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福建省德化一中2014-2015学年高二上学期12月学情调研数学(理科)试题 B卷 word版


福建省德化一中 2014-2015 学年高二上学期 12 月学情调研数学(理科)试题 B 卷 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分) 1.设函数 y=f(x)在(a,b)上可导,则 f(x)在(a,b)上为增函数是 f′(x)>0 的 ( ) A.必要不充分条件 C.充分必要条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

2.若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程是 2x+y-1=0,则( A.f′(x0)>0 B.f′(x0)<0 C.f′(x0)=0

D.f′(x0)不存在 ) D.150°

1 5 3.曲线 y=3x3-2 在点(-1,-3)处切线的倾斜角为( A.30° B.45° C.135°

4.曲线 f(x)=x3+x-2 的一条切线平行于直线 y=4x-1,则切点 P0 的坐标 为( ) A.(0,-1)或(1,0) C.(-1,-4)或(0,-2) B.(1,0)或(-1,-4) D.(1,0)或(2,8) ) D . y =- x + ln(1 +

5.下列函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( A.y=sin2x x) 6.下列各组事件中,不是互斥事件的是( ) B.y=x3-x C.y=xex

A.一个射手进行一次射击,命中环数大于 8 与命中环数小于 6 B.统计一个班数学期中考试成绩,平均分数不低于 90 分与平均分数不高 于 95 分 C.播种菜籽 100 粒,发芽 90 粒与发芽 80 粒 D.检查某种产品,合格率高于 70%与合格率为 70% 7.函数 f(x)在其定义域内可导,y=f(x)的图象如右图所示,则导函 数 y=f′(x)的图象为( ) )

8.已知函数 f(x)=x3-3x2-9x,x∈(-2,2),则 f(x)有( A.极大值 5,极小值为-27 B.极大值 5,极小值为-11 C.极大值 5,无极小值

D.极小值-27,无极大值 9.已知 f(x)为三次函数,当 x=1 时 f(x)有极大值 4,当 x=3 时 f(x)有极小 值 0,且函数 f(x)过原点,则此函数是( A.f(x)=x3-2x2+3x C.f(x)=x3+6x2+9x )

B.f(x)=x3-6x2+x D.f(x)=x3-6x2+9x

10.已知 a=(x,2,0),b=(3,2-x,x2),且 a 与 b 的夹角为钝角,则实数 x 的取值范围是( A.x>4 ) B.x<-4 C.0<x<4 D.-4<x<0 )

1 11.函数 f(x)=ax3+bx2+cx 在 x=a处有极值,则 ac+2b 的值为( A.-3 B.0
2

C.1

D.3 )

ex e2 12.设函数 f(x)满足 x f′(x)+2xf(x)= x ,f(2)= 8 ,则 x>0 时, f(x)( A.有极大值,无极小值 C.既有极大值又有极小值 二、填空题 13.用辗转相除法求出 153 和 119 的最大公约数是________. B.有极小值,无极大值 D.既无极大值也无极小值

14.函数 f(x)在 R 上可导,且 f′(0)=2.?x,y∈R,若函数 f(x+y)=f(x)f(y) 成立,则 f(0)=________. 1 15.若函数 f(x)=3x3-f′(1)· x2+2x+5,则 f′(2)=________. 16.在下列命题中:①若 a,b 共线,则 a,b 所在的直线平行;②若 a,b 所在的直线是异面直线,则 a,b 一定不共面;③若 a,b,c 三向量两两共面, 则 a,b,c 三向量一定也共面;④已知三向量 a,b,c,则空间任意一个向量 p 总可以唯一表示为 p=xa+yb+zc,其中不正确的命题为________. 5 17.求与椭圆 4x2+9y2=36 有相同的焦距,且离心率为 5 的椭圆的标准方 程________. 三、解答题 1 28 18.已知函数 f(x)=3x3-4x+m 在区间(-∞,+∞)上有极大值 3 . (1)求实数 m 的值;(2)求函数 f(x)在区间(-∞,+∞)的极小值.

19.某班同学利用国庆节进行社会实践,对[25,55]岁的人群随机抽取 n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查, 若生活习惯符合低碳观念的称 为“低碳族”, 否则称为“非低碳族”, 得到如下统计表和各年龄段人数频率分 布直方图:
组数 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 分组 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50) [50,55] 低碳族的人数 120 195 100 a 30 15 占本组的频率 0.6 p 0.5 0.4 0.3 0.3

(1)补全频率分布直方图并求 n、a、p 的值; (2)从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 6 人参加户外 低碳体验活动, 其中选取 2 人作为领队, 求选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在[40, 45)岁的概率.

20.已知双曲线中心在原点,且一个焦点为( 7,0),直线 y=x-1 与其相 2 交于 M,N 两点,MN 的中点的横坐标为-3,求此双曲线的方程.

21.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 BB1,CD 的中点. (1)证明:平面 AED⊥平面 A1FD1; (2)在 AE 上求一点 M,使得 A1M⊥平面 DAE.

22. 已知函数 f(x)=ax3+bx2 的图象经过点 M(1,4), 曲线在点 M 处的切线恰 好与直线 x+9y=0 垂直. (1)求实数 a,b 的值;(2)若函数 f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求 m 的 取值范围.

