示经销一辆汽车的利润. (1)求下表中的 a , b 值; (2)若以频率作为概率,求事件 A:“购买该品牌汽车的 3 位顾客中,至多有 1 位采用 3 期付款”的概率 P ( A) ; (3)求? 的分布列及数学期望 E? . 付款方式 频 数 分1期 40 分2期 20 分3期 分4期 分5期 10

a

b

【解析】 : (1)由

a ? 0.2 得 a ? 20 ..............1 分 100 ∵ 40 ? 20 ? a ? 10 ? b ? 100 ∴ b ? 10 ------------------------------------------------------2 分

(2)记分期付款的期数为 ? ,依题意得:

40 20 ? 0.4 , P(? ? 2) ? ? 0.2 , P(? ? 3) ? 0.2 , 100 100 10 10 P(? ? 4) ? ? 0.1 , P(? ? 5) ? ? 0.1 -------------------------------------------5 分 100 100 P(? ? 1) ?
则“购买该品牌汽车的 3 位顾客中至多有 1 位采用 3 期付款”的概率:
1 P ( A) = 0.83 ? C3 0.2 ? (1 ? 0.2)2 ? 0.896 ----------------------------------------7 分

(3)∵? 的可能取值为:1,1.5,2(单位万元)

P(? ? 1) ? P(? ? 1) ? 0.4 -----------------------------------------------------8 分 P(? ? 1.5) ? P(? ? 2) ? P(? ? 3) ? 0.4 ---------------------------------------------9 分

P(? ? 2) ? P(? ? 4) ? P(? ? 5) ? 0.1 ? 0.1 ? 0.2 --------------------------------10 分
∴ ? 的分布列为 ∴ ? 的数学期望 E? ? 1? 0.4 ? 1.5 ? 0.4 ? 2 ? 0.2 ? 1.4 (万元) .............12分 P 0.4 0.4 0.2

?

1

1.5

2

19、 (满分 12 分)已知某几何体的直观图和三视图如下图所示,其中正视图为矩形,侧视图 为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.

(I)求证: ?? ? 平面 C1?1? ; (II)设 ? 为直线 C1? 与平面 C??1 所成的角,求 sin ? 的值;

(Ⅲ)设 ? 为 ?? 中点,在 ?C 边上求一点 ? ,使 ?? // 平面 C??1 ,求 解: (I)证明∵该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形, 俯视图为直角梯形,∴ BA, BC, BB1 两两垂直。 且 BC ? 4, BA ? 4, BB1 ? 8, AN ? 4 , 以 BA,BB1 ,BC 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,如图 则 N(4,4,0) ,B1(0, 8,0) ,C1(0,8,4) ,C(0,0,4) ∵ BN ? NB1 =(4,4,0) · (-4,4,0)=-16+16=0 · (0,0,4)=0 BN ? B1C1 =(4,4,0) ∴BN⊥NB1,BN⊥B1C1 且 NB1 与 B1C1 相交于 B1, ∴BN⊥平面 C1B1N; ...........4 分 (II)设 n2 ? ( x, y, z ) 为平面 NCB1 的一个法向量,

?? 的值. ?C

??? ? ???? ?

z

?? ? ???? ?n2 ? CN ? 0 ?( x, y, z ) ? (4, 4, ?4) ? 0 ? ?? 则 ? ?? ? ???? ? ? ?n2 ? NB1 ? 0 ?( x, y, z ) ? (?4, 4, 0) ? 0

y

? ???? ? ? x ? y ? z ? 0 ?? x ?? , 取n2 ? (1,1, 2), C1 N ? (4, ?4, ?4) ?? x ? y ? 0
则 sin ? ?|

(4, ?4, ?4) ? (1,1, 2) 2 |? ; .............8 分 3 16 ? 16 ? 16 ? 1 ? 1 ? 4

(Ⅲ)∵M(2,0,0) .设 P(0,0,a)为 BC 上一点, 则 MP ? (?2,0, a) , ∵MP//平面 CNB1, ∴ MP ? n2 ? MP ? n2 ? (?2,0, a) ? (1,1,2) ? ?2 ? 2a ? 0 ? a ? 1. 又 PM ? 平面CNB1 ,? MP // 平面CNB1 , ∴当 PB=1 时 MP//平面 CNB1

?

