当前位置:首页 >> 数学 >>

【解析】浙江省杭州二中2015届高三年级第二次月考数学文试题


杭州二中 2014 学年高三年级第二次月考 数学试卷(文科) 命题:胡克元 审核:黄宗巧 校对:李 鸽 【试卷综析】本试卷是高三文科试卷,以基础知识和基本技能为载体,以能力测试为主导,在注重考查学 科核心知识的同时,突出考查考纲要求的基本能力,重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常 规、注重主干知识,兼顾覆盖面.试题重点考查:集合、不等式、向量、三视图、导数、简单的线性

规划、 直线与圆、数列、充要条件等;考查学生解决实际问题的综合能力,是份较好的试卷. 第 I 卷(共 50 分) 【题文】一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 21cnjy.com
- x 【题文】1、若集合 M = { y | y = 2 } , P = { y | y =

x - 1} ,则 M

P=

A. { y | y ? 1}

B. { y | y ? 1}

C. { y | y ? 0}

D. { y | y ? 0}

【知识点】集合的运算 A1 【答案】【解析】C 解析:因为集合

M ? ? y y ? 0? , P ? ? y y ? 0?

,所以

M ? P ? ? y y ? 0?

,故选择 C.

【思路点拨】先求得集合 M,P,然后利用交集的定义可求得 M ? P 的值. 【题文】2、实数等比数列

?a n ?中, a1 ? 0 ,则“ a1 ? a4 ”是“ a3 ? a5 ”



A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 【知识点】等比数列性质 充分必要条件 A2 D3 【答案】 【解析】 A 解析: 设等比数列的公比为 , 由 由

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3 a1 ? a4 得 a1 ? a1q3 , a ?0, 因为 1 所以 q ? 1 , 即 q ? 1,

q

a 3 ? a5



a1q 2 ? a1q 4 ,因为 a1 ? 0 ,所以 q2 ? 1 即 q ? ?1或q ? 1 ,所以“ a1 ? a 4 ”是“ a3 ? a5 ” 的充分

而不必要条件,故选择 A. 21*cnjy*com 【思路点拨】结合等比数列的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【题文】3、已知圆 C : x ? y ? 2 x ? 1 ,直线 l : y ? k ( x ? 1) ? 1 ,则与 C 的位置关系是
2 2

A.一定相离 B..一定相切 C.相交且一定不过圆心 【知识点】直线与与圆的位置关系 H4 【答案】【解析】C 解析:因为直线恒过点 心坐标为

D.相交且可能过圆心[

?1,1? ,且该点在圆的内部,所以直线与圆相交,又因为圆的圆
【来源:21cnj*y.co*m】

?1,0? ,直线的斜率存在所以直线不能过圆心,故选择 C.

【思路点拨】根据直线恒过点在圆的内部,可得直线与圆相交,又因为直线恒过的点与圆心在一条斜率不 存在的直线上,而直线斜率存在,所以不过圆心.21*cnjy*com 【题文】4、已知实数等比数列 成等差数列,则 q 等于 A .错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 B.1 C .错误!未找到引用源。或 1
3

?a n ?公比为 q ,其前 n 项和为 Sn ,若 S3 、 S9 、 S6 错误!未找到引用源。

【知识点】等差数列的性质 等比数列前 n 项和 D2 D3 【答案】【解析】A 解析:因为

S3 、 S9 、 S6 错误!未找到引用源。成等差数列,所以 2S9 ? S3 ? S6 ,若

2S ? S3 ? S6 ,所以 q ? 1 ,当 q ? 1 时,可得 公比 q ? 1 , 9
q??
得:

2

a1 ?1 ? q9 ? 1? q

?

a1 ?1 ? q3 ? 1? q

?

a1 ?1 ? q 6 ? 1? q
,整理可

1 2 ,故选择 A.

【思路点拨】根据等差数列的性质列的

2S9 ? S3 ? S6 ,当公比 q ? 1 ,等式不成立,当 q ? 1 时,再根据等

比数列的求和公式进行化简即可得到,【版权所有:21 教育】

【题文】5、已知 x 、 y 满足

?y ? x ? ?x ? y ? 2 ?x ? a ?
1 B. 4

,且 z ? 2 x ? y 的最大值是最小值的 4 倍,则 a 的值是

3 A. 4
【知识点】线性规划 E5

2 C. 11

D. 4

【答案】【解析】B 解析:画出

x, y 满足

?y ? x ? ?x ? y ? 2 ?x ? a ?

