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高三理科数学最后一卷


高三理科数学最后一卷
一.选择题:本大题共有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项

中,只有一项是符合题目要求的. 2?i 1. 已知 i 为虚数单位, a ? R ,若 为纯虚数,则复数 z ? 2a ? 2i 的模等于( a?i
A. 2 B. 11 C. 3 ) D. 6



2.下列选项中叙述错误的是(
2 2

A.命题“若 x =0,则 x ? x ? 0 ”的逆否命题为真命题 B.若命题 P : ?n ? N , n ? 2n ,则 ? P : ?n ? N , n ? 2n
2 2

C. “ a ? 0 , b ? 0 ”是“ b ? a ? 2 ”的充分必要条件
a b
2 2 2 2 D. 命题 “若 m ? n ? 0 , 则 m ? 0 且 n ? 0” 的否命题是 “若 m ? n ? 0 , 则m ? 0或n ? 0”

3. 已知抛物线 C : y 2 ? 2 px? p ? 0? 的焦点为 F , P 为 C 上一点,若 PF ? 4, 点 P 到 y 轴的距离 等于 3 ,则点 F 的坐标为( A. (?1, 0) ) C. (2, 0)
2

B. (1, 0)

D. (?2, 0)

4. 已知函数 g ( x) 是定义在区间 [?3 ? m, m ? m] 上的偶函数( m ? 0 ) ,
? x 2 ? 1, ? x ? 0 ? ? ,则 f ? 2016 ? ? ( ) f ? x? ? ? f x ? | m | , x ? 0 ? ? ? ? ? ? A.1 B. 2 C. 9 D. 10 ?x ? y ? 0 5. 若实数 x, y 满足不等式组 ? ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,且 x ? y 的最大值 ? x ? my ? 1 ? 0 ? 为 3,则实数 m ? ( )

2 3 6. 棱长为 2 的正方体被一平面截成两个几何体, 其中一个几何体 的三视图如图所示,那么该几何体的体积是( )
A. 2 B. C. 1 D. A.
14 3

4 3

B.4

C.

10 3

D.3

7. 已知菱形 ABCD 边长为 2, ?B ? 则 ? 的值为( A. )

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ,点 P 满足 AP ? ? AB , ? ? R .若 BD ? CP ? ?3 , 3
1 3
1

1 2

B. ?

1 2

C.

1 3

D. ?

8.将函数 y ? 3 cos x ? sin x ? x ? R ? 的图像向左平移 m ? m ? 0 ? 个 单位长度后,所得到的图像关于 y 轴对称,则 m 的最小值是 ( )

? A. 6

B.

?
12

? C. 3

5? D. 6

开始
输入k
S ? 0, n ? 0

9.执行如图所示程序框图,若使输出的结果不大于 50, 则输入的整数 k 的最大值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 10. 如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几 何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为( ) A.31π B. 32π C. 34π D.36π 11.已知离心率为 2 的双曲线

n?k?




S ? S ? 2n ? 2
n ? n ?1

x y ? 2 ?( 1 a ? 0, b ? 0) 的两条 2 a b

2

2

输出S

2 渐近线与抛物线 C : y ? 2 px? p ? 0? 的准线分别交于 A,B 两

结束

点, O 为坐标原点, 若△ABO 的面积为 3 , 则抛物线的方程为 ( A.y =6x
2



B.y =4x

2

C.y =3x

2

D.y =2x

2

12.已知函数 f ( x ) ?

ln(2 x) , 关于 x 的不等式 f 2 ( x) ? af ( x) ? 0 只有 x
) C. ? ln 6, ln 2 ?

两个整数解,则实数 a 的取值范围是( A. ? , ln 2 ?

?1 ?3

? ?

B. ? ? ln 2, ? ln 6 ?

? ?

1 3

? ?

?1 ?3

? ?

D. ? ? ln 2, ? ln 6 ? 3

? ?

1

? ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.答案填在答题卷上规定的位置上.
13. 在 (2 x ?

