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数学:第二章《圆锥曲线与方程》测试(2)(新人教A版选修1-1)


圆锥曲线与方程 单元测试
时间:90 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)
2 2

分数:120 分

1.椭圆 x + my = 1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为( ) A.

1 4
2

B.

1 2

C.2

D.4

2.过抛物线 y = 4 x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 中点的横坐标为 3, 则 | AB | 等于( ) A.10 B.8 C.6 D.4

3.若直线 y=kx+2 与双曲线 x 2 ? y 2 = 6 的右支交于不同的两点,则 k 的取值范围是( )

A. (?

15 15 , ) 3 3

B. (0 ,

15 ) 3

C. (?

15 , 0) 3

D. (?

15 , ? 1) 3

4. (理)已知抛物线 y 2 = 4 x 上两个动点 B、C 和点 A(1,2)且∠BAC=90°,则动直线 BC 必过定点( ) A. (2,5)

B. (-2,5)

C. (5,-2)

D. (5,2)

(文)过抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点作直线交抛物线于 P (x1 , y1 ) 、 Q (x2 , y2 ) 两点, 若 x1 + x2 = 3 p ,则 | PQ | 等于( ) A.4p B.5p C.6p D.8p

5.已知两点 M (1, ), N ( ?4,? ) ,给出下列曲线方程:① 4 x + 2 y ? 1 = 0 ;② x 2 + y 2 = 3 ;③

5 4

5 4

x2 x2 2 + y = 1 ;④ ? y 2 = 1 .在曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是( ) 2 2
(A)①③ 6.已知双曲线 (B)②④ (C)①②③ (D)②③④

x2 y2 ? = 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1 、 F2 ,点 A 在双曲线第一象限的 a2 b2

图象上,若△ AF1 F2 的面积为 1,且 tan ∠AF1 F2 = ( )

1 , tan ∠AF2 F1 = ?2 ,则双曲线方程为 2
x2 5 y2 D. ? =1 3 12

12 x 2 A. ? 3y2 = 1 5

5x 2 y 2 B. ? =1 12 3

12 y 2 C. 3 x ? =1 5
2

7.圆心在抛物线 y 2 = 2 x ( y > 0) 上,并且与抛物线的准线及 x 轴都相切的圆的方程是( )

-1-

A. x + y ? x ? 2 y ?
2 2

1 =0 4

B. x + y + x ? 2 y + 1 = 0
2 2

2 2 C. x + y ? x ? 2 y + 1 = 0

D. x + y ? x ? 2 y +
2 2

1 =0 4

8.双曲线的虚轴长为 4,离心率 e =

6 , F1 、 F2 分别是它的左、右焦点,若过 F1 的直线与 2


双曲线的右支交于 A、B 两点,且 | AB | 是 | AF2 | 的等差中项,则 | AB | 等于( A. 8 2 B. 4 2
2

C. 2 2

D.8.

9. (理)已知椭圆 x +

1 2 y = a 2 (a>0)与 A(2,1) ,B(4,3)为端点的线段没有公共点, 2 3 2 82 或a > 2 2

则 a 的取值范围是( ) A. 0 < a <

3 2 2 a> 82 2

B. 0 < a <

C. a <

3 2 或 2

D.

3 2 82 <a< 2 2


(文)抛物线 ( x ? 2) 2 = 2( y ? m + 2) 的焦点在 x 轴上,则实数 m 的值为( A.0 B.

3 2

C.2

D.3

10.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F ( 7 ,0) ,直线 y = x ? 1 与其相交于 M , N 两点,

MN 中点横坐标为 ? x2 y2 ? =1 (A) 3 4

2 ,则此双曲线的方程是( 3
(B)

)

x2 y2 ? =1 4 3

x2 y2 ? =1 (C) 5 2
0

x2 y2 ? =1 (D) 2 5


11.将抛物线 y = x 2 ? 4 x + 3 绕其顶点顺时针旋转 90 ,则抛物线方程为( (A) ( y + 1) 2 = 2 ? x (B) ( y + 1) 2 = x ? 2 (C) ( y ? 1) 2 = 2 ? x (D) ( y ? 1) 2 = x ? 2

12. 若直线 mx + ny = 4 和⊙O∶ x 2 + y 2 = 4 没有交点, 则过 (m, n) 的直线与椭圆 的交点个数( ) A.至多一个 B.2 个 C.1 个 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)

x2 y2 + =1 9 4

D.0 个

-2-

13.椭圆

x2 y2 1 + = 1 的离心率为 ,则 a=________. log a 8 9 2

14.已知直线 y = x + 1 与椭圆 mx 2 + ny 2 = 1 (m > n > 0) 相交于 A,B 两点,若弦 AB 的中点 的横坐标等于 ?