的可行域如下图:

? y=x ?x ? a ? ? x ? y=2 ,得 A ?1,1? ,由 ? y ? x ,得 B ? a,a ? , 由 ?
当直线 z ? 2 x ? y 过点 当直线 z ? 2 x ? y 过点

A ?1,1?

时,目标函数 z ? 2 x ? y 取得最大值,最大值为 3; 时,目标函数 z ? 2 x ? y 取得最小值,最小值为 3a;

B ? a,a ?
a?

由条件得 3 ? 4 ? 3a, 所以

1 4 ,故选择 B.

【思路点拨】由题意可得先作出不等式表示的 平面区域,由 z ? 2 x ? y 可得 y ? ?2 x ? z ,则 z 表示直线

y ? ?2 x ? z 在 y 轴上的截距,截距越大, z 越大,可求 z 的最大值与最小值,即可求解 a.
S65 S25 S ? ? 5, 45 ? 25 ? an ? S a a a n 43 23 33 【题文】6、等差数列 前 n 项和为 ,已知 ,则
A.125 B.85 C.45 【知识点】等差数列前 n 项和 D2 D.35

S25 S ? 5, 45 ? 25 S ? ? 2n ?1? an a a33 【答案】【解析】C 解析:根据等差数列前 n 项和的性质可得 2n?1 ,所以 23 ,

a13 1 a 23 5 a33 5 ? 4 9 S65 a 9 ? , ? , ? ? ? 65 33 ? 65 ? 45 a 5 a33 9 根据合比定理可得: a43 9 ? 4 13 ,所以 a43 a43 13 可得 23 ,故选择
C.

a13 1 a23 5 ? , ? , S2n?1 ? ? 2n ?1? an a 5 a 9 根据合比定理 23 33 【思路点拨】根据等差数列前 n 项和的性质可得 ,可得 a33 5 ? 4 9 ? ? a 9 ? 4 13 ,即可求得. 可得: 43
1 9 1 1 ? ? ?1 【题文】7、若正数 a,b 满足 a b ,则 a ? 1 b ? 1 的最小值
A.1 B.6 C.9 【知识点】基本不等式 E6 D.16

a 1 1 >0 ? ? 1 ? b= 1, 同理 b>1 , a ?1 【答案】【解析】B 解析:∵ 正数 a,b 满足 a b , ,解得 a>

1 9 1 9 1 1 ? ? ? ? ? 9 ? a ? 1? ? 2 .9 ? a ? 1? ? 6 1 a a ?1 b ?1 a ?1 a ? 1 a ? 1 ? 9 ? a ? 1? ?1 a ?1 所以 ,当且仅当 a ? 1 ,
a?


4 3 等号成立,所以最小值为 6.故选择 B.

b=
【 思 路 点 拨 】 根 据 已 知 可 得

a 1 9 >0 ? a ?1 , 代 入 a ?1 b ?1 , 整 理 可 得

1 1 ? 9 ? a ? 1? ? 2 .9 ? a ? 1? ? 6 a ?1 a ?1 ,可得结果.
【题文】8、已知

F1 , F2 分别是椭圆的左,右焦点,现以 F2 为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于

点 M , N ,若过 F1 的直线

MF1 是圆 F2 的切线,则椭圆的离心率为 21 世纪教育网版权所有
2 C. 2 3 D. 2

A. 3 ? 1

B. 2 ? 3

【知识点】椭圆的几何性质 H5 【答案】【解析】A 解析:因为过 F1 的直线 为

MF1 是圆 F2 的切线,所以可得 ?F1MF2 ? 90 , MF2 ? c ,因

F1F2 ? 2c

,所以可得

MF1 ? 3c

,由椭圆定义可得

MF 1 ? MF2 ? c ? 3c ? 2a

,可得题意离心率为

e?

2 ? 3 ?1 1? 3 ,故选择 A.www-2-1-cnjy-com

【思路点拨】由已知条件推导出 出椭圆的离心率. 【题文】9、若等差数列

MF2 ? c, F1F2 ? 2c,?F1MF2 ? 90?

,从而得到

MF1 ? 3c

,由此能求

2 {an } 满足 a12 ? a10 ? 10 ,则 S ? a10 ? a11 ? ... ? a19 的最大值为

A.60 B.50 【知识点】等差数列的性质 D2

C. 45

D.4021·世纪*教育网
2

2 2 a2 ? a10 ? 10 ,所以 ? a10 ? 9d ? ? a10 ? 10, 【答案】【解析】 B 解析:设等差数列的公差为 d ,因为 1 而

S ? a10 ? a11 ? ... ? a19 ? 10a10 ? 45d , 可 得

a10 ?

