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必修四⑦平面向量坐标表示


平面向量坐标表示
1、两个向量的夹角 (1)定义 已知两个非零向量 a 和 b ,作 OA ? a, OA ? b ,则∠AOB=θ 叫做向量 a 与 b 的夹角。 (2)范围 向量夹角θ 的范围是 0 ≤θ ≤180 , a 与 b 同向时,夹角θ =0 ; a 与 b 反向时,夹角θ =180 。 (3)向量垂直 如果向量 a 与 b 的夹角是 90 ,则 a 与

b 垂直,记作 a ⊥ b 。 注:在Δ ABC 中,设 AB ? a, BC ? b ,则向量 a 与 b 的夹角为∠ABC 是否正确?(答: 不正确。求两向量的夹角时,两向量起点应相同,向量 a 与 b 的夹角为π -∠ABC) 。 2、平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理 定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a , 有且只有一对实数 ?1 , ?2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 。 其中,不共线的向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。 (2)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解。 (3)平面向量的坐标表示 ①在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i, j 作为基底, 对于平面内的一个向量 a ,有且只有一实数 x,y,使 a ? xi ? y j ,把有序数对(x,y)叫做向 量 a 的坐标,记作 a =(x,y),其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标,y 叫做 a 在 y 轴上的坐标。 ②设 OA ? xi ? y j ,则向量 OA 的坐标(x,y)就是终点 A 的坐标,即若 OA =(x,y) , 则 A 点坐标为(x,y) ,反之亦成立。 为坐标原点) (O 方法提示:平面向量基本定理应用时的注意点
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①向量共线的充要条件中要注意

,否则λ 可能不存在,也可能有无数个;

②应用平面向量基本定理时注意待定系数法和方程思想的运用; ③利用向量共线证明平面几何中点共线或直线平行时注意强调平面中这些元素的位置 关系。 3、平面向量的坐标运算 (1)加法、减法、数乘运算 向量 坐标

? a
(x1,y1)

? b
(x2,y2)

? ? a +b
(x1+x2, y1+ y2)

? ? a -b
(x1-x2, y1-y2)

λ a (λ x1,λ y1)

?

(2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标; ②已知 A(x1,y1) ,B(x2,y2),则 AB =(x2-x1,y2-y1) ,即一个向量的坐标等于该向 量终点的坐标减去始点的坐标。 (3)平面向量共线的坐标表示 设 a =(x1,y1) b =(x2,y2),其中 b ≠0,则 a 与 b 共线 ? a =λ b ? x1y2- x2y1=0。 ,

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注:a = (x1,y1) b =(x2,y2), 则 a // b 的充要条件不能写成 , , 有可能为 0,故应表示成 x1y2- x2y1=0。

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, 因为 x2,y2

题型分析
(一)平面向量基本定理及其应用 ※相关链接※ 1、以平面内任意两个不共线的向量为一组基底,该平面内的任意一个向量都可表示成 这组基底的线性组合,基底不同,表示也不同; 2、对于两个向量 a , b ,将它们用同一组基底表示,我们可通过分析这两个表示式的 关系,来反映 a 与 b 的关系; 3、利用已知向量表示未知向量,实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量 的加减运算或进行数乘运算。 注:由于基底向量不共线,所以 0 不能作为一个基底向量。

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※例题解析※

〖例〗如图:

在平行四边形 ABCD 中,M,N 分别为 DC,BC 的

???? ? ???? ? ? ? ? ? ? ??? ???? ? 中点,已知 AM ? c, AN ? d , 试用 c, d 表示 AB, AD 。
思路解析:直接用 c, d 表示 AB, AD 有难度,可换一个角度,由 AB, AD 表示 AM ,

? ? ?

??? ???? ?

??? ???? ?

???? ?

???? ??? ???? ? AN ,进而解方程组可求 AB, AD 。
解答:方法一:设 AB ? a, AD ? b ,则

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? ???? ??? ? ? ? 1? a ? AN ? NB ? d ? (? b)…… ① 2 ? ???? ???? ? ? ? 1? b ? AM ? MD ? c ? (? a)…… ② 2 ? ? ? ? 4? 2? ? 1 ? 1? 将②代入①得 a ? d ? (? )[c ? (? a)] ? a ? d ? c, 代入② 2 2 3 3 ? ? ? ? 1 4? 2? 4? 2? 得 b ? c ? (? )( d ? c) ? c ? d 2 3 3 3 3 ??? ? ???? ? ? ???? 1 ? ???? 1 ? ? 方法二:设 AB ? a, AD ? b 因 M,N 分别为 CD,BC 中点,所以 BN ? b, DM ? a, 2 2
? ?? 2 ? ? ?? ? 1 ? a ? (2d ? c) c ?b? a ? ? ? ? 3 2 ? ?? 因而 ? ? ? 1? ? ? , 2 ? ? ?d ? a ? b ?b ? (2c ? d ) ? ? ? 2 3 ?
即 AB ?

