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椭圆及其标准方程教学设计(1)


《椭圆及其标准方程》教学设计
胥娟 一、教材及学情分析 1. 《椭圆及其标准方程》是高中数学选修 1-1(人教版)2.1.1 中的内容,分三课时完成. 第 一课时讲解椭圆的定义及其标准方程;第二课时讲解运用椭圆的定义及其标准方程解题,巩固求 曲线方程的两种基本方法,即待定系数法、定义法;第三课时讲解运用中间变量法求动点轨迹方 程的基本思路。 本节是第一课时. 2.本节内

容是继学生学习了直线和圆的方程,对曲线的方程的概念有了一定了解,对用坐 标法研究几何问题有了初步认识的基础上,进一步学习用坐标法学习曲线。 椭圆的学习可以为 后面学习双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础. 因此这节课有承前启后的作用,是本章和本 节的重点内容之一。 3.运用多媒体形象地给出椭圆,通过让学生自已动手作图, “定性”地画出椭圆,再通过坐 标法“定量”地描述椭圆,使之从感性到理性抽象概括,形式概念,推出方程。 二、教学目标分析 1. 知识与技能目标: 掌握椭圆的定义和标准方程;明确焦点、焦距的概念;理解椭圆标准方程的推导。 2. 过程与方法目标: 通过让学生积极参与、 亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程; 体验坐标法在处理几何问 题中的优越性,从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想,提高运用坐标法解决几何 问题的能力及运算能力。 3. 情感态度与价值观目标: 通过主动探究、合作学习,相互交流,感受探索的乐趣与成功的喜悦,养成实事求是的科学 态度和契而不舍的钻研精神。 三、学习者特征分析 1.在此之前,学生已学过坐标法解决几何问题,学过圆的定义与标准方程,但掌握不够, 2.从研究圆到研究椭圆,跨度较大,学生思维上存在障碍. 3.在求椭圆标准方程时,会遇到比较复杂的根式化简问题,而这些在目前初中代数中都没 有详细介绍,初中代数不能完全满足学习本节的需要。 4.该班学生是高二文科生,数学基础整体较差。 5.经过近一学期的引导、鼓励,学生学习数学的积极性较高。 点评:对学习者知识基础、运算能力、学习兴趣和认知特征分析较到位,能和相应的教学方 法激发学生的兴趣、锻炼提高运算能力和学生学习过程的积极性。 四、教学策略选择与设计 1、教法设计:采用启发式教学,在课堂教学中坚持以教师为主导,学生为主体,思维训练为 主线,能力培养为主攻的原则。 2、学法设计:自主探究,合作交流 要求学生动手实验,自主探究,合作交流,抽象出椭圆定义,并用坐标法探究椭圆的标准方 程,使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。 3、教学手段:多媒体辅助教学. 通过动态演示,有利于引起学生的学习兴趣,激发学生的学习热情,增大知识信息的容量, 使内容充实、形象、直观,提高教学效率和教学质量. 点评:本节课的引入采用神州 7 号围绕地球旋转的壮观图片,一下子就把学生的注意力吸引 住了,在创设情境,引发动机方面起到很好的效果。 五、教学资源与工具设计 1.多媒体教室
1

2.每个学生准备一段细线、两枚大头针或图钉 3.上网搜索有关神舟系列火箭运行轨迹图 五、教学程序 (一) 创设情景,提出课题 Ppt 图片(神舟 [问一] “神舟 7 号”围绕地球运行轨迹是什么图形? (二) 自主探究,形成概念 [问二] 动点按照某种规律运动形成的轨迹叫曲线,那么椭圆是满足什么条件的轨迹呢? 教师引导:要想知道椭圆是满足什么条件的点的轨迹,首先要知道椭圆的画法。于是让学生 拿出课前准备好的一块纸板,一段细绳,两枚图钉,按课本上介绍的方法,同桌间相互磋商、动 手绘图,教师巡视,并抽已完成的两位同学在黑板上用准备好的工具演示,使学生尝试到成功的 喜悦.。教师进一步启发引导学生讨论,得出“到两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹是椭 圆” [思考] 1. 在纸板上作图说明了什么? 2. 在绳长 (设为 2 a )不变的条件下, (1)当两个图钉重合在一点时,画出的图形是什么? (2)改变两个图钉之间的距离,画出的图形是什么? (3)当两个图钉之间的距离等于绳长时,画出的图形是什么? (4)当两图钉固定,能使绳长小于两图钉之间的距离吗?能画出图形吗? 3.学生自己概括椭圆定义. 定义 平面内与两个定点 F1 、F2 的距离的和等于常数(大于 |F1 F2 | )的点的轨迹叫做 椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 在归纳定义时,再次强调定义要满足三个条件:①平面内(这是大前提) ;②任意一点到两 个定点的距离的和等于常数;③常数大于 |F1 F2 |. (三) 师生互动,导出方程 给出椭圆的定义后, 教师即可指出: 由椭圆定义, 知道了它的基本几何特征, 这只是一种 “定 性”的描述,但是对于这种曲线还具有哪些性质,尚需进一步研究. 根据解析几何的基本思想方 法,我们需要利用坐标法先建立椭圆的方程“定量”的描述,然后通过对椭圆的方程的讨论,来 研究其几何性质. [问三] 1. 求曲线方程的一般步骤是什么? 2. 建立坐标系的一般原则有哪些? 学生围绕以上问题思考,讨论可得:求曲线方程的一般步骤——建系、设点、写出点集、列 出方程、化简方程、证明(可省略). 建系的一般原则为:使已知点的坐标和曲线的方程尽可能 简单,即原点取在定点或定线段的中点,坐标轴取在定直线上或图形的对称轴上,充分利用图形 的对称性. [问四] 怎样建立坐标系,才能使求 出的椭圆方程最为简单? 通过前面知识的回忆,学生思考、 相互交流,很容易选定下列建立坐标系 的方案. 1. 建系:以两定点 F1 、F2 的 连线为 x 轴,以线段 F1 F2 的垂直平 分线为 y 轴,建立坐标系,如图 1 2. 设点:
2