S ? 45d 2 a10 ? 9d ? ? a10 2 ? 10, ? 10 ,代 入 整理得
0
d 的 二 次 方 程 有 实 根 可 得

?1 3 5?
2

2 4 d ?5

2

?

3 d6 S0 ?

S2 ? 2

1 , ?0 0 0

由 关 于

2 2 ??3 6 S 0?

?

4? 2 1 ?? 3 S 52 ?

4 2 ?5? , 2

21 0 0 0 0 化简可 S ? 2500 得,解得 S ? 50 ,故选择 B.

【思路点拨】设等差数列的公差为 d ,易得

? a10 ? 9d ? ? a10 2 ? 10,
2

由求和公式可得

a10 ?

S ? 45d 10 ,代入

? a10 ? 9d ?

2

? a10 2 ? 10,

整理可得关于 d 的方程,由 ? ? 0 可得 S 的不等式,解不等式可得.

【题文】10、已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,在 (0, 2] 上是增函数,且 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,给出下 列结论:

①若

0 ? x1 ? x2 ? 4 且 x1 ? x2 ? 4 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ; ②若 0 ? x1 ? x2 ? 4 且 x1 ? x2 ? 5 , 则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; x , x , x , x 则 x1 ?x2 ?x3 ?x4 ?? 8 ③ 若方程 f ( x) ? m 在 [?8,8] 内恰有四个不同的实根 1 2 3 4 ,
或 8;④函数 f ( x ) 在 [?8,8] 内至少有 5 个零点,至多有 13 个零点 其中结论正确的有 A.1 个 B.2 个 【知识点】函数的性质 B3 B4 C.3 个 D.4 个

f ? x ? 8? ? f ? x ? 【答案】【解析】C 解析:因为 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,所以 ,即函数的周期为 8,因此函数
是周期函数,又是奇函数,且在[0,2]上为增函数,综合条件得函数的示意图,由图看出,

① 若

0 ? x1 ? x2 ? 4 且 x1 ? x2 ? 4 ,由图像可得正确;②若 0 ? x1 ? x2 ? 4 且 x1 ? x2 ? 5 , ( f x) 在 (0, 2] 上
1< x1< 5 2 ,由图可知: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;故②正确;③当 m>0 时,四
, 另 两 个 交 点 的 横 坐 标 之 和 为 2 ? 2 ? 4, 所 以

0<x1<5 ? x1<4 ,即 是增函数,则

个交点中两个交点的横坐标之和为

2 ? ? ?6? ? ?12

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ? 8 .当 m<0 时,四个交点中两个交点的横坐标之和为 2× (-2),另两个交点的横坐标
之和为 2× 6,所以

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 8 .故③正确;④如图可得函数 f ( x) 在 [?8,8] 内有 5 个零点,所以不

正确.故选择 C.【出处:21 教育名师】

f ? x ? 8? ? f ? x ? 【思路点拨】由条件 f ( x ? 4) ? ? f ( x) 得 ,说明此函数是周期函数,又是奇函数,且在
(0, 2] 上为增函数,由这些画出示意图,由图可解决问题.
第 II 卷(共 100 分) 【题文】二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.

?x ?1 f ( x) ? ? ?log 2 x 【题文】11、函数
【知识点】函数的零点问题 B9

x?0 x?0

的所有零点所构成的集合为________.

【答案】 【解析】 故答案为

log x ? 0 , ??1,1? 解析: 因为当 x ? 0, x ? 1 ? 0 解得 x ? ?1 , 因为当 x ? 0 时, 2 解得 x ? 1 ,

??1,1? .

【思路点拨】根据分段函数求解即可. 【题文】12、如图为了测量 A , C 两点间的距离,选取同一平面上 B , D 两点,测出四边形 ABCD 各边的 长度 (单位:km ) :AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,如图所示, 且 A、 B、 C、 D 四点共圆, 则 AC 的长为_________ km .

【知识点】解三角形 C8 【答案】【解析】7.解析:因为 A、B、C、D 四点共圆,所以 ?D ? ?B ? ? ,在 ABC 和 ADC 中,由

余弦定理可得

82 ? 52 ? 2 ? 8 ? 5 ? cos ?? ? D? ? 32 ? 52 ? 2 ? 3? 5 ? cos D

cos D ? ?


1 2 ,代入可得

? 1? AC 2 ? 32 ? 52 ? 2 ? 3 ? 5 ? ? ? ? ? 49 ? 2? ,故答案为 7.
【思路点拨】根据 A、B、C、D 四点共圆,可得 ?D ? ?B ? ? ,再由余弦定理可得解得 入余弦定理可得.

cos D ? ?