BP 1 ? ..................12 分 PC 3

【注】本题只给出向量法,其他方法请参照标准酌情给分. 20、 (满分 12 分)已知数列 ?an ? 是各项均不为 0 的等差数列,公差为 d ,Sn 为其前 n 项和,
2 且满足 an ? S2n?1 (n ? N * ) ;数列 ?bn ? 满足 bn ?

1 , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和. an ? an ?1

(1)求 an 和 Tn ;

(2)若对任意的 n ? N* ,不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1)n 恒成立,求实数 ? 的取值范围;
2 【解析】 (1) (法一)在 an ? S2n?1 中,令 n ? 1 , n ? 2 ,

2 ? ?a1 ? S1 , 得? 2 ? ?a 2 ? S 3 ,

2 ? ?a1 ? a1 , 即? 2 ? ?(a1 ? d ) ? 3a1 ? 3d ,

??????????????1 分

解得 a1 ? 1 , d ? 2 ,

???????????????3 分

? an ? 2n ? 1 ..................4 分
? bn ?
?Tn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ,...............5 分 an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
????????6 分

1 1 1 1 1 1 n (1 ? ? ? ? ? ? ? )? . 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

(法二)? ?an ? 是等差数列, ?

a1 ? a 2 n ?1 ? an 2
??????????2 分

? S 2 n ?1 ?

a1 ? a 2 n ?1 (2n ? 1) ? (2n ? 1)an . 2
2

2 由 an ? S2n?1 ,得 an ? (2n ? 1)an ,

又? an ? 0 ,? an ? 2n ? 1 , ( Tn 求法同法一)

?????????4 分

(2)①当 n 为偶数时,要使不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1)n 恒成立,即需不等式

(n ? 8)(2n ? 1) 8 ? 2n ? ? 17 恒成立. n n 8 ? 2n ? ? 8 ,等号在 n ? 2 时取得. n

??

?????????????7 分

? 此时 ? 需满足 ? ? 25 .

????????????????8 分
n

②当 n 为奇数时,要使不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1) 恒成立,即需不等式

(n ? 8)(2n ? 1) 8 ? 2n ? ? 15 恒成立. ?????????????9 分 n n 8 ? 2n ? 是随 n 的增大而增大,...............................10 分 n 8 ? n ? 1 时 2 n ? 取得最小值 ?6 . ..............11 分 n

??

? 此时 ? 需满足 ? ? ?21 .

综合①、②可得 ? 的取值范围是 ? ? ?21 .

???????????12 分

21、 (满分 12 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C : 右顶点分别为 A1 ? 2,0 , A2

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的左, a 2 b2

?

? ?

2,0 ,F1 , F2 为椭圆的左右焦点,若直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 上

?

有且仅有一个点 M ,使得 ?F1MF2 ? 90? . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2) 设圆 T 的圆心 T ? 0, t ? 在 x 轴上方, 且圆 T 经过椭圆 C 两焦点.点 P , Q 分别为椭圆 C 和圆 T 上的一动点.若

??? ? ??? ? 5 ,求实数 t 的值. PQ ? QT ? 0 时, PQ 取得最大值为 2
x2 y2 【解析】 (1)因为椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 左,右顶 a b
点分别为 A1 ? 2,0 , A2

?

? ?

2,0 ,所以 a 2 =2 ............1 分

?

又因为直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 上恰存在一个点 M ,使得 ?F1MF2 ? 90? , 即以原点 O 为圆心,半径为 r ? OF 1 ? c 作圆 O,使得圆 O 与直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 相切即可. 又圆心 O 到直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 的距离 d ?