设 M ( x , y ) 为椭圆上任意一点,| F1 F2 | = 2 c (c>0) ,则有 F1(-c, 0) 、F2 (c ,0). 又设 M 与 F1 和 F2 的距离的和等于常数 2 a ( a > 0 ) .
2 2 2 2 3、列出方程 ( x ? c) ? y ? (x ? c) ? y ? 2a

到此为止,学生以为椭圆的方程已求出,此时教师可以指出:为了更进一步利用方程探讨椭 圆的其他性质需要尽量简化方程形式,使数量关系更加明朗化. 4. 化简方程:学生对含有两个根式之和的等式进行化简有一定困难,采用以下方法突破难 点:首先让学生明确,含根号的等式化简的目的就是要去掉根号,变无理式为有理式;启发学生, 化简含两个根式之和的等式,只要将两个根式分别放在等号两边,其中一边只含一个根式,平方 一次后即可转化为只含一个根式的化简问题. 2 2 2 2 2 2 2 2 教师引导学生化简,得到 (a - c ) x + a y = a (a - c ) . 指出:此方 程形式还不够简捷,还有变形的必要再简化。 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 先简化 a -c ,∵a>c,∴a -c >0,令 a -c =b ,则方程化为 b x +a y =a b ,联想到直线截距式 方程,两边同除以 a b 得,
2 2

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0) a2 b2

指出:方程

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)叫做椭圆的标 a2 b2

准方程,此时,椭圆的焦点在 x 轴上,F1(-c,0) 2 2 2 F2(c,0),这里,c =a -b [问 五] 如果焦点 F1 、F2 在 y 轴上,并且 点 O 与线段 F1 F2 的中点重合,a、b、c 的意义同上, 椭圆的方程形式又如何呢? 学生互相讨论,交流,合情猜想,动手验证可得

y2 x2 ? ? 1 (a>b>0) a2 b2
指出:

y2 x2 ? ? 1(a>b>0) 叫做椭圆的标准方程, a2 b2
2 2 2

此时,椭圆的焦点在 y 轴上,F1(0,-c),F2(0,c),这里,c =a -b 为了加深对椭圆的两种标准方程的理解, 比较椭圆的两种标准方程,填表. (学生讨论回 答,教师板书) 标准方程 不 同 点

图形

焦点坐标 共 同 点 定义 a、b、c 的关系 焦点位置的判定 (四) 初步运用,强化理解
3

例 题 2 2 1. 判定下列椭圆的焦点在哪个轴上,并指明 a ,b 和焦点坐标. (1)

x2 y2 ? ?1 25 16
2 2

(2)

x2 y2 ? ?1 m2 m2 ? 1

2.椭圆 2x -3y =1 焦点坐标为 3.椭圆 为 是

x2 y2 ? ?1 的 焦 距 是 9 25

,焦点坐标

;若 AB 是过下焦点 F1 的弦,则△F1AB 的周长

图3 (五) 自我评价,反馈调节 1.椭圆

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 6,则点 P 到另一个焦点 F2 的距离是 64 9


2.动点 P 到定点 F1(-5,0) ,F2(5,0)的距离的和是 10,则动点 P 的轨迹为( (A)椭圆 (B) 线段 F1F2 (C) 直线 F1F2 (D)不能确定
2 2 3.简化方程: x ? ( y ? 3) ?
2 2

x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 10

4.椭圆 mx +ny =-mn (m<n<0)的焦点坐标是 (学生分组比赛,每组抽 2 位同学的作业用幻灯演示,教师订正。 (六) 知识整理,形成系统(由学生归纳,教师完善) 1. 椭圆的定义(注意定义中的三个条件) 2. 椭圆的标准方程(注意焦点的位置与方程形式的关系) 3. 解析几何的基本思想 (七)布置作业,巩固提高(学有余力的学生全做,其余学生不做探究题) 1. 课本习题 p36 练习第 1 、2、3 题 2. 课后探究题:将推导椭圆方程过程中得到的方程 a - cx=a
2