1 2 ,代

A?
【题文】 13、 在△ABC 中,

?

2 2 6, D 是 BC 边上任意一点 (D 与 B、 C 不重合) , 且 | AB | ?| AD | ? BD ? DC ,

则角 B 等于 . 【知识点】向量的线性运算 解三角形 F1 C8


2




2











5? 12

.







由 ,



知 整

可 理



: 得

? ? ? B D? ? BD. ? AB ? AD ? DC ? ? BD. ? AB ? AC ? ? 0 ,即
B C?

AB ? AD ? AB ? AD . AB ? AD ? AB ? AD .BD ? BD.DC
AB ? AC

?

??

? , 又 因 为 D 在 BC 上 , 所 以
5? 6 ?? 2 12 ,故答案为 12 .

? ?

AB ?

AC

? ,即 AB ? AC 三角形为等腰三角形,所以 ?B ?
2 2

??

?

【思路点拨】由已知变形可得

AB ? AD ? AB ? AD . AB ? AD ? AB ? AD .BD ? BD.DC

?

??

? ?

?

,可得

BC ? AB ? AC

? ,即 AB ? AC 三角形为等腰三角形,可求得.

9 ABC - A1B1C1 体积为 4 ,底面是边长为 3 .若 P 为底面 A1B1C1 的中心,则 PA 【题文】14、已知正三棱柱
与平面 ABC 所成角的大小为 【知识点】求线面角 G7 .21 教育名师原创作品

? AA ? A B C 所以 ?APA1 为 PA 与平面 A1B1C1 所成角, 【答案】 【解析】3 .解析: 因为 1 底面 1 1 1 , 因为平面 ABC
9 ABC ?APA1 为 PA 与平面 ABC 所成角,因为正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 体积为 4 ,底面是 ∥平面 1 1 1 ,所以

1 V? S 3 边长为 3 ,所以 ?APA1 ?

ABC

AA1 ?

AA 9 tan ?APA1 ? 1 ? 3 A1 P 4 ,可得 AA1 ? 3 , A1 P ? 1 ,所以 ,即

?

? 3 ,故答案为 3 .

【思路点拨】利用三棱柱

ABC - A1B1C1 的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知, ?APA1 为 PA 与平面

A1B1C1 所成角,,即为 ?APA1 为 PA 与平面 ABC 所成角.利用三棱锥的体积计算公式可得 AA1 ? 3 ,再 A1P ,在 Rt AA1P 中,利用
2

tan ?APA1 ?

利用正三角形的性质可得

AA1 ? 3 A1 P 即可得出.
3 3

【题文】15、已知 sin ? ,cos ? 是关于 x 的方程 x ? ax ? a ? 0 的两个根,则 sin ? ? cos ? = 【知识点】同角三角函数基本关系式 韦达定理 C2



?sin ? ? cos ? ? a ? sin ? .cos ? ? a ,根据同角三角函数基本关系式可 2 ? 2 【答案】【解析】 .解析:由韦达定理可得: ?

? s i n? ? 得:

c o? s ? ? a 2 ? ?1 2 ? sin ? co ? s ? a1 2 a 2 ? 2a ? 1? 0 ,即 , 解 得 a ? 1? 2 , 又 因 为
2

sin ? ? cos ? ? 2
s
3


3 ? n?





a ? 1? 2
2





??

i ? ??

? ??

?c ?

?

? o?

? ?s ? a ? ? ? a?

s

2



i





n

sin3 ? ? cos3 ? ? 2 ? 2 ,故答案为 2 ? 2 .
【思路点拨】 由韦达定理以及同角三角函数基本关系式可求得 a ? 2a ? 1 ? 0 , 再根据 sin ? ? cos ? ? 2 ,
2

确定 a 值,代入

sin 3 ? ? cos3 ? ? ? sin ? ? cos ? ? ? sin 2 ? ? sin ? cos ? ? cos 2 ? ? ? a ? ?1 ? a ?

即可求得.

【题文】16、已知 O 是 ?ABC 外心,若 【知识点】向量的数量积 F3

AO ?

2 1 AB ? AC 5 5 ,则 cos ?BAC ?



2 2 1 1 6 AO AB ? AB , AO AC ? AC , 2 2 【答案】【解析】 4 . 解析:因为 O 为三角形的外心,所以 ,由 2 2 2 1 2 1 AB ? AC AB AO AC ? AB AC ? AC 2 5 5 5 5 整理得: AB ? 2 AC AB ,同理 整理可得:

AO AB ?

AC ?

2

4 AB AC 3 ,所以

cos ?BAC ?