4 ? 5)9 的展开式中,不含 x 的各项系数之和为______________. y

14. 已知 e O:x2 ? y 2 ? 1 ,若直线 y ? k x ? 2 上总存在点 P , 使得过点 P 的 e O 的两条切线互 相垂直,则实数 k 的取值范围为 15.已知函数 f ? x ? ? . .

ex ? m ? mx 是定义在 R 上的奇函数,则实数 m ? ex ? 1

16.某校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课,要求体育不排在第一节课, 数学不排在第四节课,则这天课表的不同排法数为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17. (本小题满分 12 分)已知等比数列 ?an ?的各项均为正数,前 n 项和为
2

sn , s3 ? 14, a1 ? a5 ? 8a3 ,数列 ?bn ?的前 n 项和为 Tn , bn ? bn?1 ? log2 an .
(1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)求 T2 n .

18.( 本小题满分 12 分)在一次全国高中生五省大联考中,有 90 万名学生参加,考后对所有学生
2 成绩统计发现,应用成绩服从正态分布 N ? , ? ,右表用茎叶图列举了 20 名学生的英语成绩,

?

?

巧合的是这 20 个数据的平均数和方差恰好比所有 90 万个数据 的平均数和方差都多 0.9,且这 20 个数据的方差为 49.9. (1)求 ? , ? ; ( 2 ) 给 出 正 态 分 布 的 数 据 :

P ? ? ? ? ? X ? ? ? ? ? ? 0.6826, P ? ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ? ? 0.9544.
(ⅰ)若从这 90 万名学生中随机抽取 1 名,求该生英语成绩在 ?82.1,103.1? 内的概率; (ⅱ)如从这 90 万名学生中随机抽取 1 万名,记 X 为这 1 万名学生中英语成绩在

?82.1,103.1? 内的人数,求 X 的数学期望.
19.(本小题满分 12 分)如图,在斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面 ACC1 A1 与侧面 CBB1C1 都 是菱形, ?ACC1 ? ?CC1B1 ? 600 , AC ? 2 . (Ⅰ)求证: AB1 ? CC1 ; (Ⅱ) 若 AB1 ? 6 , 求二面角 C ? AB1 ? A1 的余 弦值. 20.(本小题满分 12 分)已知椭圆

C1 :

2 x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,其短轴的下端点在抛物线 x ? 4 y 的准线上. 2 a b 2

(1)求椭圆 C1 的方程; (2)设 O 为坐标原点, M 是直线 l : x ? 2 上的动点, F 为椭圆的右焦点,过点 F 作 OM 的垂 线与以 OM 为直径的圆 C2 相交于 P, Q 两点,与椭圆 C1 相交于 A, B 两点,如图所示.

3

①若 PQ ? 6 ,求圆 C2 的方程; ②设 C2 与四边形 OAMB 的面积分别为 S1 , S2 ,若 S1 ? ? S2 , 求 ? 的取值范围. 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? a ? (1)若 f ( x) ? 0 恰有一个解,求 a 的值; (2)若函数 g ( x) ? a ?

1 ? ln x ,其中 a 为常数 x

1 2( x ? p) ? ? f ( x) ? ln p ,其中 p 为常数,试判断函数 g ( x) 的单调性; x x? p

(3)若 f ( x ) 恰有两个零点, x1 ? x2 ,求证 x1 ? x2 ? 3ea?1 ?1 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,在 Rt ?ABC 中, ?C ? 90? , BE 平分 ?ABC ,交 AC 于点 E ,点 D 在 AB 上, DE ? EB ,且 AD ? 2 3, AE ? 6 . (1)求证:直线 AC 是 ?BDE 的外接圆的切线; (2)求 EC 的长. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 : ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 8 ,曲线 C2 : x2 ? y 2 ? r 2 (0 ? r ? 4) , 以坐标原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,射线 ? ? ? (0 ? ? ? 于 O, P 两点,与曲线 C2 交于 O , N 两点,且 | PN | 最大值为 2 2 (I)将曲线 C1 与曲线 C2 化成极坐标方程,并求 r 的值; (II)射线 ? ? ? ?

?
2

) 与曲线 C1 交

?
4

与曲线 C1 交于 O, Q 两点,与曲线 C2 交于 O , M 两点,求四边形 MNPQ 面

积的最大值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x , g ? x ? ? ? x ? 4 ? m . (1)解关于 x 的不等式 g ? ? f ? x ?? ??2?m ? 0; (2)若函数 f ? x ? 的图象恒在函数 g ? x ? 图像的上方,求实数 m 的取值范围.
4


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