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2013年福建省高考数学试卷(文科)答案与解析


2013 年福建省高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2013?福建)复数的 Z=﹣1﹣2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 计算题. 分析: 由 Z=﹣1﹣2i,写出对应点的坐标,即可判断在复平面内对应的点所在的象限. 解答: 解:Z=﹣1﹣2i 在复平面内对应的点(﹣1,﹣2)位于第三象限. 故选 C. 点评: 本题考查复复数的几何意义,复数与复平面内的点的对应关系.
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2. (5 分) (2013?福建)设点 P(x,y) ,则“x=2 且 y=﹣1”是“点 P 在直线 l:x+y﹣1=0 上” 的( ) A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 直线与圆. 分析: 当 x=2 且 y=﹣1”可以得到“点 P 在直线 l:x+y﹣1=0 上”,当点 P 在直线 l:x+y﹣1=0 上时,不一定得到 x=2 且 y=﹣1,得到 x=2 且 y=﹣1”是“点 P 在直线 l:x+y﹣1=0 上” 的充分不必要条件. 解答: 解:∵x=2 且 y=﹣1”可以得到“点 P 在直线 l:x+y﹣1=0 上”, 当“点 P 在直线 l:x+y﹣1=0 上”时,不一定得到 x=2 且 y=﹣1, ∴“x=2 且 y=﹣1”是“点 P 在直线 l:x+y﹣1=0 上”的充分不必要条件, 故选 A. 点评: 本题考查条件问题,本题解题的关键是看出点 P 在直线 l:x+y﹣1=0 上时,不能确定 这个点的坐标的大小,本题是一个基础题.
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3. (5 分) (2013?福建)若集合 A={1,2,3},B={1,3,4},则 A∩B 的子集个数为( A.2 B.3 C .4 D.16 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 找出 A 与 B 的公共元素求出交集,找出交集的子集个数即可. 解答: 解:∵A={1,2,3},B={1,3,4}, ∴A∩B={1,3}, 2 则 A∩B 的子集个数为 2 =4. 故选 C 点评: 此题考查了交集及其运算,以及子集,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
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1

4. (5 分) (2013?福建)双曲线 x ﹣y =1 的顶点到其渐近线的距离等于( A. B. C .1 D.

2

2



考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 求出双曲线的渐近线方程,顶点坐标,利用点到直线的距离求解即可. 2 2 解答: 解:双曲线 x ﹣y =1 的顶点坐标(1,0) ,其渐近线方程为 y=±x,
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所以所求的距离为

=



故选 B. 点评: 本题考查双曲线的简单性质的应用,考查计算能力. 5. (5 分) (2013?福建)函数 f(x)=ln(x +1)的图象大致是( A. B. C.
2

) D.

考点: 函数的图象. 专题: 作图题. 分析: 由题意可判函数为偶函数,可排除 C,再由 f(0)=0,可排除 B、D,进而可得答案. 解答: 解:由题意可知函数的定义域为 R,
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∵f(﹣x)=ln(x +1)=f(x) ,∴函数为偶函数, 故可排除 C,由 f(0)=ln1=0,可排除 B、D 故选 A 点评: 本题考查函数的图象,涉及函数的奇偶性和函数值,属基础题.

2

6. (5 分) (2013?福建)若变量 x,y 满足约束条件 值分别为( A.4 和 3 ) B.4 和 2 C .3 和 2

,则 z=2x+y 的最大值和最小

D.2 和 0

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 先根据条件画出可行域,设 z=2x+y,再利用几何意义求最值,将最小值转化为 y 轴 上的截距最大,只需求出直线,过可行域内的点 N(1,0)时的最小值,过点 M(2, 0)时,2x+y 最大,从而得到选项. 解答: 解:满足约束条件 的可行域如下图所示
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在坐标系中画出可行域
2

平移直线 2x+y=0,经过点 N(1,0)时,2x+y 最小,最小值为:2, 则目标函数 z=2x+y 的最小值为 2. 经过点 M(2,0)时,2x+y 最大,最大值为:4, 则目标函数 z=2x+y 的最大值为:4. 故选 B.

