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江苏省泰州市2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题


2014~2015 学年度第一学期期末考试 高二数学试题(理科)
(考试时间:120 分钟 总分:160 分)
命题人:张圣官 展国培 肖杉 张敏 审题人:杨鹤云 石志群 注意事项:所有试题的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效. 参考公式:圆锥的侧面积公式 S ? ? rl ;棱锥的体积公式 V ?

1 Sh . 3
<

br />一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上. )
2 1.一质点运动的位移 s ? m ? 与时间 t ? s ? 的关系式是 s ? t ? 10 ,则当 t ? 3s 时的瞬时速度

是 ▲

m/s.

x2 y 2 ? ? 1 的两条渐近线方程是 ▲ . 2.双曲线 4 4
3.已知圆锥的母线长为 5 ,底面圆半径为 3 ,那么它的侧面积为 ▲ . 4.函数 y ? e 在点 ? 0,1? 处的切线方程是
x

▲ .

5.若方程 x2 ? y 2 ? 2mx ? 2m2 ? 2m ? 3 ? 0 表示圆,则实数 m 的范围是 ▲ . 6.函数 y ? x3 ? 3x 的极小值是 ▲ . 7.若两圆 ( x ? m) ? y ? 4 与 ( x ? 1) ? ( y ? 2m) ? 9 相内切 ,则实数 m 的值为 ▲ . ...
2 2 2 2

8.关于直线 a, b, l 以及平面 M , N ,下面命题中真命题的序号是 ▲ . ⑴若 a // M , b // M ,则 a // b ; ⑵若 a ? M , a // N ,则 M ? N ;
C1 A1 C B1 D

⑶若 a ? M , b ? M ,且 l ? a, l ? b ,则 l ? M ; ⑷若 a // b, b ? M ,则 a // M . 9.椭圆

x y ? ? 1 上一点到左焦点的距离是 4 , 25 9
A

2

2

则它到椭圆的右准线的距离是 ▲ . 10.如图,已知正三棱柱 ABC ? A1B1C1 所有棱长均为 a ,

B

(第 10 题图)

高二数学(理科)第 1 页

共4页

D 为 BB1 上一点,则三棱锥 C1 ? ACD 的体积为 ▲ .
11. A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 是抛物线 y 2 ? 2 x 上相异的两点,且在 x 轴同侧,点 C (1, 0) .若直 线 AC , BC 的斜率互为相反数,则 y1 y2 ? ▲ .

12.已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 4 和圆 O 外一点 P?x0 , y0 ?,过点 P 作圆 O 的两条切线,切点分别 为 A, B ,且 ?AOB ? 120 .若点 C ?6, 0? 和点 P 满足 PO ? ? PC ,则 ? 的范围是 ▲ .
0

13. C 是椭圆

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 上位于第一象限内的点, A 是椭圆的右顶点, F 是 a2 b2
1 有解,则正整数 c 的最小值为 ▲ . 2

椭圆的右焦点,且 OC ? OF .当 OC ? AC 时,椭圆的离心率为 ▲ . 14.已知关于 x 的不等式 x ln x ? ?2 x ? cx ?
2

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (本题满分 14 分) 如图,正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, E , F 分别是 AB, BC 的中点. 求证:⑴ EF // 平面 AB1C ; ⑵平面 AB1C ? 平面 BDD1B1 .
A1 D1 C1 B1

D F A E B

C

16. (本题满分 14 分)

已知圆 C 过两点 A? 0 , 4? , B ? 4, 6? ,且圆心在直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 上. ⑴求圆 C 的方程; ⑵若直线 l 过原点且被圆 C 截得的弦长为 6,求直线 l 的方程.

高二数学(理科)第 2 页

共4页

17. (本题满分 15 分) 如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P ? ABCD 中, AD // BC , ?ABC ? 90? , PA ? 平 面 ABCD , PA ? 3 , AD ? 2 , AB ? 2 3 , BC ? 6 . (1)求异面直线 BD 与 PC 所成角的大小; (2)求二面角 P ? DC ? B 的余弦值.