1 x2 y2 ,则双曲线 2 ? 2 = 1 的两条渐近线的夹角的正切值等于________. 3 m n
2

15.长为 l ( 0<l<1 ) 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y = x 上滑动,则线段 AB 中点 M 到 x 轴距离的最小值是________. 16.某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心 F 为焦点的椭圆,测得近地点 A 距离地面 m( km) , 远地点 B 距离地面 n( km) ,地球半径为 R ( km) ,关于这个椭圆有以下四种说法: ①焦距长为 n ? m ;②短轴长为 ( m + R )(n + R ) ;③离心率 e =

n?m ;④若以 AB 方 m + n + 2R 2(m + R )(n + R ) 向为 x 轴正方向,F 为坐标原点,则与 F 对应的准线方程为 x = ? ,其中正 ( n ? m)

确的序号为________. 三、解答题(共 44 分) 17. (本小题 10 分)已知椭圆的一个顶点为 A(0,-1) ,焦点在 x 轴上.若右焦点到直线

x ? y + 2 2 = 0 的距离为 3.
(1)求椭圆的方程; (2)设椭圆与直线 y = kx + m ( k ≠ 0) 相交于不同的两点 M、N.当 AM = AN 时,求 m 的 取值范围.

18. (本小题 10 分)双曲线

x2 y2 ? = 1 (a > 0, b > 0) 的右支上存在与右焦点和左准线等距 a2 b2
-3-

离的点,求离心率 e 的取值范围.

19.(本小题 12 分)如图,直线 l 与抛物线 y 2 = x 交于 A( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) 两点,与 x 轴 相交于点 M ,且 y1 y 2 = ?1 . (1)求证: M 点的坐标为 (1,0) ; (2)求证: OA ⊥ OB ; (3)求 ?AOB 的面积的最小值. x y

20. (本小题 12 分) 已知椭圆方程为 x +
2

y2 = 1 ,射线 y = 2 2 x(x≥0)与椭圆的交点为 M, 8

过 M 作倾斜角互补的两条直线,分别与椭圆交于 A、B 两点(异于 M) . (1)求证直线 AB 的斜率为定值; (2)求△ AMB 面积的最大值.

-4-

圆锥曲线单元检测答案 1. A 2.B 3 D 4 理 C 文 A 5 D 6 A 7 D 8A 9 理 B 文 B 10 D 11 B 12 B 13. 4 2 或 9 6 14.

4 3

15.

l2 4

16.①③④

17.(1)依题意可设椭圆方程为

x2 + y 2 = 1 ,则右焦点 F( a 2 ? 1,0 )由题设 a2
2

a2 ?1 + 2 2 2

=3

解得 a = 3

故所求椭圆的方程为

x2 + y2 = 1 . 3

x2 + y 2 = 1 ………………………………………………4 分. 3
? y = kx + m (2)设 P 为弦 MN 的中点,由 ? x 2 ? 2 ? + y =1 ?3

得 (3k 2 + 1) x 2 + 6mkx + 3( m 2 ? 1) = 0

由于直线与椭圆有两个交点,∴ ? > 0, 即 m < 3k + 1
2 2

①………………6 分

∴ xp =
∴ k Ap =
?

xM + xN 3mk =? 2 2 3k + 1
yp +1 xp =? m + 3k 2 + 1 3mk

从而 y p = kx p + m =

m 3k 2 + 1

又 AM = AN ,∴ AP ⊥ MN ,则

m + 3k 2 + 1 1 =? 3mk k

即 2m = 3k + 1
2 2

②…………………………8 分

把②代入①得 2m > m

解得 0 < m < 2

由②得

k2 =

2m ? 1 > 0 解得 3

m>

1 2

.故所求 m 的取范围是(

1 ,2 )……………………………………10 分 2

18.设 M ( x 0 , y 0 ) 是双曲线右支上满足条件的点,且它到右焦点 F2 的距离等于它到左准线的距 离 MN 2 ,即 MF2 = MN ,由双曲线定义可知
MF1 MN =e ∴ MF1 MF2 = e ……5 分

由焦点半径公式得

ex0 + a =e ex0 ? a
a (1 + e) ≥a e2 ? e

∴ x0 =

a (1 + e) …………………………7 分 e2 ? e e 2 ? 2e ? 1 ≤ 0
解 得 1?

