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【走向高考】2015届高中数学二轮复习 专题5 解析几何(第2讲)课时作业 新人教A版


【走向高考】2015 届高中数学二轮复习 专题 5 解析几何(第 2 讲) 课时作业 新人教 A 版

一、选择题 x2 y2 1.已知方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围是( 2-k 2k-1 1 A.(2,2) 1 C.(1,2) D.(2,1) [答案] C [解析] 由题意可得,2k-1>2-k>0,

>? ?2k-1>2-k, 即? 解得 1<k<2,故选 C. ?2-k>0, ?

)

B.(1,+∞)

x2 y2 2.(文)(2014· 合肥市第一次质检)过双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的一个焦点作实轴的垂线,交 双曲线于 A、B 两点,若线段 AB 的长度恰等于焦距,则双曲线的离心率为( A. C. 5+1 10 B. 2 2 17+1 4 22 D. 4 )

[答案] A 2b2 1 5 1 [解析] 依题意得 a =2c,c2-ac-a2=0,即 e2-e-1=0,(e-2)2=4,又 e>1,因此 e-2 5+1 5 = 2 ,e= 2 ,故选 A. x2 y2 5 (理)(2013· 新课标Ⅰ理,4)已知双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0)的离心率为 2 ,则 C 的渐近线 方程为( 1 A.y=±4x 1 C.y=±2x [答案] C c 5 c2 5 [解析] e=a= 2 ∴a2=4 5 a2 ∴b2=4a2-a2= 4 b 1 1 ∴ a=2,即渐近线方程为 y=±2x. ) 1 B.y=±3x D.y=±x

-1-

3.(文)(2013· 湛江测试)从抛物线 y2=8x 上一点 P 引抛物线准线的垂线,垂足为 M,且|PM| =5,设抛物线的焦点为 F,则△PFM 的面积为( ) A.5 6 B.6 5 C.10 2 D.5 2 [答案] A [解析] 抛物线的焦点 F(2,0),准线方程为 x=-2.设 P(m,n),则|PM|=m+2=5,解得 m= 1 1 3.代入抛物线方程得 n2=24,故|n|=2 6,则 S△PFM=2|PM|· |n|=2×5×2 6=5 6. y2 (理)(2013· 德州模拟)设 F1、F2 分别是椭圆 E:x2+b2=1(0<b<1)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,则|AB|的长为( 2 A.3 B.1 4 5 C.3 D.3 [答案] C [解析] 由条件知,|AF2|+|BF2|=2|AB|, |AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2, 4 ∴|AB|+|AF2|+|BF2|=4,∴|AB|=3. 4. (2014· 河北名师名校俱乐部模拟)设抛物线 x2=8y 的焦点为 F, 准线为 l, P 为抛物线上一点, PA⊥l,A 为垂足,如果直线 AF 的倾斜角等于 60°,那么|PF|等于( ) A.2 3 B.4 3 8 C.3 D.4 [答案] C 8 3 [解析] 在△APF 中,|PA|=|PF|,|AF|sin60°=4,∴|AF|= 3 ,又∠PAF=∠PFA=30°,过 |BF| 2|AF| 8 P 作 PB⊥AF 于 B,则|PF|=cos30°=cos30°=3. 3 5.(文)(2013· 广东理,7)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0),离心率等于2,则 C 的 方程是( ) x2 y2 x2 y2 A. 4 - =1 B. 4 - 5 =1 5 x2 y2 x2 y2 C. 2 - 5 =1 D. 2 - =1 5 [答案] B 3 [解析] e=2,c=3,∴a=2,∴b2=c2-a2=5 x2 y2 即双曲线的标准方程为 4 - 5 =1. x2 y2 (理)(2013· 保定市二模)已知点 F1、F2 分别为双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 为双 )

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|PF2|2 曲线左支上的任意一点,若 |PF1| 的最小值为 9a,则双曲线的离心率为( A.2 B.5 C.3 D.2 或 5 [答案] B [解析] 由双曲线定义得|PF2|=2a+|PF1|,

)