18. (本题满分 15 分) 如图,已知海岛 A 到海岸公路 BC 的距离 AB 为 50 km , B ,C 间的距离为 100km ,从 A 到 C ,必须先坐船到 BC 上的某一点 D ,船速为 25km / h ,再乘汽车到 C ,车速为 50km / h , 设 ?BDA ? ? .记 ?BCA ? ? ( ? 为确定的锐角,满足 tan ? ?

⑴试将由 A 到 C 所用的时间 t 表示为 ? 的函数 t (? ) ,并指出函数的定义域; ⑵问 ? 为多少时,由 A 到 C 所用的时间 t 最少?请求出最少的时间.

1 ) 2

B

θ

D

C

A

高二数学(理科)第 3 页

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19. (本题满分 16 分)

2 x2 y 2 如图所示,椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点和上顶点分别为 A, B , D( 2, ) 为椭 a b 2 圆上一点,且 OD // AB .
⑴求椭圆的标准方程; ⑵ D ' 与 D 关于 x 轴对称, P 为线段 OD ' 延长线上一点,直线 PA 交椭圆于另外一点 E , 直线 PB 交椭圆于另外一点 F , y ①求直线 PA 与 PB 的斜率之积; B ②直线 AB 与 EF 是否平行?说明理由.
D

A

O F E D'

x

P

20. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? x ? ln a( x ? 0) ,其中 a ? 0 ⑴求函数 h( x) ? f ( x) ?

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x 的单调递增区间; 2

⑵若函数 f ( x ) 有两个零点 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,求实数 a 的取值范围,并证明 大而减小.

x2 随 a 的增 x1

高二数学(理科)第 4 页

共4页

2014~2015 学年度第一学期期末联考 高二数学试题(理科)参考答案
1. 6 6. ?2 11. 2 2. y ? ? x 7. 0 或 ? 3. 15? 4. y ? x ? 1 9. 5. (?3,1)

2 5

8.⑵ 13.

15 2

10. 14. 3

3 3 a 12

12. ? , 2 ? 5

?2 ?

? ?

5 ?1 2

15.(本小题满分 14 分) 证明:⑴∵ E , F 分别是 AB, BC 的中点

∴ EF // AC …………………2 分 又∵ EF ? 平面 AB1C , AC ? 平面 AB1C ∴ EF // 平面 AB1C .
⑵正方形 ABCD 中, AC ? BD …………………7 分

正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, BB 1 ? 平面 ABCD ∴ BB1 ? AC ∴ AC ? 平面 BDD1B1 ∵ AC ? 平面 AB1C ∴平面 AB1C ? 平面 BDD1B1 .
16.(本小题满分 14 分) 解:⑴线段 AB 的垂直平分线为 2 x ? y ? 9 ? 0 圆心 C (4,1) , 半径 r ? 5 故所求圆 C 的标准方程为 ( x ? 4)
2

…………………10 分

…………………14 分

…………………3 分

? ( y ?1)2 ? 25

…………………7 分

⑵当直线 l 的斜率不存在时, x ? 0 显然满足题意; …………………9 分 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l : y ? kx ∵弦长为 6 ,∴圆心 C 到直线 l 的距离 d ? 4 即 …………………11 分

15 ,此时直线 l : 15 x ? 8 y ? 0 …………………13 分 8 k ?1 故所求直线 l 的方程为 x ? 0 或 15 x ? 8 y ? 0 .…………………14 分
2

| 4k ? 1|

? 4 ,解得 k ? ?

注:少写 x ? 0 扣 2 分.

