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山西省吕梁学院附中2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理)试卷


2014——2015 学年下学期高二年级期末考 试
理科数学
一、选择题(每题 5 分,共 12 题)
1.集合 A ? x ? N 0 ? x ? 4 的子集个数为(

?

?

) C.7 D.8

A. 3

B.4

a

? ? 2.已知函数 f ( x ) ? ln?1 ? ? ( a ? R ) .命题 p: ?a ? R , f ( x ) 是奇函数;命题 q: x ? 1? ?
?a ? R , f ( x ) 在定义域内是增函数,那么下列命题为真命题的是(



A. ?p

B. p ? q

C. ??p ? ? q

D. p ? ??q ?

3.命题 P: “ ?x ? R, x 2 ? 1 ? 2 x ”的否定 ? P 为 A. ?x ? R, x 2 ? 1 ? 2 x C. ?x ? R, x 2 ? 1 ? 2 x B. ?x ? R, x 2 ? 1 ? 2 x D. ?x ? R, x 2 ? 1 ? 2 x

4、已知 a ? b ? 0 ,则下列不等关系式中正确的是 A . sin a ? sin b B . log 2 a ? log 2 b C . a ?b
1 2 1 2

?1? ?1? D. ? ? ? ? ? ?3? ?3?

a

b

?? x , x ? 0, ? 4 5.已知函数 f ? x ? ? ?? 则f ? 1? ? f ? 2 ?? ?? ?? x ? ? , x ? 0, x? ?? 1 1 A. B. C. 2 4 2
2

D. 4

6.当 x ? ?0,2? 时,函数 f ( x) ? ax ? 4(a ? 1) x ? 3 在 x ? 2 时取得最大值,则 a 的取值范 围是 A. [?

1 , ??) 2

B. ?0,?? ?

C. ?1,?? ?

D. [ , ??)

2 3

7.已知定义域为(-1,1)的奇函数 y=f (x)又是减函数,且 f (a-3)+f (9-a2)<0,则 a 的取值
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范围是(

) B.(3, 10 ) C.(2 2 ,4) D.(-2,3)

A.(2 2 ,3)

8. 某考察团对全国 10 大城市进行职工人均平均工资 x 与居民人均消费 y 进行统计调查, y

? ? 0.66 x ? 1.562 (单位:千元),若某城市居民消费水平为 与 x 具有相关关系,回归方程 y
7.675,估计该城市消费额占人均工资收入的百分比为( A. 66% B. 72.3% C. 67.3% ) D. 83%

9.设随机变量 X ~N(2,4) ,则 D( X)的值等于 ( ) A.1 B.2
30

1 2

C.

1 2

D.4

2 ? ? 10.二项式 ? a ? ? 的展开式的常数项为第( )项 3 a? ?
A. 17 B。18 C。19 D。20

11.若集合 P 具有以下性质:
① 0 ? P ,1 ? P ; ② 若 x, y ? P ,则 x ? y ? P ,且 x ? 0 时,

1 ?P. x

则称集合 P 是“Γ 集” ,则下列结论不正确的是( A.整数集 Z 是“Γ 集” B.有理数集 Q 是 “Γ 集”

)

C.对任意的一个“Γ 集”P,若 x, y ? P ,则必有 xy ? P D.对任意的一个“Γ 集”P,若 x, y ? P ,且 x ? 0 ,则必有
y ?P x

12. 若函数 y ? f ( x) 在实数集 R 上的图象是连续不断的,且对任意实数 x 存在常数 t 使得 则称 y ? f ( x) 是一个“关于 t 函数”. 现有下列“关于 t 函数”的结论: f (t ? x) ? tf ( x) 恒成立, ①常数函数是“关于 t 函数”; ②“关于 t 函数”至少有一个零点; ③ f ( x) ? ( ) x 是一个“关于 t 函数”.其中正确结论的个数是 A .1 B.2 ( ). C.3 D.0

1 2

二、填空题 13. 已知△ ABC 的内角 A 、B 、C 所对的边为 a 、b 、c , 则 “ ab ? c 2 ” 是 “C ?
π ” 3

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条件. (填“充分非必要” 、 “必要非充分” 、 “充要” 、 “既

不充分又不必要”中的一种) .
14.已知圆的极坐标方程 ? ? 2 cos ? ,直线的极坐标方程为 ? cos ? ? 2 ? sin ? ? 7 ? 0 ,则 圆心到直线距离为 .

15.已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (3, ) ,则 log 1 f (2) 的值为
2

1 3



16.如图,它满足①第 n 行首尾两数均为 n,②表中的递推关系类似杨辉三角,则第 n 行

(n ? 2) 第 2 个数是_________.
1 2 3 4 5 6 16 11 25 7 14 25 4 7 11 16 2 3 4 5 6

三、简单题: 17. (12 分)某工厂为了检查一条流水线的生产情况,从该流水线上随机抽取 40 件产品, 测量这些产品的重量(单位:克) ,整理后得到如下的频率分布直方图(其中重量的分组区 间分别为(490,495], (495,500], (500,505], (505,510], (510,515]) (I)若从这 40 件产品中任取两件,设 X 为重量超过 505 克的产品数量,求随机变量 X 的 分布列; (Ⅱ)若将该样本分布近似看作总体分布,现从该流水线上任取 5 件产品,求恰有两件产品 的重量超过 505 克的概率.

18.(12 分)设集合 A={x2,2x-1,-4},B={x-5,1-x,9},若 A∩B={9},求 A∪B.

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19.(12 分)判断命题“若 a≥0,则 x2+x-a=0 有实根”的逆否命题的真假.