参考答案 1-12 ABBBC 12.D 解析
x

BDCDB AD
x 2 ex 2f?x? e -2x f?x? 由题意知, f′(x)=x3- x = .令 g(x)=ex-2x2f(x), x3

2? 2ex x? 则 g′(x)=e -2x f′(x)-4xf(x)=e -2[x f′(x)+2xf(x)]=e - x =e ?1-x?. ? ?
2 x 2 x

由 g′(x)=0,得 x=2.当 x=2 时,g(x)有极小值 g(2)=e2-2×22f(2)=e2- e2 g?x? 8· = 0. ∴ g(x) ≥ 0. 当 x>0 时, f ′ (x) = 8 x3 ≥0,故 f(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴f(x)既无极大值也无极小值. 13. 17 ; 18.解 x2 y2 y2 x2 16.①②③④ 17. 25+20=1,或25+20=1. (1)f′(x)=x2-4=(x+2)(x-2). 14.1; 15.2;

令 f′(x)=0,得 x=-2,或 x=2. 故 f(x)的增区间(-∞,-2)和(2,+∞),减区间为(-2,2). 8 28 当 x=-2,f(x)取得极大值,故 f(-2)=-3+8+m= 3 ,∴ m=4. 1 4 (2)由(1)得 f(x)=3x3-4x+4,又当 x=2 时,f(x)有极小值 f(2)=-3. 19.解 (1)第二组的频率为 1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)× 5=0.3,所以高 0.3 为 5 =0.06. 频率直方图如下: 120 第一组的人数为 0.6 =200,频率为 0.04× 5=0.2,所以 200 n= 0.2 =1 000. 由题可知,第二组的频率为 0.3,所以第二组的人数为 1 000×0.3=300,所 195 以 p=300=0.65. 第四组的频率为 0.03× 5=0.15,所以第四组的人数为 1 000× 0.15=150,所 以 a=150× 0.4=60. (2)因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值 为 60∶ 30=2∶ 1,所以采用分层抽样法抽取 6 人,[40,45)岁中有 4 人,[45,50) 岁中有 2 人.

设[40,45)岁中的 4 人为 a、b、c、d,[45,50)岁中的 2 人为 m、n,则选 取 2 人作为领队的有(a,b)、(a,c)、(a,d)、(a,m)、(a,n)、(b,c)、(b,d)、 (b,m)、(b,n)、(c,d)、(c,m)、(c,n)、(d,m)、(d,n)、(m,n),共 15 种; 其中恰有 1 人年龄在[40,45)岁的有(a,m)、(a,n)、(b,m)、(b,n)、(c,m)、 (c,n)、(d,m)、(d,n),共 8 种. 8 所以选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在[40,45)岁的概率为 P=15. 20.解 设双曲线方程为
x2 y2 - =1(a>0,b>0),依题意 c= 7, a2 b2

2 y2 ?x ? - 2 y x a 7-a2=1, ∴方程可以化为 2 - 2 = 1 ,由 ? 7-a a ? ?y=x-1,
2

2

得 (7 -2a2)x2 + 2a2x- 8a2

+a4=0. -2a2 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2= , 7-2a2 x1+x2 -a2 2 2 ∵ 2 =-3,∴ =-3,解得 a2=2. 7-2a2 x2 y2 ∴双曲线的方程为 2 - 5 =1. 21.(1)证明:建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz,不妨设正方体的棱长为 2,则 A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2). 设平面 AED 的法向量为 n1=(x1,y1,z1),则 → ? ?n1· DA=?x1,y1,z1?· ?2,0,0?=0, ? → ? ?n1· DE=?x1,y1,z1?· ?2,2,1?=0. 令 y1=1,得 n1=(0,1,-2). 同理可得平面 A1FD1 的法向量 n2=(0,2,1). ∵n1· n2=0,∴平面 AED⊥平面 A1FD1. (2)由于点 M 在 AE 上, → → ∴可设AM=λAE=λ(0,2,1)=(0,2λ,λ), ?2x1=0, ∴? ?2x1+2y1+z1=0.

→ 可得 M(2,2λ,λ),于是A1M=(0,2λ,λ-2). 要使 A1M⊥平面 DAE,需 A1M⊥AE, → → 2 ∴A1M· AE=(0,2λ,λ-2)· (0,2,1)=5λ-2=0,得 λ=5. 2 4 2 故当 AM=5AE 时,即点 M 坐标为(2,5,5)时,A1M⊥平面 DAE. 22.解 (1)∵f(x)=ax3+bx2 的图象经过点 M(1,4),

∴a+b=4.① 又 f′(x)=3ax2+2bx,则 1 f′(1)=3a+2b,由条件 f′(1)(-9)=-1, 得 3a+2b=9.② 由①,②解得 a=1,b=3. (2)f(x)=x3+3x2,f′(x)=3x2+6x, 令 f′(x)=3x2+6x≥0,得 x≥0,或 x≤-2, 若函数 f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,则 [m,m+1]?(-∞,-2]∪[0,+∞), ∴m≥0,或 m+1≤-2,即 m≥0,或 m≤-3, ∴m 的取值范围是(-∞,-3]∪[0,+∞).


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