高二数学(理科)第 5 页

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17. (本小题满分 15 分) 解:以直线 AB, AD, AP 分别为 x 轴, y 轴, z 轴,

A(0,0,0), B(2 3,0,0,), C(2 3,6,0), D(0, 2,0), P(0,0,3) uuu r uuu r ⑴ BD ? (?2 3,2,0), PC ? (2 3,6, ?3) uuu r uuu r ∵ BD ? PC ? 0 ? 异面直线 BD 与 PC 所成的角为 .…………………7 分 2 u r ⑵平面 BCD 的法向量为 n1 ? (0,0,1) …………………9 分 u u r 设平面 PCD 的法向量为 n2 ? ( x, y, z ) uuu r uuu r DC ? (2 3,4,0), PD ? (0,2, ?3) u u r uuu r ? n ? DC ? 2 3x ? 4 y ? 0 ? 2 u r uuu r ?u ? ?n2 ? PD ? 2 y ? 3z ? 0 u u r 解得平面 PCD 的一个法向量为 n2 ? (2 3, ?3, ?2) …………………13 分 u r u u r 2 2 法向量 n1 , n2 夹角的余弦值为 ,即二面角 P-DC-B 的余弦值为 .…………15 分 5 5 2 注:答案是 ? 扣 2 分. 5
18. (本小题满分 15 分)

50 2 ,所以 A 到 D 所用时间 t1 ? , sin ? sin ? 50 50cos? 50cos? , CD ? 100 ? BD ? 100 ? , 所以 D 到 C 所 用时间 BD ? ? tan? sin? sin? cos? , t2 ? 2 ? sin ? ? 2 ? cos? 所以 t (? ) ? t1 ? t2 ? ………5 分 ? 2 ,定义域为 (? , ) . 2 sin ? sin 2 ? ? (2 ? cos ? ) cos ? 1 ? 2cos ? ? ⑵ t ?(? ) ? ………8 分 sin 2 ? sin 2 ? 1 ? ? ? ? 令 t ?(? ) ? 0 ? cos? ? ? ? ? ? ;所以 ? ? ( , ) , t (? ) 单调增;………10 分 2 3 2 3 2
解:⑴ AD ? 因为 ?BCA ? ? ,则 ? ? ? ? 因此, ? ? 答:当 ? ?

?

?
?
3
3

3

时, t ?(? ) ? 0 ,所以 ? ? (? , ) , t (? ) 单调减;………12 分

?

3

, t (? ) 取到最小值 2 ? 3 .………14 分 时,由 A 到 C 的时间 t 最少,最少时间为 2 ? 3 小时.………15 分

高二数学(理科)第 6 页

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注:若定义域写成闭区间 [? , ] 不扣分;若写成 (0, ) 扣 2 分.

?

?

2

2

19. (本小题满分 16 分) 解:⑴ A(?a, 0), B(0, b) ∵ OD // AB , D( 2, ∴

2 ) 2

b 1 2 1 ? 且 2 ? 2 ?1 2b a 2 a 2 2 解得 a ? 4, b ? 1

x2 ? y 2 ? 1. ………4 分 4 1 2 ⑵① A(?2, 0), B(0,1), D '( 2, ? ) ,直线 OD ' : y ? ? x 2 2 1 y0 y0 ? 1 设 P( x0 , y0 ) ,则 k PA ? ,且 y0 ? ? x0 , kPB ? 2 x0 ? 2 x0 1 y0 ( y0 ? 1) 4 x0 ( x0 ? 2) 1 ? ? . ………8 分 ∴ k PA ? k PB ? x0 ( x0 ? 2) x0 ( x0 ? 2) 4 ②直线 AB // EF . ………9 分 2 2 设 E( x1 , y1 ), F ( x2 , y2 ) ,直线 PA : y ? k1 ( x ? 2) ,代入椭圆方程 x ? 4 y ? 4 得
∴椭圆的标准方程为

x2 ? 4k12 ( x ? 2)2 ? 4 ,整理得 ( x ? 2)[(4k12 ?1) x ? 8k12 ? 2] ? 0
2 ? 8k12 2 ? 8k12 4k1 ,从而 E ( , ) ………11 分 4k12 ? 1 4k12 ? 1 4k12 ? 1 设直线 PB : y ? k2 x ? 1 ,代入椭圆方程 x 2 ? 4 y 2 ? 4 得
解得 x1 ?
2 x2 ? 4(k2 x ? 1)2 ? 4 ,整理得 x[(4k2 ?1) x ? 8k2 ] ? 0
2 8k2 8k2 1 ? 4k2 解得 x2 ? ? 2 ,从而 F (? 2 , 2 ) ………13 分 4k 2 ? 1 4k2 ? 1 4k2 ?1