20.(12 分)已知函数 f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线 y=f(x)在点(0,2)处的切线与 x 轴交点的横 坐标为-2. (1)求 a; (2)证明:当 k<1 时,曲线 y=f(x)与直线 y=kx-2 只有一个交点.

21. (12 分)已知函数 f(x)=x +a(x+lnx) ,a∈R. (Ⅰ)若当 a=﹣1 时,求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 f(x)> (e+1)a,求 a 的取值范围.

2

22. (10 分) 在直角坐标系 xoy 中, 曲线 C1 的参数方程为

(其中 θ 为参数) ,

点 M 是曲线 C1 上的动点,点 P 在曲线 C2 上,且满足 (Ⅰ)求曲线 C2 的普通方程;

=2



(Ⅱ)以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线 θ= 分别交于 A,B 两点,求|AB|.

,与曲线 C1,C2

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答案:DDCDA 13. 充分非必要

DADAB 14.
8 5 5

AB 15. 1 16.
n2 ? n ? 2 2

17. 解: ( I)根据频率分布直方图可知,重量超过 505 克的产品数量为 [(0.001+0.005)× 5]× 40=12. 由题意得随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2 = , , .

∴随机变量 X 的分布列为

(Ⅱ)由题意得该流水线上产品的重量超过 505 克的概率为 0.3 设 Y 为该流水线上任取 5 件产品重量超过 505 克的产品数量, 则 Y~B (5, 0.3) . 故所求概率为 P(Y=2)= 18.由 9∈A,可得 x2=9,或 2x-1=9, 解得 x=± 3,或 x=5. 当 x=3 时,A={9,5,-4},B={-2,-2,9},B 中元素重复,故舍去; 当 x=-3 时, A={9, -7, -4}, B={-8,4,9}, A∩B={9}满足题意, 故 A∪B ={-8,-7,-4,4,9}; 当 x=5 时,A={25,9,-4},B={0,-4,9},此时 A∩B={-4,9}与 A∩B ={9}矛盾,故舍去. 综上所述,A∪B={-8,-7,-4,4,9}. 19.解法一 写出逆否命题进行判断. .

原命题:若 a≥0,则 x2+x-a=0 有实根. 逆否命题:若 x2+x-a=0 无实根,则 a<0. 判断如下: ∵x2+x-a=0 无实根, 1 ∴Δ=1+4a<0,∴a<-4<0, ∴“若 x2+x-a=0 无实根,则 a<0”为真命题. 解法二 利用原命题与逆否命题同真同假(即等价关系)判断.

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∵a≥0,∴4a≥0,∴4a+1>0, ∴方程 x2+x-a=0 的判别式 Δ=4a+1>0, ∴方程 x2+x-a=0 有实根. 故原命题“若 a≥0,则 x2+x-a=0 有实根”为真. 又因原命题与其逆否命题等价, 所以“若 a≥0,则 x2+x-a=0 有实根”的逆否命题为真. 20.(1)f ′(x)=3x2-6x+a,f′(0)=a.

2 由题设得-a=-2,所以 a=1. (2)由(1)知,f(x)=x3-3x2+x+2. 设 g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4. 由题设知 1-k>0. 当 x≤0 时,g′(x)=3x2-6x+1-k>0,g(x)单调递增,g(-1)=k-1<0,g(0) =4,所以 g(x)=0 在(-∞,0]上有唯一实根. 当 x>0 时,令 h(x)=x3-3x2+4,则 g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x). h′(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增, 所以 g(x)>h(x)≥h(2)=0. 所以 g(x)=0 在(0,+∞)上没有实根. 综上, g(x)在 R 上有唯一实根, 即曲线 y=f(x)与直线 y=kx-2 只有一个交点. 21. 解: (Ⅰ)由题意得 x∈(0,+∞) ; 当 a=﹣1 时,f(x)=x2﹣x﹣lnx, = ;

∴x∈(0,1)时,f′(x)<0,x∈(1,+∞)时,f′(x)>0; ∴f(x)的单调减区间是(0,1) ,单调增区间是[1,+∞) ; 2 (II)①当 a=0 时,f(x)=x >0,显然符合题意; ②当 a>0 时,当 f(x)<1+a+alnx ③当 a<0 时,则 对于 2x2+ax+a=0,△ =a2﹣8a>0; ; 时; ,不符合题意;

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∴该方程有两个不同实根,且一正一负,即存在 x0∈(0,+∞) ,使得 ; 即 f′(x0)=0; ∴0<x<x0 时,f′(x)<0,x>x0 时,f′(x)>0; ∴f(x)min=f(x0) = = ; ∵ ∴0<x0<e; 由 得, ; ,∴x0+2lnx0﹣(e+2)<0; =

设 y=

,y′=



∴函数

在(0,e)上单调递减;



; . =2 .

综上所述,实数 a 的取值范围

22. 解: (Ⅰ) 因为点 M 是曲线 C1 上的动点,点 P 在曲线 C2 上,且满足 设 P(x,y) ,M(x′,y′) ,则 x=2x′,y=2y′,并且 ,

消去 θ 得, (x′﹣1)2+y′2=3, 所以曲线 C2 的普通方程为: (x﹣2)2+y2=12; (Ⅱ)以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的极坐标 方程为 ρ2﹣2ρcosθ﹣2=0,将 θ= 代入得 ρ=2,∴A 的极坐标为(2, ) ,曲线

C2 的极坐标方程为 ρ2﹣4ρcosθ﹣8=0,将 (4, ) ,所以|AB|=4﹣2=2.

代入得 ρ=4,所以 B 的极坐标为

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