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? ? 2 ? ? ???? 2 ? ? (2d ? c), AD ? (2c ? d ). 3 3

(二)平面向量的坐标运算 ※相关链接※ 1、向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的 坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用; 2、利用向量的坐标运算解题。主要是根据相等的向量坐标相同这一原则,通过列方程 (组)进行求解; 3、利用坐标运算求向量的基底表示,一般先求出基底向量和被表示向量的坐标,再用 待定系数法求出线性系数;

4、向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实现了向量运算完全代 数化, 将数与形紧密结合起来, 就可以使得很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算。 ※例题解析※ 〖例〗 已知 A (-2, , 4) B (3, , -1) C (-3, 。 AB ? a, BC ? b, 且 CM ? 3c, CN ? ?2b, -4) 设 求: (1) 3a ? b ? 3c; (2)满足 a ? mb ? nc 的实数 m,n; (3)M、N 的坐标及向量 MN 的坐标。 思路解析:利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点、终点坐标的关系求解。 解答:由已知得 a ? (5, ?5), b ? (?6, ?3), c ? (1,8). (1) 3a ? b ? 3c =3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6, -42) (2)∵ mb ? nc ? (?6m ? n, ?3m ? 8n) ? (5, ?5), ∴?

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??6m ? n ? 5 ?m ? ?1 , 解得 ? ??3m ? 8n ? ?5 ?n ? ?1

c 3, 4) (0,20) 3 (3)∵ CM ?OM ?OC ? c ,∴ OM ? 3 ?OC ? (3,24) ?( ? ? ? b C 1 ,6 ( ? ? 9 , , ) ,2 (0, 20) 又∵ CN ? ON ? OC ? ?2b , O ?? 2 ?O ? ( 2 ) ? 3 4 (? ) ∴ N
(9,2) 。∴ MN ? (9, ?18) 。 (三)平面向量共线的坐标表示 ※相关链接※ 1、凡遇到与平行有关的问题时,一般地要考虑运用向量平行的充要条件;

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。∴M ∴N

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2、向量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法,也为点共线、线 平行问题的处理提供了容易操作的方法。 解题时要注意共线向量定理的坐标表示本身具有公 式特征,应学会利用这一点来构造函数和方程,以便用函数与方程的思想解题。 ※例题解析※ 〖例〗已知 a ? (1, 2), b ? ( ?3, 2), 当 k 为何值时, ka ? b 与 a ? 3b 平行;平行时它们是

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同向还是反向? 思路解析:将 ka ? b 用坐标表示 ? 将 a ? 3b 用坐标表示 ? 应用共线向量的充要条件 求 k ? 把 k 代入向量判断结果。 解答:∵ ka ? b =k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2) a ? 3b =(1,2)-3(-3,2) ,

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1 。故 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1? ? 1 ? ? 当 k= ? 时, k a ? b 与 a ? 3b 平行。此时 ka ? b = ? a ? b ? ? (a ? 3b) ,∴ k a ? b 与 3 3 3 ? ? a ? 3b 反向。
=(10,-4) ,∴ ka ? b 与 a ? 3b 平行等价于(k-3) (-4)-10(2k+2)=0,解得 k= ? 注: 向量平行的坐标公式裨是把向量问题转化为实数的运算。 通过坐标公式建立参数的 方程,通过解方程或方程组求得参数,充分体现了方程思想在向量中的应用。 (四)向量与其他知识的综合 〖例〗已知向量 u ? ( x, y ) 现向量 v ? ( y, 2 y ? x) 的对应关系用 v ? f (u ) 表示。 (1)设 a ? (1,1), b ? (1,0) ,求向量 f ( a ) 与 f (b ) 的坐标; (2)求使 f (c) ? ( p, q)( p、q为常数)的向量c的坐标;

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b (3)证明:对任意的向量 a、 及常数 m,n 恒有 f (ma ? nb) ? mf (a) ? nf (b) 成立。
思路解析:本题关键是找出“函数” v ? f (u ) 的对应关系,此处的变量为向量的坐标, 因此,可通过坐标运算来解决问题。 解 答 : ( 1 )

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? a ? (1,1),? f (a) ? (1, 2 ?1 ? 1) ? (1,1)



? b ? (1, 0),? f (b) ? (0, 2 ? 0 ? 1) ? (0, ?1).

? ? ?y ? p ?x ? 2 p ? q 设c ? ( x, y), 则f (c) ? ( y, 2 y ? x) ? ( p, q),? ? ,? ? , (2) ?2 y ? x ? q ? y ? p ? c ? (2 p ? q, p)
(3)

? ? ? ? 设a ? (a1 , a2 ), b ? (b1 , b2 ), 则ma ? nb ? (ma1 ? nb1 , ma2 ? nb2 ), ? ? ? ? ? f (ma ? nb) ? (ma2 ? nb2 , 2ma2 ? 2nb2 ? ma1 ? nb1 ).? mf (a) ? m(a2 , 2a2 ? a1 ), nf (b) ? (b2 , 2b2 ? b1 ), ? ? ? ? ? ? ? mf (a) ? nf (b) ? (ma2 ? nb2 , 2ma2 ? 2nb2 ? ma1 ? nb1 ),? f (ma ? nb) ? mf (a) ? nf (b).
注:对于信息处理题应注意以下几点:

①认真领会题中所给信息(注意概念的内涵与外延) ; ②将所得到的信息,应用于题目中去,即解决实际问题(当然注意条件与结论,往往是 三段论推理) 。


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