1 8k1 4k12 ? 1 由⑵可知 k1k 2 ? ,所以 F (? 2 , ) 4 4k1 ? 1 4k12 ? 1

4k12 ? 1 4k ? 21 2 4k1 ? 1 4k1 ? 1 4k12 ? 4k1 ? 1 1 EF ? ? ∴直线 的斜率为 8k1 2 ? 8k12 8k12 ? 8k1 ? 2 2 ? 2 ? 4k1 ? 1 4k12 ? 1 1? 0 1 ? 又∵直线 AB 的斜率为 0 ? (?2) 2 所以直线 AB // EF .………16 分

………15 分

高二数学(理科)第 7 页

共4页

20. (本小题满分 16 分)

1 2 x ? (a ? 1) x ? ln a ,定义域为 (0, ??) 且 a ? 0 , 2 a x 2 ? (a ? 1) x ? a ( x ? a)( x ? 1) ? 因为 h '( x) ? ? x ? (a ? 1) ? , ………2 分 x x x ①当 a ? 1 时, h?( x) ? 0 恒成立,所以 h( x) 的单调递增区间为 (0, ??) ; ………3 分 ②当 a ? 1 时,所以 h( x) 的单调递增区间为 (0,1) 或 (a, ??) ; ………5 分 ③当 0 ? a ? 1 时,所以 h( x) 的单调递增区间为 (0, a ) 或 (1, ??) . ………7 分 1 x ?1 ? 0 ,得 x ? 1 .当 x 变化时, f ?( x ) 、 f ( x) 的变化如下表: (2)由 f ?( x) ? 1 ? ? x x
解: (1) h( x) ? a ln x ?

x
f ?( x ) f ( x)

(0,1)
+ ↗

1 0

(1, ??)
- ↘ ………10 分

? ln a ? 1

这时, f ( x ) 的单调递增区间是 (0,1) ,单调递减区间是 (1, ??) . 当 x 大于 0 且无限趋近于 0 时, f ( x ) 的值无限趋近于 ?? ;当 x 无限趋近于 ?? 时, f ( x ) 的值无限趋近于 ?? . 所以 f ( x ) 要有两个零点,须满足 f (1) >0,即 ln a ? ?1 , 所以 a 的取值范围是 (0, e ) .
?1

………12 分

因为 x1 , x2 是函数 f ( x ) 的两个零点,即 ln x1 ? x1 ? ln a ? 0 , ln x2 ? x2 ? ln a ? 0 ,

x1 x ?1 , a ? x2 .因为 f (1) ? ? ln a ? 1 且 a ? (0, e ) ,则得 x1 ? (0,1), x2 ? (1, ??) . x1 e e2 x 1? x 设 F ( x ) ? x ,则 F ?( x) ? x , e e 所以 F ( x) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, ??) 上单调递减.
则a ? 对于任意的 a1 , a2 ? (0, e?1 ) ,且 a1 ? a2 , 设 F (?1 ) ? F (?2 ) ? a1 ,其中 0 ? ?1 ? 1 ? ?2 ; F (?1 ) ? F (?2 ) ? a2 ,其中 0 ? ?1 ? 1 ? ?2 ; 因为 F ( x) 在 (0,1) 上单调递增,故由 a1 ? a2 ,即 F (?1 ) ? F (?1 ) ,可得 ?1 ? ?1 ; 类似可得 ?2 ? ?2 .由 ?1 ? ?1 ? 0 ,则 所以,

1

?1

?

1

?1

,所以

? 2 ?2 . ? ?1 ?1

x2 随 a 的增大而减小. x1

………16 分

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