+|PF1|? 2 |PF2|2 ? 2a 4a2 4a2 ∴ |PF1| = =|PF1|+|PF1|+4a, 其中|PF1|≥c-a.当 c-a≤2a 时, y=x+ x 在 |PF1| 4a2 [c-a,+∞)上为减函数,没有最小值,故 c-a>2a,即 c>3a?e>3,y=x+ x 在[c-a,+∞) 4a2 上为增函数,故 f(x)min=f(c-a)=c-a+ +4a=9a,化简得 10a2-7ac+c2=0,两边同除 c-a 以 a2 可得 e2-7a+10=0,解得 e=5 或 e=2(舍去). x2 y2 x2 y2 6.(2014· 新乡、许昌、平顶山二调)若双曲线 a - b =1(a>0,b>0)和椭圆 m + n =1(m>n>0)有 共同的焦点 F1、F2,P 是两条曲线的一个交点,则|PF1|· |PF2| ( A.m2-a2 1 C.2(m-a) [答案] D [解析] 不妨设 F1、 F2 分别为左、 右焦点, P 在双曲线的右支上, 由题意得|PF1|+|PF2|=2 m, |PF1|-|PF2|=2 a,∴|PF1|= m+ a,|PF2|= m- a,故|PF1|· |PF2|=m-a. 二、填空题 7.(2013· 安徽理,13)已知直线 y=a 交抛物线 y=x2 于 A、B 两点,若该抛物线上存在点 C, 使得∠ACB 为直角,则 a 的取值范围为________. [答案] a≥1 → [解析] 显然 a>0,不妨设 A( a,a),B(- a,a),C(x0,x2 0),则CB=(- a-x0,a-x2 0), → CA=( a-x0,a-x2 0),∵∠ACB=90°. → → ∴CA· CB=( a-x0,a-x2 0)· (- a-x0,a-x2 0)=0. ∴x2 0-a+(a-x2 0)2=0,则 x2 0-a≠0. ∴(a-x2 0)(a-x2 0-1)=0,∴a-x2 0-1=0. ∴x2 0=a-1,又 x2 0≥0. ∴a≥1. x2 y2 8. (2014· 长沙市模拟)设点 P 是双曲线a2-b2=1(a>0, b>0)与圆 x2+y2=a2+b2 在第一象限的 交点, 其中 F1、 F2 分别是双曲线的左、 右焦点, 且|PF1|=2|PF2|, 则双曲线的离心率为________. [答案] 5 [解析] 设|PF2|=m,则|PF1|=2m,|F1F2|= |PF1|2|PF2|2= 5m,因此双曲线的离心率 |F1F2| 为 = 5. |PF2|-|PF1| 9.(2014· 湖南理,15)如图,正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a、b(a<b),原点 O 为
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)

B. m- a D. (m-a)

b AD 的中点,抛物线 y2=2px(p>0)经过 C、F 两点,则a=________.

[答案]

2+1

a a [解析] 由题可得 C(2,-a),F(2+b,b), a2=pa, ? ? ∵C、F 在抛物线 y2=2px 上,∴? a b2=2p?2+b?, ? ? a ∴b= 2+1,故填 2+1. 三、解答题 10.(文)(2013· 厦门质检)已知双曲线的方程是 16x2-9y2=144. (1)求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程; (2)设 F1 和 F2 是双曲线的左、右焦点,点 P 在双曲线上,且|PF1|· |PF2|=32,求∠F1PF2 的大 小. x2 y2 [解析] (1)由 16x2-9y2=144 得 9 -16=1, ∴a=3,b=4,c=5, 5 4 ∴焦点坐标 F1(-5,0),F2(5,0),离心率 e=3,渐近线方程为 y=±3x. (2)由(1)知||PF1|-|PF2||=6, |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 cos∠F1PF2= 2|PF1||PF2| = = ? |PF1| -|PF2|? 2 +2|PF1||PF2|-|F1F2|2 2|PF1||PF2| 36+64-100 =0, 64

∵∠F1PF2∈(0,180°),∴∠F1PF2=90°. x2 y2 2 (理)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的离心率为 2 ,并且直线 y=x+b 是抛物线 y2=4x 的一条 切线. (1)求椭圆的方程; 1 (2)过点 S(0,-3)的动直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点 T, 使得以 AB 为直径的圆恒过点 T?若存在,求出点 T 的坐标;若不存在,请说明理由.
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?y=x+b, ? [解析] (1)由? 消去 y 得 x2+(2b-4)x+b2=0, ? ?y2=4x