而 x0 ≥ a





2 ≤ e ≤ 2 +1 但

e >1

∴1 < e ≤ 2 + 1 ……………………………………10 分

19. (1 ) 设 M 点的坐标为 ( x 0 ,0) , 直线 l 方程为 x = my + x 0 , 代入 y 2 = x 得

y 2 ? my ? x0 = 0



y1 , y 2 是此方程的两根,
-5-

∴ x0 = ? y1 y 2 = 1 ,即 M 点的坐标为(1, 0). (2 ) ∵ y1 y 2 = ?1 ∴ OA ⊥ OB . (3)由方程①, y1 + y 2 = m , y1 y 2 = ?1 , 且 | OM |= x 0 = 1 , 于是 S ?AOB = ∴ x1 x 2 + y1 y 2 = y1 y 2 + y1 y 2 = y1 y 2 ( y1 y 2 + 1) = 0
2 2

1 1 1 m 2 + 4 ≥1, ( y1 + y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 = | OM || y1 ? y 2 |= 2 2 2 ∴ 当 m = 0 时, ?AOB 的面积取最小值 1.
斜率 k 存在,不妨设 k>0,求出 M (

20.解析: (1)∵

2 ,2) .直线 MA 方程为 2

y ? 2 = k(x ?

2 2 ) ,直线 AB 方程为 y ? 2 = ?k ( x ? ). 2 2
2 k 2 + 4k 2 . ? 2 k +8 2

2 分别与椭圆方程联立,可解出 x A = 2 k2 ? 4k ? 2 , x B = k +8 2



y A ? y B k ( x A ? xB ) = =2 2. ∴ x A ? xB x A ? xB

k AB = 2 2 (定值) . y2 = 1 联立,消去 y 得 16 x 2 + 4 2mx 8

(2)设直线 AB 方程为 y = 2 2 x + m ,与 x +
2

+ (m 2 ? 8) = 0 .
由 ? > 0 得 ? 4 < m < 4 ,且 m ≠ 0 ,点 M 到 AB 的距离为 d = 设 ?AMB 的面积为 S . ∴

|m| . 3

1 1 2 1 16 2 | AB | 2 d 2 = m (16 ? m 2 ) ≤ ?( ) = 2 . 4 32 32 2 当 m = ±2 2 时,得 S max = 2 . S2 =

圆锥曲线课堂小测
时间:45 分钟 一、选择题(每小题 4 分共 24 分) 分数:60 分 命题人:郑玉亮

1. c ≠ 0 是方程 ax 2 + y 2 = c 表示椭圆或双曲线的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.不充分不必要条件





x2 y2 x2 y2 + = 1 共焦点,而与曲线 ? = 1 共渐近线的双曲线方程为 ( 2.与曲线 24 49 36 64



-6-

A.

y2 x2 ? =1 16 9

B.

x2 y2 ? =1 16 9

C.

y2 x2 ? =1 9 16

D.

x2 y2 ? =1 9 16

3.我国发射的“神舟 3 号”宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心 F2 为一个焦点的椭圆,近地 点 A 距地面为 m 千米,远地点 B 距地面为 n 千米,地球半径为 R 千米,则飞船运行轨道的短 轴长为( ) A. 2 ( m + R )( n + R ) C.mn 4.若椭圆 B. ( m + R )(n + R ) D.2mn

x2 x2 + y 2 = 1 (m > 1) 与双曲线 ? y 2 = 1 (n > 0) 有相同的焦点 F1、F2,P 是两曲 m n
( C.1 D. )

线的一个交点,则 ?F1 PF2 的面积是 A.4 B.2

1 2


5.圆心在抛物线 y 2 = 2 x 上,且与 x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是( A. x + y ? x ? 2 y ?
2 2

1 =0 4

B. x 2 + y 2 + x ? 2 y + 1 = 0 D. x + y ? x ? 2 y +
2 2

C. x 2 + y 2 ? x ? 2 y + 1 = 0

1 =0 4

6.已知双曲线

x2 y2 ? = 1 的离心率 e ∈ [ 2 , 2] .双曲线的两条渐近线构成的角中,以实轴 a2 b2
) . D. [

为角平分线的角记为 θ ,则 θ 的取值范围是(

π π A. [ , ] 6 2

π π B. [ , ] 3 2

π 2π C. [ , ] 2 3

2π ,π ] 3

二、填空题(每小题 4 分共 16 分) 7.若圆锥曲线

x2 y2 + = 1 的焦距与 k 无关,则它的焦点坐标是__________. k ?2 k +5

8.过抛物线 y 2 = 4 x 的焦点作直线与此抛物线交于 P,Q 两点,那么线段 PQ 中点的轨迹方 程是 .