AC AB AC AB

?

1 2? 4 3

?

6 4

6 ,故答案为 4 .

AO AB ?
【思路点拨】根据 O 为三角形外心,可得

2 2 1 1 AB , AO AC ? AC , 2 2 再让已知式子分别与向量

AB, AC 求数量积,可得到 AB ? 2 AC AB 与
f ( x) ?
【题文】17、已知函数

2

AC ?

2

4 AB AC 3 ,再结合向量夹角公式求得结果.

a 2 1 2 f (1 ? x) ? ?x ?x ? [ , ] f ( x) 恒成立,则实数 a 的取值范围 x 3 3 ,有 ,对

为 . 【知识点】不等式恒成立问题 E8

a?
【答案】【解析】

49 1 2 ?x ? [ , ] 4 . 解析:因为 3 3 , f ? x ? ? 0 ,所以 f ?1 ? x? f ? x? ? a恒成立,即
2 2 4 ? 2 ??1 ? x ? ? x 2 ? ? x 2 ?1 ? x ? ? ? ?a x ?1 ? x ?

?2 ?? 2 ? ? ?1 ? x ? ? ? a ? ? x ?? ?x ?? 1 ? x ? ,整理可得

?2 1? x ?1 ? x ? ? t ? ? , ? ?9 4? , ,令

49 ? 2 ? ?2 1? 4 ? 2 ?1 ? 2t ? ? t 2 t 2 ? 4t ? 2 2 t?? , ? ? ?t? ?4?a ?t ? ? 4? ? ?min 4 ,故答案 ? 9 4 ? ,所以 ? t t t t 上式为 ,因为

a?


49 4 2· 1· c· n· j· y

【思路点拨】 根据题意可得

f ?1 ? x ? f ? x ? ? a

?2 ?? 2 ? ?2 1? ? ?1 ? x ? ? ? a x ?1 ? x ? ? t ? ? , ? ? ? x ?? ?? 1 ? x ? ?9 4? , , 即? x , 令

49 ? 2 ? 4 ? 2 ?1? 2t ? ? t 2 t 2 ? 4t ? 2 2 ? ?t? ?4?a ?t ? ? 4? ? t ?min 4 ,可得 a t t t 整理可得 根据对勾函数可求得 ?
的范围. 【题文】三、解答题 【题文】(18)(本题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知 b cos C ? 3b sin C ? a ? c ? 0 . (Ⅰ)求 B ; (Ⅱ)若 b ? 3 ,求 2a + c 的取值范围. 【知识点】解三角形 三角函数的性质 C3 C8

? 【答案】(Ⅰ) 3 ;(Ⅱ) ( 3, 2 7] .
【解析】(1)由正弦定理知: sin B cos C ? 3sin B sin C ? sin A ? sin C ? 0

sin A ? sin( B ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C 代入上式
得: 3sin B sin C ? cos B sin C ? sin C ? 0
sin C ? 0

? 3sin B ? cos B ? 1 ? 0

? 1 sin( B ? ) ? 6 2 即
B ? (0, ? )

?B ?

?
3

(Ⅱ)由(1)得:

2R ?

b ?2 sin B

2a ? c ? 2R(2 sin A ? sin C) ? 5 sin A ? 3 cos A ? 2 7 sin(A ? ? )

sin ? ?
其中,

3 2 7

, cos? ?

5 2 7

A ? (0,

2? ) 3

2 7 sin(A ? ? ) ? ( 3,2 7 ]
【思路点 拨】由正弦定理可得 3sin B sin C ? cos B sin C ? sin C ? 0 , ? 3sin B ? cos B ? 1 ? 0 , 化一得

? 1 sin( B ? ) ? 6 2 即可得角 B 的值;由正弦定理可得 2a ? c ? 5sin A ? 3 cos A ? 2 7 sin( A ? ? ) ,再根据正
弦函数的范围求得 2a + c 的范围.2-1-c-n-j-y 【题文】(19)(本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, BC ? 平面 PAB .已知 PA ? AB ,点 D , E 分别为 PB , BC 的中点. (Ⅰ)求证: AD ? 平面 PBC ;

AF (Ⅱ)若 F 在线段 AC 上,满足 AD // 平面 PEF ,求 FC 的值.
P

D A F E B C

【知识点】线面垂直 线面平行 G4 G5

1 【答案】(Ⅰ)略;(Ⅱ) 2 .
【解析】(Ⅰ)证明:
BC ? 平面 PAB ? BC ? AD

PA ? AB ,D 为 PB 中点 ? AD ? PB
PB ? BC ? B

? AD ? 平面 PBC

(Ⅱ)连接 DC 交 PE 于 G, 连接 FG ,
AD / / 平面 PEF ,平面 ADC ? 平面 PEF ? FG ? AD / / FG

又 G 为 ?PBC 重心

?