因为直线 y=x+b 与抛物线 y2=4x 相切, 所以 Δ=(2b-4)2-4b2=0,解得 b=1. c 2 c2 a2-1 1 因为 e=a= 2 ,∴a2= a2 =2,∴a2=2. x2 故所求椭圆方程为 2 +y2=1. (2)当 l 与 x 轴平行时,以 AB 为直径的圆的方程为 1 4 x2+(y+3)2=(3)2. 当 l 与 y 轴平行时,以 AB 为直径的圆的方程为 x2+y2=1. 1 4 ? ?x=0, ?x2+? + y 3? 2 =?3? 2 , ? 由? 解得? ?y=1. ? ? ?x2+y2=1, 即两圆相切于点(0,1), 因此,所求的点 T 如果存在,只能是(0,1). 事实上,点 T(0,1)就是所求的点,证明如下: 当直线 l 垂直于 x 轴时,以 AB 为直径的圆过点 T(0,1). 1 若直线 l 不垂直于 x 轴,可设直线 l 的方程为 y=kx-3,

?y=kx-3, 由? x2 ? 2 +y2=1
1

消去 y 得(18k2+9)x2-12kx-16=0.

设点 A(x1,y1),B(x2,y2),

? ?x1+x2=18k2+9, 则? -16 x1x2= . ? ? 18k2+9
12k → → 又因为TA=(x1,y1-1),TB=(x2,y2-1), →→ 所以TA· TB=x1x2+(y1-1)(y2-1) 4 4 =x1x2+(kx1-3)(kx2-3) 4 16 =(1+k2)x1x2-3k(x1+x2)+ 9 -16 4 12k 16 =(1+k2)· -3k· + 9 =0, 18k2+9 18k2+9

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所以 TA⊥TB,即以 AB 为直径的圆恒过点 T(0,1), 所以在坐标平面上存在一个定点 T(0,1)满足条件.

一、选择题 11.(文)(2014· 唐山市一模)双曲线 x2-y2=4 左支上一点 P(a,b)到直线 y=x 的距离为 2, 则 a+b= ( ) A.-2 B.2 C.-4 D.4 [答案] A x2 y2 [解析] 解法 1:如图,双曲线 4 - 4 =1 的左顶点(-2,0)到直线 y=x 的距离为 2,又∵点(a, b)为双曲线左支上的点,∴a=-2,b=0,∴a+b=-2.

?a-b=-2, ? 解法 2:由题意得? ∴a+b=-2. ? ?a2-b2=4.

x2 y2 (理)已知点 F 是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过点 F 且垂 直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点,△ABE 是直角三角形,则该双曲线的离心率是( A.3 B.2 )

C. 2 D. 3 [答案] B [解析] 因为 AB⊥x 轴,又已知△ABE 是直角三角形,且显然 AE=BE,所以△ABE 是等腰直角 b2 三角形. 所以∠AEB=90°.所以∠AEF=45°.所以 AF=EF.易知 A(-c, a )(不妨设点 A 在 x 轴上方), b2 故 a =a+c.即 b2=a(a+c).得 c2-ax-2a2=0, 即 e2-e-2=0,解得 e=2,或 e=-1(舍去).故选 B. 12.直线 l 经过抛物线 y2=4x 的焦点,且与抛物线交于 A,B 两点,若 AB 的中点横坐标为 3, 则线段 AB 的长为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 [答案] D [解析] 焦点 F(1,0),设 l:x=my+1,代入 y2=4x 中得,y2-4my-4=0,∴y1+y2=4m, ∵AB 中点横坐标为 3,∴x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2=6,∴m=±1,当 m=1 时,l:y =x-1,代入 y2=4x 中得 x2-6x+1=0,∴x1=3-2 2,x2=3+2 2,∴|AB|= 2|x1-x2| =8,由对称性知 m=-1 时,结论相同.
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13.(文)已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点,焦点在 x 轴上, 左、 右焦点分别为 F1、 F2,且它们在第一象限的交点为 P,△PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形.若|PF1|=10,双 曲线的离心率的取值范围为(1,2).则该椭圆的离心率的取值范围是( ) 1 1 A.(3,2) 1 2 C.(3,5) 2 1 B.(5,2) 1 D.(2,1)

