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培优专题 不等式培优资料(教师版)


不等式(组)与方程(组)互化
一、方程(组)转化为不等式(组) 例 1 关于 x 的方程

a ? 1 的解是负数,则 a 的取值范围是( x ?1



A. a ? 1 ;B. a ? 1 且 a ? 0 ;C. a ≤ 1 ;D. a ≤ 1 或 a ? 0 . 分析:先解关于 x 的方程 解:解方程

a ? 1 ,用含有字母 a 的式子表示未知数 x,然后构造不等式组求解. x ?1

a ? 1 ,得 x=a-1. x ?1

又由关于 x 的方程的解是负数即 x<0, 所以 ?

?a ? 1 ? 0, 解得,a<1 且 a ? 0 . a ? 0 . ?

故应选 B. 例 2 如果方程组 ?

?3x ? y ? k ? 1, 的解 x、y 满足 x+y>0,则 k 的取值范围是 ?x ? 3 y ? 3

.

分析:先解方程组,用含有 k 的式子表示 x、y 或直接表示 x+y,再根据 x+y>0,构造不等式求解. 解:解方程组 ? 又由 x+y>0, 所以

?3x ? y ? k ? 1, k ,得 x+y= +1. 4 ?x ? 3 y ? 3

k +1>0,解得,k>-4. 4

二、不等式(组)转化为方程(组) 例 3 已知不等式 x ? 8 ? 4 x ? m ( m 是常数)的解集是 x ? 3 ,求 m .分析:先解关于 x 的不等式,再根据 已知的解集构造方程求解. 解:解不等式 x ? 8 ? 4 x ? m ,得 x< 由 x ? 3 ,所以

8?m =3. 3

8?m . 3

解这个关于 m 的方程,得 m=-1. 例 4(若不等式组 ?

? x ? a ? 2, 的解是-1<x<1,则(a+b)2006= b ? 2 x ? 0 . ?

. 分析:先解关于 x 的不等式组,

再根据已知的解集构造方程组求解.

1

? x ? a ? 2, ? x ? a ? 2, ? 解:解不等式组 ? ,得 ? b x? . ?b ? 2 x ? 0. ? 2 ?
由于这个不等式组有解,所以其解集应为 a+2<x< 又-1<x<1,

b . 2

?a ? 2 ? ?1, ? 所以 ? b 解得,a=-3,b=2. ? 1. ? ?2
故(a+b)2006=(-3+2)2006=1. 例 5. 不等式 10? x ? 4? ? x ? 62 的正整数解是方程 2 的解,求 a ? ax ?? x ? a ? 1 ? ?3
2

1 的值。 a2

解:由已知得: 1 1 x ? 2 2 ,正整数解为 x? ?? x 2 1 代入方程,得: a?2

1 1 1 7 2 ? a ? 2? 4 ? ? 4 4 a

不等式(组)中参数如何求
一、利用性质,进行求解 例 1、如果关于 x 的不等式(a+1)x>a+1 的解集为 x<1,则 a 的取值范围是 。

解析:观察不等式解集可知,不等号的方向发生了改变,由此判断原不等式的两边都除以了同一个负数,所 以 a+1<0,即 a<-1,此题逆用了不等式的一条性质;不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的 方向改变. 二、借助方程,进行求解 例 2、若不等式-3x+n>0 的解集是 x<2,则不等式-3x +n<0 的解集是_________。解析:虽然不等式与等式表 面上看, 应该是水火不相容, 但实质上, 它们有众多相似之处, 所以借助方程可以帮助我们解决许多不等式问题。 比较比较不等式与一元一次方程的解法可以发现,当不等式-3x+n>0 的解集是 x<2,则方程-3x+n=0 的解是 x=2,故-3× 2+n=0,所以 n=6。 三、对照解集,进行求解 例 3、若关于 x 的不等式组 ?

?2( x ? 1) ? 4a ? x 的解集是-1<x< 2,则式子(a+b)2006= 3 ( x ? 1 ) ? 4 x ? 2 b ?

解析:先化简

2

4a ? 2 ? ?x ? 不等式组得 ? 3 ,因其解集是-1<x<2, ? ? x ? 2b ? 3
4a+2 所以对照解集根据“大大小小取中”可知必有 =2 且 2b+3=-1, 3 分别解得 a=1,b=-2, 所以(a+b)2006=(1-2)2006=1。 例 4、若关于 x 的不等式组 ?

?x ? 8 ? 4 x ? 1 的解集为 x>6m-3,则 m 的取值范围是 ?3 ? x ? 6m

。解析:先

化简不等式组得 ?