AF DG 1 ? ? FC GC 2

【思路点拨】证明 AD ? PB, AD ? BC ,即可证明 AD ? 平面 PBC ,连接 DC 交 PE 于 G, 连接 FG ,
AD / / 平面 PEF ,平面 ADC ? 平面 PEF ? FG ,? AD / / FG ,即可得 G 为三角形重心.

【题文】(20)(本小题满分 15 分) 已知数列

?an ? 的首项为 a(a ? 0) ,前 n 项和为 Sn ,且有 Sn?1 ? tSn ? a(t ? 0) , bn ? Sn ? 1 . ?an ? 的通项公式;
*

(Ⅰ)求数列

(Ⅱ)当 t ? 1 , a ? 2 时,若对任意 n ? N ,都有

k(

1 1 1 ? ??? ) ? bn b1b2 b2 b3 bn bn?1 ,求 k 的取值范围;

c ? 2 ? b1 ? b2 ? ... ? bn ,求能够使数列 ?cn ? 为等比数列的所有数对 (a, t ) . (Ⅲ)当 t ? 1 时,若 n
【知识点】等比数列的性质 【答案】(Ⅰ) 数列求的和 D3 D4

an ? at n?1 ;(Ⅱ) k ? 45 ;(Ⅲ) (1, 2) .

【解析】(1)当 n ? 1 时,由 S2 ? tS1 ? a 解得 a2 ? at 当 n ? 2 时, Sn ? tSn ?1 ? a ,

?(Sn?1 ? Sn ) ? t (Sn ? Sn?1 ) ,即 an ?1 ? tan

又 a1 ? a ? 0 ,综上有

an ?1 ? t (n ? N *) an

,即 {an } 是首项为 a ,公比为 t 的等比数列

? an ? at n ?1

1 1? 1 1 ? ? ? ? a ? 2, Sn ? 2n ,即 bn ? 2n ? 1 , bnbn?1 2 ? 2n ? 1 2n ? 3 ? ? ,所以 (Ⅱ)因为 t ? 1 , a ? 2 ,所以可得 n
1 1 ? ? b1b2 b2b3
k(
因为

?

1 1?1 1 1 ? ? ? ? ? bnbn?1 2 ? 3 5 5

?

1 ? n ?? 2n ? 3 ? 3 ? 2n ? 3?

1 1 1 3(4n 2 ? 8n ? 3) ? ??? ) ? bn k? b1b2 b2 b3 bn bn?1 n ,所以整理可得 ,

所以 k ? 45 .

(Ⅲ) t ? 1 ,

? bn ? 1 ?

a ? at n 1? t

? cn ? 2 ? (1 ?

a a a at (1 ? t n ) at a at n ?1 )n ? (t ? t 2 ? ... ? t n ) ? 2 ? (1 ? )n ? ? 2 ? ? (1 ? ) n ? t ?1 1? t t ?1 (1 ? t ) 2 (1 ? t ) 2 t ?1 (1 ? t ) 2

由题设知

?cn ? 为等比数列,所以有

at ? 2? ?0 ? ? (1 ? t ) 2 ? ?a ? 1 ?1 ? t ? a ? 0 ? ? 1? t t ? 2 ,即满足条件的数对是 (1, 2) . ? ,解得 ?
(或通过

?cn ? 的前 3 项成等比数列先求出数对 (a, t ) ,再进行证明)
an?1 ? ant, 由此说明数列是等比数列,由等比数列的通项
1 1 ? ? b1b2 b 2b 3 ? 1 n ? bnbn? 1 3 ? 2n ? 3?

【思路点拨】(1)由数列递推式求得首项,得到

公式得答案;(Ⅱ)根据题意可得

bn ? 2n ? 1 ,求得

,所以要使

k(

1 1 1 3(4n 2 ? 8n ? 3) ? ??? ) ? bn k? b1b2 b2 b3 bn bn?1 n 成立,只需 即可求得;(Ⅲ)由题意得

at a ? at n ?1 ? a ? at n Cn ? 2 ? ? ?1 ? ?n? 2 2 bn ? 1 ? ?1 ? t ? ? t ? 1 ? ?1 ? t ? , 若 为 等 比 数 列 需 满 足 1? t , 代 入 可 得

at ? 2? ?0 ? ? (1 ? t ) 2 ? ?1 ? t ? a ? 0 ? ? 1? t .21 教育网
【题文】(21)(本小题满分 15 分)

? 如图,已知圆 G : x ? x ? y ? 0 ,经过抛物线 y ? 2 px 的焦点,过点 (m,0) (m ? 0) 倾斜角为 6 的直线 l
2 2 2

交抛物线于 C,D 两点. (Ⅰ)求抛物线的方程; (Ⅱ)若焦点 F 在以线段 CD 为直径的圆 E 的外部,求 m 的取值范围.