[答案] C [解析] 设椭圆的半焦距为 c,长半轴长为 a,由椭圆的定义及题意知,|PF1|=2a-|PF2|=2a c 5 10 -2c=10, 得到 a-c-5=0, 因为双曲线的离心率的取值范围为(1,2), 所以 1< <2, ∴2<c< 3 , 5 -c c c 5 1 5 2 1 ∵椭圆的离心率 e=a= =1- ,且3<1- <5,∴该椭圆的离心率的取值范围是(3, c+5 c+5 c+5 2 5). x2 y2 → → (理)已知 P 是椭圆25+b2=1,(0<b<5)上除顶点外的一点,F1 是椭圆的左焦点,若|OP+OF1| =8,则点 P 到该椭圆左焦点的距离为( A.6 B.4 C.2 5 D.2 )

[答案] C [解析] 如图,H 为 PF1 的中点,F2 为右焦点,

→ → 由|OF1+OP|=8 知,OH=4,∴PF2=8, ∴PF1=10-PF2=2,故选 C. 14.(文)(2014· 乌鲁木齐诊断)已知直线 y=k(x+2)(k>0)与抛物线 C:y2=8x 相交于 A、B 两点, F 为 C 的焦点,若|FA|=2|FB|,则 k 的值为( ) 1 2 A.3 B. 3 2 2 2 C.3 D. 3 [答案] D [解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1>0,x2>0, ∴|FA|=x1+2,|FB|=x2+2,∴x1+2=2x2+4, ∴x1=2x2+2.

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?y2=8x ? 由? ,得 k2x2+(4k2-8)x+4k2=0, ? x 2? ?y=k? +

8-4k2 8 ∴x1x2=4,x1+x2= k2 =k2-4.
? ?x1=2x2+2 由? ,得 x2 2+x2-2=0,∴x2=1,∴x1=4, ?x1x2=4 ?

8 8 2 3 ∴k2-4=5,∴k2=9,k= 3 . x2 y2 (理)(2014· 唐山市二模)已知椭圆 C1:a2+b2=1(a>b>0)与圆 C2:x2+y2=b2,若在椭圆 C1 上存在点 P,使得由点 P 所作的圆 C2 的两条切线互相垂直,则椭圆 C1 的离心率的取值范围是 ( ) 1 A.[2,1) 2 C.[ 2 ,1) 2 3 B.[ 2 , 2 ] 3 D.[ 2 ,1)

[答案] C [解析] 如图,设切点为 A、B,则 OA⊥PA,OB⊥PB,∵∠APB=90°,连结 OP,则∠APO=45°, c2 1 2 2 ∴AO=PA=b,OP= 2b,∴a≥ 2b,∴a2≤2c2,∴a2≥2,∴e≥ 2 ,又∵e<1,∴ 2 ≤e<1.

二、填空题 y2 15.(2014· 安徽理,14)若 F1、F2 分别是椭圆 E:x2+b2=1(0<b<1)的左、右焦点,过点 F1 的 直线交椭圆 E 于 A、B 两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x 轴,则椭圆 E 的方程为________. 3 [答案] x2+2y2=1 [解析] 如图,由题意,A 点横坐标为 c, y2 ∴c2+b2=1, 又 b2+c2=1,∴y2=b4,∴|AF2|=b2,

-8-

又∵|AF1|=3|BF1|, 5 1 ∴B 点坐标为(-3c,-3b2), ?-3b2? 2 ? 5 + =1, 代入椭圆方程得,??-3c? 2 b2 ?b2=1-c2, 1

?c2=3, ∴? 2 ?b2=3
1

3 方程为 x2+2y2=1.

三、解答题 16.(2013· 银川一中检测)抛物线 y2=4px(p>0)的准线与 x 轴交于点 M,过点 M 作直线 l 交抛物 线于 A、B 两点. (1)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于 N(x0,0),求证:x0>3p; (2)若直线 l 的斜率分别为 p,p2,p3,…时,相应线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点依次为 1 1 1 N1,N2,N3,…,当 0<p<1 时,求|N1N2|+|N2N3|+…+|N10N11|的值. [解析] (1)设直线 l 的方程为 y=k(x+p),代入 y2=4px 中消去 y 得, k2x2+(2k2p-4p)x+k2p2=0, Δ=4(k2p-2p)2-4k2· k2p2>0,得 0<k2<1. 2k2p-4p 4p 令 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 x1+x2=- k2 ,y1+y2=k(x1+x2+2p)=k2 , 2p-k2p 2p 2p-k2p 2p 1 AB 的中点坐标为( k2 , k ),AB 的垂直平分线方程为 y- k =-k (x- k2 ), k2p+2p 2p 令 y=0,得 x0= k2 =p+k2 , 由上可知 0<k2<1,∴x0>p+2p=3p,∴x0>3p. (2)∵l 的斜率分别为 p,p2,p3,…时,对应线段 AB 的中垂线与 x 轴交点依次为 N1,N2, N3,…(0<p<1), 2 ∴点 Nn 的坐标为(p+ ,0), p2n-1 2 ? + 2 ?-? p + ?? 那么|NnNn+1|= ? p p2n-1 p2n+1 ? ?