?x ? 3 ,已知解集为 x>6m-3, 对照解集根据“同大取大”的方法知:6m-3 大于或等于 ? x ? 6m ? 3

3,即 6m-3≥3,解得 m≥1。 四、借助数轴,进行求解

? x ? 3( x ? 2) ? 2, ? 例 5、若关于 x 的不等式组 ? a ? 2 x 有解,则实数 a 的取值范围是 ?x ? ? 4

.解析:运用数形结合

的思想,借助于数轴,可以很清楚的看出不等式组的解集的情况.要熟练掌握运用数轴解决有关不等式组解集问题 的方法。

? x ? 3( x ? 2) ? 2, ? x ? 2 a ? ? 解不等式组 ? a ? 2 x 可得 ? a ,对于 2 和 之间的关系可以分以下三种情况,在数轴上表示为: 2 ?x x? ? ? ? 4 ? 2

容易看出,只有情况(3)有解,所以有 2 ?

a ,解得 a ? 4 。 2

15 >x-3 ?x+ 2 例 6 关于 x 的不等式组? 只有 4 个整数解,则 a 的取值范围是 2x+2 ? 3 <x+a 14 A. -5≤a≤- 3 14 B. -5≤a<- 3 14 C. -5<a≤- 3 14 D. -5<a<- 3





五、利用逆向思维,进行求解
3

例 7、若关于 x 的不等式组 ? 是 。

?2a ? x ? 3 的解集中每一 x 值均不在一 1≤x≤4 的范围中,则 a 的取值范围 ?2 x ? 8 ? 4a

解析:先化简不等式组得 ?

? x ? 2a ? 3 ,由 2a-3>2a-4 知原不等式组有解集为 2a-4<x<2a-3,又由题意 ? x ? 2a ? 4

逆向思考可知原不等式组的解集落在 x<-1 或 x>4 的范围内,从而得到 2a-3≤-1 或 2a-4≥4,所以解得 a≤1 或 a≥4。 六、多变元问题 例 8、已知:x、y、z 是三个非负有理数,且满足 32 ,若 s ? 2 x ? y ? z ,则 S 的 x ?? y z ? 5 , xy ? ? z ? 2 最大值和最小值的和是多少? S 的最大值和最小值。 解:由已知得: ? 分析:用含一个字母的代数式表示 S,并确定这个字母的取值范围,就可求得

?2y ? z ? 5? 3x ?y ? z ? 2 ? x

7 ? 4x ? y ? ? ? 3 解得: ? ?z ? 1 ? x ? 3 ?

74 ? x1 ? x ? S ? 2 x ? ? ?? x2 3 3

? ?x ? 0 ?x ? 0 ? ? ?7 ? 4x 由 ? y ? 0 得不等式组 ? ? 0 ?z ? 0 ? 3 ? ?1 ? x ?? 3 ? 0
? x ? 1 解得: 0
∴2≤S≤3 所以,S 的最大值与最小值的和为 5 注:含多个变量的问题称为“多变元问题”,解这类问题的关键是通过消元,将多元转化为一元。 练习: 1、若不等式组 ?

? x ? a ? 2, 2006 的解集是 ?1 ? x ? 1 ,则 (a ? b) =__1___。 ?b ? 2 x ? 0

4

2、已知不等式组 ?

, ?3 ? 2 x ≥ 1 无解,则 a 的取值范围是 ?x ? a ? 0

a ? ?1
D
0 1 2 3



3、若关于x的不等式x-m≥-1的解集如图所示,则m等于 A.0 B.1 C.2 D.3

4

1 1 1 4、已知不等式 ? x ? 5 1 ?? a x ? 2 ?? ?的解集为 x ? ,试求 a 的取值范围。a=-17 2 2 2
5、当 k 为何整数值时,方程组 ?

?x ? 2y ? 6 有正整数解?1<k<4,k 取 2 或 3 ?x ? y ? 9 ? 3k

6、已知不等式 3 的正整数解为 1,2,3,那么 m 的取值范围是____ 9 ? m ? 12 ________。 x ? m ? 0 7、 若方程 2 4 9 x? x ? 1?0的解小于零,求 a 的取值范围。a>1992 8、设不等式 ? 的解集为 x ? 2 a ? b x ??? 3 a 4 b0 ? 9、 已知方程组 ?

a 8

4 ,求不等式 ? 的解。X<-0.25 a ? 4 b x ??? 2 a 3 b0 ? 9

?x ? y ? 2 ,若方程组有非负整数解,求正整数 m 的值。m=1,3 ?mx ? y ? 6

设计最优方案,请不等式组帮忙
例1某商店需要购进一批电视机和洗衣机,根据市场调查,决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一 半.电视机与洗衣机的进价和售价如下表: 类 别 电视机 1800 2000 洗衣机 1500 1600