【知识点】抛物线方程 直线与抛物线 H7 H8 【答案】(Ⅰ) y ? 4 x ;(Ⅱ) ? 3 ? m ? ?2 5 ? 3 .
2

【解析】(Ⅰ)因为圆与 x 轴的交点为 故可得抛物线方程为: y ? 4 x 21· cn· jy· com
2

? 0,0? , ?1,0? 且抛物线的焦点在 x 轴上,所以抛物线的焦点为 ?1,0? ,

(Ⅱ)设 C ( x1 , y1 ), D( x2 , y 2 ) ,因为 FC ? FD ? 0 ,则 ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? y1 y2 ? 0 ,

y?
设 l 的方程为:

3 ( x ? m) 3 ,于是

1 1 ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? y1 y 2 ? ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? ( x1 ? m)( x 2 ? m) ? [4 x1 x 2 ? (m ? 3)( x1 ? x 2 ) ? 3 ? m 2 ] ? 0 3 3
即 4 x1 x2 ? (m ? 3)(x1 ? x2 ) ? 3 ? m ? 0
2



? 3 ( x ? m) ?y ? 3 ? ? y 2 ? 4x ?

,得 x ? (2m ? 12) x ? m ? 0 ,所以 x1 ? x2 ? 2m ? 12, x1 x2 ? m ,
2 2 2

于是

4x1 x2 ? (m ? 1)(x1 ? x2 ) ? 3 ? m2 ? 4m2 ? (m ? 3)(2m ? 12) ? 3 ? m2 ? 3m2 ? 18m ? 33 ? 0 m ? 2 5 ? 3或m ? ?2 5 ? 3 ,



又 ? ? (2m ? 12) ? 4m ? 0 ,得到 m ? ?3 .
2 2

所以 ? 3 ? m ? ?2 5 ? 3 . 【思路点拨】根据圆与 x 轴的交点求得抛物线的焦点,即可得其方程;因为焦点 F 在以线段 CD 为直径的 圆 E 的外部,所以 FC ? FD ? 0 ,则 ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? y1 y2 ? 0 ,设直线方程为 线方程联立,代入上式,整理可得 m 的范围.【来源:21·世纪·教育·网】 【题文】(22)(本小题满分 14 分)
2 已知函数 f ( x) ? x ? 1, g ( x) ? a | x ? 1| .

y?

3 ( x ? m) 3 ,与抛物

(Ⅰ)若当 x ? R 时,不等式 f ( x) ≥ g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)求函数 h( x) ?| f ( x) | ? g ( x) 在区间 [0,2] 上的最大值. 【知识点】含绝对值不等式 二次函数求最值 E2

?3 ? a, a ? ?3 h( x) max ? ? ?0, a ? ?3 【答案】(Ⅰ) a ≤ ?2 ;(Ⅱ) .
2 【解析】(Ⅰ)不等式 f ( x) ≥ g ( x) 对 x ? R 恒成立,即 ( x ? 1) ≥ a | x ? 1| (*)对 x ? R 恒成立,

①当 x ? 1 时,(*)显然成立,此时 a ? R ;

②当 x ? 1 时,(*)可变形为

a?

x 2 ? 1 ? x ? 1, ( x ? 1), x2 ? 1 ? ( x) ? ?? | x ? 1| ??( x ? 1), ( x ? 1). | x ? 1| ,令

因为当 x ? 1 时, ? ( x) ? 2 ,当 x ? 1 时, ? ( x) ? ?2 , 所以 ? ( x) ? ?2 ,故此时 a ≤ ?2 . 综合①②,得所求实数 a 的取值范围是 a ≤ ?2 .
2 ? ?? x ? ax ? a ? 1,0 ? x ? 1 h( x ) ? ? 2 ? ? x ? ax ? a ? 1,1 ? x ? 2 (Ⅱ)

a ?0 (?x 2 ? ax ? a ? 1) max ? h(0) ? a ? 1 当 2 时,即 a ? 0 , ?