x2 y2 y2 x2 ? 2 = 1 与 2 ? 2 = 1 (a>0,b>0)的四个顶点的四边形面积为 S1 , a2 b b a S 连结四个焦点的四边形的面积为 S 2 ,则 1 的最大值是________. S2
9.连结双曲线 10.对于椭圆

x2 y2 x2 y2 + = 1 和双曲线 ? = 1 有下列命题: 16 9 7 9

-7-

①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ③双曲线与椭圆共焦点; ④椭圆与双曲线有两个顶点相同. 其中正确命题的序号是 三、解答题(20 分)

.
2 2 2 2

且与双曲线 x ? y = 1 11. 本小题满分 10 分) ( 已知直线 l 与圆 x + y + 2 x = 0 相切于点 T, 相交于 A、B 两点.若 T 是线段 AB 的中点,求直线 l 的方程.

12. (10 分)已知椭圆

x2 y2 6 + 2 (a>b>0)的离心率 e = ,过点 A(0,?b) 和 B (a,0) 的直 2 a b 3

线与原点的距离为

3 . 2

(1)求椭圆的方程. (2)已知定点 E (?1,0) ,若直线 y = kx + 2 ( k ≠ 0) 与椭圆交于 C、D 两点.问:是否存在 k 的值,使以 CD 为直径的圆过 E 点?请说明理由.

-8-

参考答案
1 1 B 2 A 3 A 4 C 5 D 6 C 7. (0, ± 7 )8. y 2 = 2 x ? 2 9. 10.①② 2
11.解:直线 l 与 x 轴不平行,设 l 的方程为 x = ky + a 代入双曲线方程 整理得

(k 2 ? 1) y 2 + 2kay + a 2 ? 1 = 0

……………………3 分

而 k ?1 ≠ 0
2

,于是

yT =

y A + yB ak =? 2 2 k ?1
∴(

从而 xT = kyT + a = ?

a ak a 即 T( , ) ……5 分 2 k ?1 1? k 1? k 2
2

Q 点 T 在圆上
由圆心 O ′( ?1,0)

ak 2 a 2 2a ) +( ) + =0 2 2 1? k 1? k 1? k 2
得 k O′T ? k l = ?1

即k = a + 2
2


2

. O ′T ⊥ l

则 k =0

或 k = 2a + 1

当 k = 0 时,由①得 a = ?2,
2

∴ l 的方程为 x = ?2 ;

当 k = 2a + 1 时, 由①得 a = 1 K = ± 3 ,∴ l 的方程为 x = ± 3 y + 1 .故所求直线 l 的方程 为 x = ?2 或 x = ± 3 y + 1 …………………………10 分 12.解: (1)直线 AB 方程为: bx ? ay ? ab = 0 .

?c 6 , ? = 3 ?a 依题意 ? 3 ? ab = ? a 2 + b2 2 ?

解得

?a = 3 , ? ?b = 1

-9-

∴ 椭圆方程为

x2 + y2 = 1. 3

(2)假若存在这样的 k 值,由 ?

? y = kx + 2, ?x + 3 y ? 3 = 0
2 2

得 (1 + 3k ) x + 12kx + 9 = 0 .
2
2



? = (12k ) 2 ? 36(1 + 3k 2 ) > 0 .



12k ? x1 + x2 = ? , ? ? 1 + 3k 2 设 C (x1 , y1 ) 、 D (x2 , y2 ) ,则 ? ?x ? x = 9 ? 1 2 1 + 3k 2 ?
而 y1 ? y 2 = ( kx1 + 2)( kx 2 + 2) = k 2 x1 x 2 + 2k ( x1 + x 2 ) + 4 . 要使以 CD 为直径的圆过点 E(-1,0) ,当且仅当 CE⊥DE 时,则



y1 ? y2 = ?1 ,即 x1 + 1 x2 + 1

y1 y2 + ( x1 + 1)( x2 + 1) = 0 .


(k 2 + 1) x1 x 2 + 2(k + 1)( x1 + x 2 ) + 5 = 0 .
7 7 .经验证, k = ,使①成立. 6 6



将②式代入③整理解得 k = 综上可知,存在 k =

7 ,使得以 CD 为直径的圆过点 E. 6

- 10 -


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