3? 0 ? 4 ? 0 ? 5 32 ? 42

? 1,

所以 c ? 1,............................3 分 b2 ? a 2 ? c 2 ? 1 ,..........................4 分 所以椭圆 C 的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1 ; ..............5 分 2
2 x0 2 ? y0 ?1, 2

(2)设 P ? x0 , y0 ? ,因为点 P 在椭圆上,所以有

因为圆 T 的圆心 T ? 0, t ? 在 x 轴上方,且圆 T 经过椭圆 C 两焦点.
2 2 所以圆 T 的方程为 x ? ? y ? t ? ? t ? 1 , ? t ? 0? ,....................6 分 2

2 2 2 由 PQ ? QT ? 0 得 PQ ? PT ? QT ? x0 ? ? y0 ? t ? ? t ? 1 ,...........7 分
2 2 2

??? ? ??? ?

?

?



2 x0 2 2 ? y0 ? 1 ,所以 PQ 2 ? ? ? y0 ? t ? ? t 2 ? 1 , ....................8 分 2

①当 ?t ≤ ?1 即 t ≥ 1 时,当 y0 ? ?1 时, PQ 取得最大值 2t , 因为 PQ 的最大值为

5 5 5 ,所以 2t ? ,解得 t ? ,又 t ≥ 1 ,故舍去. .........9 分 2 8 2

②当 ?t ? ?1 即 0 ? t ? 1 时,当 y0 ? ?t 时, PQ 取最大值 t 2 ? 1 , 所以 t 2 ? 1 ?

1 1 5 2 ,解得 t ? ,又 0 ? t ? 1 ,所以 t ? . ............11 分 4 2 2

综上,当 t ?

1 5 时, PQ 的最大值为 ...............12 分 2 2

22、(满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? a ln x (其中 a 为参数). (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若对任意 x ? (0,??) ,都有 f ( x) ? 0 成立,求实数 a 的取值集合;

1 n ?1 ? (其中 n ? N , e 为自然对数的底数) n a x?a 【解析】 (1) f ?( x) ? 1 ? ? ,且 x ? 0 ,.....................1 分 x x
(3)证明: (1 ? ) ? e ? (1 ? )
n

1 n

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 则函数 f ( x) 在 (0,??) 单调递增;.................2 分 当 a ? 0 时,易知, f ( x) 在 (0, a ) 单调递减,在 (a,??) 单调递增;.............3 分 (2)依题意 f ( x )
min

? 0,

当 a ? 0 时函数为增函数, x ? 0, f ( x) ? ?? ,所以不等式不成立;............4 分 当 a ? 0 时,由(1)知函数 f ( x )
min

? f (a ) ? a ? 1 ? a ln a ? 0 ,

令 g ( x) ? x ? 1 ? x ln x ,则 g ?( x) ? ? ln x , 则 g ( x) ? x ? 1 ? x ln x 在 (0,1) 上递增,在 (1,??) 递减,....................5 分 所以 g ( x) max ? g (1) ? 0 ,............6 分 则不等式 a ? 1 ? a ln a ? 0 的解只有 a ? 1 ,

1? ...............7 分 故实数 a 的取值集合为 ?

(3)要证明不等式 (1 ? ) ? e ? (1 ? )
n

1 n

1 n

n ?1

,两边同时取对数后,

只要证明: n ln(1 ? ) ? 1 ? (n ? 1) ln(1 ? ) ,...............8 分 令 x ? 1?

1 n

1 n

1 1 ,则不等式转化为: 1 ? ? ln x ? x ? 1(1 ? x ? 2) ,.......9 分 n x

由(1)知函数 f ( x) ? x ? 1 ? ln x 在 (1,2) 递增,则 f ( x) ? f (1) ? 0 , 即不等式 ln x ? x ? 1(1 ? x ? 2) 成立;..............10 分

1 1 1 x ?1 ? 1(1 ? x ? 2) ,则 h?( x) ? ? 2 ? 2 (1 ? x ? 2) , x x x x 1 则 h( x) ? ln x ? ? 1(1 ? x ? 2) 在 (1,2] 递增,..........11 分 x
令 h( x) ? ln x ? 则 h( x) ? h(1) ? 0 , 所以不等式 1 ?

1 ? ln x(1 ? x ? 2) 成立, x

综上,不等式成立.............................12 分


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湖南师范大学附属中学2016届高三月考(七)数学(理)试题 扫描版含解析
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湖南省师大附中2016届高三上学期第一次月考数学(理)试题及答案
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