(? x 2 ? ax ? a ? 1) max ? h(2) ? a ? 3
此时,

h( x) max ? a ? 3
a a2 a ?1 (? x 2 ? ax ? a ? 1) max ? h(? ) ? ? a ?1 2 2 4 时,即 ? 2 ? a ? 0 ,

0??


(? x 2 ? ax ? a ? 1) max ? h(2) ? a ? 3
此时

h( x) max ? a ? 3
a ?2 (? x 2 ? ax ? a ? 1) max ? h(1) ? 0 2 时,即 ? 4 ? a ? ?2 ,

1? ?


?0,?4 ? a ? ?3 (? x 2 ? ax ? a ? 1) max ? max{ h(1), h(2)} ? max{ 0,3 ? a} ? ? ?3 ? a,?3 ? a ? ?2 ?0,?4 ? a ? ?3 h( x) max ? ? ?3 ? a,?3 ? a ? ?2 此时
a ?2 (? x 2 ? ax ? a ? 1) max ? h(1) ? 0 当 2 时,即 a ? ?4 , ?

(? x 2 ? ax ? a ? 1) max ? h(1) ? 0
此时

h( x) max ? 0

?3 ? a, a ? ?3 h( x) max ? ? ?0, a ? ?3 综上: .
2 【思路点拨】根据题意可得 ( x ? 1) ≥ a | x ? 1| (*)对 x ? R 恒成立,讨论当 x ? 1 时,(*)显然成立,此时

x 2 ? 1 ? x ? 1, ( x ? 1), x2 ? 1 ? ( x ) ? ?? a? | x ? 1| ??( x ? 1), ( x ? 1). 只需求其最小值即可; | x ? 1| ,令 a ? R ,当 x ? 1 时,(*)可变形为
2 ? ?? x ? ax ? a ? 1,0 ? x ? 1 a a a h( x ) ? ? 2 ? ? 0 0 ? ? ? 1 1 ? ? ?2 ? ? x ? ax ? a ? 1,1 ? x ? 2 ,讨论对称轴 2 2 2 , , 的三种情况,分别求

得最大值.www.21-cn-jy.com


相关文章:
浙江省杭州二中2015届高三年级第二次月考数学文试题【解析版】
暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 浙江省杭州二中2015届高三年级第二次月考数学文试题【解析版】_高三数学_数学_高中教育_教育专区。杭州二中 2014 学年高三年...
浙江省杭州二中2015届高三第二次月考数学文试题 Word版含解析人教A版
浙江省杭州二中2015届高三第二次月考数学文试题 Word版含解析人教A版_高三数学_数学_高中教育_教育专区。浙江省杭州二中2015届高三第二次月考数学文试题 Word版含...
【解析】浙江省杭州二中2015届高三年级第二次月考数学理试题
【解析】浙江省杭州二中2015届高三年级第二次月考数学试题_数学_高中教育_教育...利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【题文】3、已知圆 C : x 2 ?...
【解析】浙江省杭州二中2015届高三年级第二次月考数学文试题
暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 【解析】浙江省杭州二中2015届高三年级第二次月考数学文试题_数学_高中教育_教育专区。【解析】浙江省杭州二中 2015 届高三年...
【解析】浙江省杭州二中2015届高三年级第二次月考数学理试题
【解析】浙江省杭州二中2015届高三年级第二次月考数学试题_数学_高中教育_...利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【题文】3、已知圆 C : x 2 ?...
浙江省杭州二中2015届高三第二次月考数学(文) Word版含答案
浙江省杭州二中2015届高三第二次月考数学(文) Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。杭州二中 2014 学年高三年级第二次月考 数学试卷(文科)命题:胡克元 审核:...
【解析】浙江省杭州二中2015届高三年级第二次月考化学试卷
【解析】浙江省杭州二中2015届高三年级第二次月考化学试卷_理化生_高中教育_教育专区。杭州二中 2014 学年第一学期高三第二次月考化学试 2014/11 考生须知: 1....
浙江省杭州二中2015届高三第二次月考数学(文)
浙江省杭州二中2015届高三第二次月考数学(文)_数学...杭州二中 2014 学年高三年级第二次月考 数学试卷(...
浙江省杭州二中2015届高三第二次月考数学(理) Word版含答案
浙江省杭州二中2015届高三第二次月考数学(理) Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。2014 学年杭州二中高三年级第二次月考 数学试卷(理科) 第 I 卷(共 50 ...
更多相关标签:
浙江省杭州二中 | 浙江省第二次名校联考 | 浙江省第二次土地调查 | 浙江省杭州市 | 浙江省杭州第二中学 | 浙江省杭州市余杭区 | 浙江省杭州市西湖区 | 浙江省杭州高级中学 |