进价(元/台) 售价(元/台)

计划购进电视机和洗衣机共 100 台,商店最多可筹集资金 161 800 元. (1)请你帮助商店算一算有多少种进货方案?(不考虑除进价之外的其它费用) (2)哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多?并求出最多利润.(利润= 售价-进价)分析:本题是一道现实生活中比较常见的采购方案问题,根据题意可知,购进的电视机的台数不少 于洗衣机的一半;两种电器的总成本价不多于 161 800 元,据此可列出不等式组,由两种电器的台数都是正整数 这一实际要求,将问题转化为求不等式组的正整数解,进而设计出进货方案,并通过分析判断确定出获利最多的 进货方案. 解:(1)设商店购进电视机 x 台,则购进洗衣机(100-x)台,根据题意,得

1 ? 1 1 ? x ? (100 ? x), ,解不等式组,得 33 ≤ x ≤ 39 . 2 ? 3 3 ? ?1800 x ? 1500(100 ? x) ? 161800.
因为 x 为正整数,所以 x 可取的值是 34,35,36,37,38,39.
5

所以商店有以下 6 种进货方案: ①购进电视机 34 台,购进洗衣机 66 台; ②购进电视机 35 台,购进洗衣机 65 台; ③购进电视机 36 台,购进洗衣机 64 台; ④购进电视机 37 台,购进洗衣机 63 台; ⑤购进电视机 38 台,购进洗衣机 62 台; ⑥购进电视机 39 台,购进洗衣机 61 台; (2)根据表格的信息可知,售出一台电视机可获利 200 元,而售出一台洗衣机仅获利 100 元,据此可知购进 的电视机越多,商店获利越多.所以选择第 6 种方案即购进电视机 39 台,购进洗衣机 61 台商店获利最多.此时 商店获得利润为: (2000-1800)×39+(1600-1500)×61=13900(元). 例2某校准备组织 290 名学生进行野外考察活动,行李共有 100 件.学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共 8 辆,经了解,甲种汽车每辆最多能载 40 人和 10 件行李,乙种汽车每辆最多能载 30 人和 20 件行李. ⑴设租用甲种汽车 x 辆,请你帮助学校设计所有可能的租车方案; ⑵如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为 2000 元、1800 元,请你选择最省钱的一种租车方案. 分析:本题以学生野外考察租车为载体,让学生确定租车方案并判断选择最省钱的一种方案.解题的 关键在于第⑴问,由题意可知,租用甲、乙两辆车所满载的人数和不小于 290 名,满载的行李数之和不小 于 100 件. 据此可列出不等式组, 由租车辆数为整数这一实际要求, 将问题转化成求不等式组的正整数解, 进而设计出租车方案,通过分析判断选择出最省钱的方案. 解:⑴因为租用甲种汽车 x 辆,所以租用乙种汽车 (8 ? x) 辆,由题意得:

?40 x ? 30(8 ? x) ≥ 290 ? ?10 x ? 20(8 ? x) ≥100
解得: 5 ≤ x ≤ 6 . 因为 x 为整数, 所以 x ? 5 或 6 . 所以有 2 种租车方案: ①租用甲种汽车 5 辆,乙种汽车 3 辆; ②租用甲种汽车 6 辆,乙种汽车 2 辆. ⑵第一种租车方案的费用为 5 ? 2000 ? 3 ?1800 ? 15400 元; 第二种租车方案的费用为 6 ? 2000 ? 2 ?1800 ? 15600 元.
6

∴第一种租车方案更省费用. 例 3 “五一”黄金周期间,某学校计划组织 385 名师生租车旅游,现知道出租公司有 42 座和 60 座两种客 车,42 座客车的租金每辆为 320 元,60 座客车的租金每辆为 460 元. (1)若学校单独租用这两种车辆各需多少钱? (2)若学校同时租用这两种客车 8 辆(可以坐不满),而且要比单独租用一种车辆节省租金.请你帮助该学校 选择一种最节省的租车方案.分析:(1) 385 ? 42 ? 9.2

∴ 单独租用 42 座客车需 10 辆,租金为 320 ?10 ? 3200 元.