-9-

= 则

2? 1 -p2? , p2n+1 p2n+1 1 |= , |NnNn+1 2? 1 -p2?

1 1 1 1 ∴ |N1N2| + |N2N3| + … + |N10N11| = (p3 + p5 + … + p21) = 2? 1 -p2? p3[1-? p2? 10]p3? 1 -p20? 1 · = . 2? 1 -p2? 1-p2 2? 1 -p2? 2 x2 y2 17.(文)如图,椭圆a2+b2=1(a>b>0)的上、下顶点分别为 A、B,已知点 B 在直线 l:y=-1 3 上,且椭圆的离心率 e= 2 .

(1)求椭圆的标准方程; (2)设 P 是椭圆上异于 A、B 的任意一点,PQ⊥y 轴,Q 为垂足,M 为线段 PQ 的中点,直线 AM 交直线 l 于点 C,N 为线段 BC 的中点,求证:OM⊥MN. [解析] (1)依题意,得 b=1. c 3 ∵e=a= 2 ,a2-c2=b2=1,∴a2=4. x2 ∴椭圆的标准方程为 4 +y2=1. x2 0 (2)证明:设 P(x0,y0),x0≠0,则 Q(0,y0),且 4 +y2 0=1. x0 ∵M 为线段 PQ 中点,∴M( 2 ,y0). 2? y0 -1? 又 A(0,1),∴直线 AM 的方程为 y= x+1. x0 x0 ∵x0≠0,∴y0≠1,令 y=-1,得 C( ,-1). 1-y0 又 B(0,-1),N 为线段 BC 的中点, x0 ∴N( ,-1). 2? 1 -y0? x0 x0 → ∴NM=( 2 - ,y0+1). 2? 1 -y0? x0 → → x0 x0 ∴OM· NM= 2 ( 2 - )+y0· (y0+1) 2? 1 -y0? x2 0 =4- x2 0 +y2 0+y0 4? 1 -y0?

x2 0 x2 0 =( 4 +y2 0)- +y0=1-(1+y0)+y0=0, 4? 1 -y0?

- 10 -

∴OM⊥MN. x2 (理)已知椭圆 C:a2+y2=1(a>1)的上顶点为 A,右焦点为 F,直线 AF 与圆 M:(x-3)2+(y-1)2 =3 相切. (1)求椭圆 C 的方程; → → (2)若不过点 A 的动直线 l 与椭圆 C 交于 P、Q 两点,且AP· AQ=0.求证:直线 l 过定点,并求出 该定点的坐标. [解析] (1)A(0,1),F( a2-1,0), x 直线 AF: +y=1, a2-1 即 x+y a2-1- a2-1=0, ∵AF 与⊙M 相切,圆心 M(3,1),半径 r= 3, 3 ∴ = 3,∴a= 3, a2 x2 ∴椭圆的方程为 3 +y2=1. → → (2)由AP· AQ=0 知 AP⊥AQ,从而直线 AP 与坐标轴不垂直,故可设直线 AP 的方程为 y=kx+1, 1 直线 AQ 的方程为 y=-kx+1, 将 y=kx+1 代入椭圆 C 的方程, 整理得(1+3k2)x2+6kx=0, -6k 解得 x=0 或 x= , 1+3k2 -6k 1-3k2 故点 P 的坐标为( , ). 1+3k2 1+3k2 k2-3 6k 同理,点 Q 的坐标为( , ). k2+3 k2+3 k2-3 1-3k2 - k2+3 1+3k2 k2-1 所以直线 l 的斜率为 = 4k . -6k 6k - k2+3 1+3k2 k2-1 k2-3 6k 则直线 l 的方程为 y= 4k (x- )+ , k2+3 k2+3 k2-1 1 即 y= 4k x-2. 1 所以直线 l 过定点(0,-2).

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