( x ? c) 2 ? y 2 变形为

( x ? c) 2 ? y 2 a ?x c
2

?

c 后观察式子的几何意义,提出合理猜想。 a

点评:从“神舟 7 号”围绕地球运行轨迹入题,层层提问,师生互动,重视对学生思维过程 的引导和启发,问题设置循序渐进,顺其自然,教学过程体现先行组织者的作用。讲练结合,注 重过程性的教学评价,教学过程能激发学生的学习积极性,能调动学生突破教学重难点。 五、课后反思 本节课围绕“层层设问 自主探索 发现规律 归纳总结”这一主线展开, 对教材内容进行优化组合,在教学过程中,学生通过观看图片,动手实践,自己总结出椭圆定义, 符合从感性上升为理性的认知规律,而且提升了抽象概括的能力. 同时在进行推导椭圆的标准方
4

程的过程中, 提高了利用坐标法解决几何问题的能力及运算能力. 在整节课中, 教师作为引导者, 利用“神舟 7 号”围绕地球运行轨迹的演示,激发学生学习数学的兴趣,鼓励学生大胆探索 , 勇于创新,提高学生参与数学活动的兴趣和积极性,同时设置了不同层次的知识面,以适应不同 学生的认知过程.增强了学生的自信心,基本体现了新课标中让学生自主学习的教学理念.

5

附 1:教学过程流程图 开始

附 2:课件结构图

创建情景提出课题

创设情景, 提 出课题 自主探究, 形成概念

自主探究形成概念

师生互动导出方程

初步应用强化理解

师生互动,导出 方程

自我评价反馈调节

初步运用, 强化理 解

知识整理形成系统

布置作业巩固提高

自我评价,反 馈调节

知识整理,形 成系统

布置作业,巩固 提高
结束 附件 3:教学评价内容设计 1、评价内容:课堂表现评价、学习效果评价 2.评价方式: 课堂表现评价采用教师依据学生学习态度、 积极参与、 认真听课、 完成课堂练习等进行定性评价, 分优秀、良好、合格、有待提高四个等级,比例为 2:3:4:1 学习效果评价采用课堂学习效果评价+作业方式评价,内容有画图(定性)课堂练习、课后作业 (定量,根据完成情况及正确程度评分,满分 10 分)课后探究(定性)等 点评:本环节是对本课进行一个总结回顾,从而让学生对所学的知识技能有一个归纳总结

6

附件 4

教学设计成果评价量表 等级

一级指标

分值

二级指标 说明学科、年级、教材版本,学习的内 容和本节课的价值及重要性 从学生角度确定教学目标,目标阐述清 楚、具体,可评价

优 5 5

良 3~4 3~4

中 2 2

一 般 0~1 0~1

概述

5

学习目标 分析

15

结合新课程标准,知识、技能、过程和 情感体验并重,重视学生多元智能和创 造性思维的培养 处理好课标要求和拓展之间的关系 分析学习者起点能力,包括认知能力特 征分析、认知结构分析、特定的知识和 能力基础特征分析 分析学习者的学习态度、学习动机和学 习风格 有创新,符合学科特点、能激发学生的 兴趣,符合学生的年龄特征

5 5 5

3~4 3~4 3~4

2 2 2

0~1 0~1 0~1

学习者特 征分析

10

5 5 5 5 5

3~4 3~4 3~4 3~4 3~4

2 2 2 2 2

0~1 0~1 0~1 0~1 0~1

教学策略 分析

15

教学方法和策略可操作性强,便于实施 目的明确、阐述清晰 媒体容易获得,媒体选择与设计符合学 习者特征和教学的要求 教法上有创新,能激发学生的兴趣,符 合学生的年龄特征,有利于学生的学习 以及高级思维能力的培养

媒体的选 择与设计

5

5

3~4

2

0~1

教学过程 设计

20

方案简单可实施,对教学环境和技术的 要求不高,可复制性强 各个教学环节描述清晰,能反映教学策 略以及师生的活动 格式规范

5 5 5 5 5 5 5 5 5

3~4 3~4 3~4 3~4 3~4 3~4 3~4 3~4 3~4

2 2 2 2 2 2 2 2 2

0~1 0~1 0~1 0~1 0~1 0~1 0~1 0~1 0~1

教学评价

10

注重形成性评价 有明确的评价标准,提供了评价工具 资源符合学习者的特征、有利于主题的 表达和目标的教学

教学资源

20

资源内容丰富,并且正确、科学 表现形式合理,简洁明了、具有很强的 表现力 尊重知识产权,说明资源来源和出处

7


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