3 8? 5

? 6 0

6 . 4

∴ 单独租用 60 座客车需 7 辆,租金为 460 ? 7 ? 3220 元
(2)设租用 42 座客车 x 辆,则 60 座客车 (8 ? x) 辆,由题意得:

x? 6 0 ?x (8 ≥ ), 3 8 5 ?4 2 ? ? 4 6 ?0 x ( ≤ 8 ) 3 2 0 0 . ?3 2 x0
解之得: 3 ≤ x ≤ 5

3 7

5 . 18

∵ x 取整数,∴ x ? 4, 5.
当 x ? 4 时,租金为 320 ? 4 ? 460 ? (8 ? 4) ? 3120 元; 当 x ? 5 时,租金为 320 ? 5 ? 460 ? (8 ? 5) ? 2980 元. 答:租用 42 座客车 5 辆,60 座客车 3 辆时,租金最少. 例 4 小亮妈妈下岗后开了一家糕点店.现有 10.2 千克面粉, 10.2 千克鸡蛋,计划加工一般糕点和精制糕点 两种产品共 50 盒.已知加工一盒一般糕点需 0.3 千克面粉和 0.1 千克鸡蛋;加工一盒精制糕点需 0.1 千克面粉和

0.3 千克鸡蛋.
(1)有哪几种符合题意的加工方案?请你帮助设计出来; (2)若销售一盒一般糕点和一盒精制糕点的利润分别为 1.5 元和 2 元,那么按哪一个方案加工,小亮妈妈可 获得最大利润?最大利润是多少?分析:(1)设加工一般糕点 x 盒,则加工精制糕点 (50 ? x) 盒. 根据题意, x 满足不等式组:

x ? 0 . 1 (? 5x0 ≤ ) , 10.2 ?0 . 3 ? x ? 0 . 3 (? 5x0 ≤ ) . 10.2 ?0 . 1
解这个不等式组,得 24 ≤ x ≤ 26 .

25, 26 . 因为 x 为整数,所以 x ? 24,
因此,加工方案有三种:加工一般糕点 24 盒、精制糕点 26 盒;加工一般糕点 25 盒、精制糕点 25 盒;加工
7

一般糕点 26 盒、精制糕点 24 盒. (2)由题意知,显然精制糕点数越多利润越大,故当加工一般糕点 24 盒、精制糕点 26 盒时,可获得最大 利润. 最大利润为: 24 ?1.5 ? 26 ? 2 ? 88 (元).

例 5 某工厂现有甲种原料 226kg,乙种原料 250kg,计划利用这两种原料生产 A,B 两种产品共 40 件,生产
A,B 两种产品用料情况如下表:

需要甲原料 一件 A 种产品 一件 B 种产品 7kg 3kg

需要乙原料 4kg 10kg

设生产 A 产品 x 件,请解答下列问题: (1)求 x 的值,并说明有哪几种符合题意的生产方案; (2)若甲种原料 50 元/kg,乙种原料 40 元/kg ,说明(1)中哪种方案较优?分析:(1)根据题意,
?7 x ? 3(40 ? x) ≤ 226, 得? ?4 x ? 10(40 ? x) ≤ 250.

这个不等式组的解集为 25 ≤ x ≤ 26.5 . 又 x 为整数,所以 x ? 25 或 26. 所以符合题意的生产方案有两种: ①生产 A 种产品 25 件, B 种产品 15 件; ②生产 A 种产品 26 件, B 种产品 14 件. (2)一件 A 种产品的材料价钱是: 7 ? 50 ? 4 ? 40 ? 510 元. 一件 B 种产品的材料价钱是: 3 ? 50 ? 10 ? 40 ? 550 元. 方案①的总价钱是: 25 ? 510 ? 15 ? 550 元. 方案②的总价钱是: 26 ? 510 ? 14 ? 550 元.
25 ? 510 ? 15 ? 550 ? (26 ? 510 ? 14 ? 550) ? 550 ? 510 ? 40 元.

由此可知:方案②的总价钱比方案①的总价钱少,所以方案②较优. 例 6 我市某生态果园今年收获了 15 吨李子和 8 吨桃子,要租用甲、乙两种货车共 6 辆,及时运往外地,甲 种货车可装李子 4 吨和桃子 1 吨,乙种货车可装李子 1 吨和桃子 3 吨. (1)共有几种租车方案? (2)若甲种货车每辆需付运费 1000 元,乙种货车每辆需付运费 700 元,请选出最佳方案,此方案运费是
8

多少. 分析:(1)设安排甲种货车 x 辆,乙种货车 (6 ? x) 辆, 根据题意,得: ?

?4 x ? (6 ? x) ≥15 ? x ≥ 3 ?3 ≤ x ≤ 5 ?? ? x ? 3(6 ? x) ≥ 8 ?x ≤ 5

x 取整数有:3,4,5,共有三种方案.
(2)租车方案及其运费计算如下表.(说明:不列表,用其他形式也可) 方案 一 二 三 甲种车 3 4 5 乙种车 3 2 1 运费(元)

1000 ? 3 ? 700 ? 3 ? 5100

1000 ? 4 ? 700 ? 2 ? 5400
1000 ? 5 ? 700 ?1 ? 5700

答:共有三种租车方案,其中第一种方案最佳,运费是 5100 元.

9


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