点评: 借助于平面区域特性, 用几何方法处理代数问题, 体现了数形结合思想、 化归思想. 线 性规划中的最优解,通常是利用平移直线法确定. 7. (5 分) (2013?福建)若 2 +2 =1,则 x+y 的取值范围是( A.[0,2] B.[﹣2,0] C.[﹣2,+∞)
x y

) D.(﹣∞,﹣2]

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 根据指数式的运算性质结合基本不等式可把条件转化为关于 x+y 的不等关系式, 进而 可求出 x+y 的取值范围. 解答: x y x y 解:∵1=2 +2 ≥2?(2 2 ) ,
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变形为 2

x+y

≤ ,即 x+y≤﹣2,当且仅当 x=y 时取等号.

则 x+y 的取值范围是(﹣∞,﹣2]. 故选 D. 点评: 利用基本不等式,构造关于某个变量的不等式,解此不等式便可求出该变量的取值范 围,再验证等号是否成立,便可确定该变量的最值,这是解决最值问题或范围问题的 常用方法,应熟练掌握. 8. (5 分) (2013?福建)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,如果输入某个正整数 n 后,输出的 S∈(10,20) ,那么 n 的值为( )

3

A.3

B.4

C .5

D.6

考点: 循环结构. 专题: 算法和程序框图. 分析: 框图在输入 n 的值后,根据对 S 和 k 的赋值执行运算,S=1+2S,k=k+1,然后判断 k 是否大于 n,不满足继续执行循环,满足跳出循环,由题意,说明当算出的值 S∈(10, 20)后进行判断时判断框中的条件满足,即可求出此时的 n 值. 解答: 解:框图首先给累加变量 S 赋值 0,给循环变量 k 赋值 1, 输入 n 的值后,执行 S=1+2×0=1,k=1+1=2; 判断 2>n 不成立,执行 S=1+2×1=3,k=2+1=3; 判断 3>n 不成立,执行 S=1+2×3=7,k=3+1=4; 判断 4>n 不成立,执行 S=1+2×7=15,k=4+1=5. 此时 S=15∈(10,20) ,是输出的值,说明下一步执行判断时判断框中的条件应该满 足, 即 5>n 满足,所以正整数 n 的值应为 4. 故选:B. 点评: 本题考查了程序框图中的循环结构,是直到型循环,即先执行后判断,不满足条件继 续执行循环,直到条件满足跳出循环,算法结束,是基础题.
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9. (5 分) (2013?福建)将函数 f(x)=sin(2x+θ) (

)的图象向右平移 φ ) ,

(φ>1) 个单位长度后得到函数 g (x) 的图象, 若f (x) , g (x) 的图象都经过点 P ( 则 φ 的值可以是( )

4

A.

B.

C.

D.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 求出平移后的函数解析式,利用两个函数都经过 P(0, ) ,解出 θ,然后求出 φ 即
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可. 解答: 解:函数 (x)=sin(2x+θ﹣2φ) , 因为两个函数都经过 P (0, 所以 g(x)=sin(2x+ ) , 所以 ﹣2φ)=

向右平移 φ 个单位,得到 g

, ,φ>1,所以 ﹣2φ=2kπ+

, ,

﹣2φ) ,sin(

φ=﹣kπ,与选项不符舍去, ﹣2φ=2kπ+ ,k∈Z,当 k=﹣1 时,φ= .

故选 B. 点评: 本题考查函数图象的平移, 函数值的求法, 考查分析问题解决问题的能力与计算能力.

10. (5 分) (2013?福建)在四边形 ABCD 中, 的面积为( A. ) B.

=(1,2) ,

=(﹣4,2) ,则该四边形

C .5

D.10

考点: 向量在几何中的应用;三角形的面积公式;数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 通过向量的数量积判断四边形的形状,然后求解四边形的面积即可. 解答: 解:因为在四边形 ABCD 中, , , =0, 所以四边形 ABCD 的对角线互相垂直,又 , 该四边形的面积: = =5. ,

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故选 C. 点评: 本题考查向量在几何中的应用,向量的数量积判断四边形的形状是解题的关键,考查 分析问题解决问题的能力. 11. (5 分) (2013?福建)已知 x 与 y 之间的几组数据如下表: x 1 2 3 4 y 0 2 1 3
5

5 3

6 4

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 = x+ 中的前两组数据(1,0)和(2,2)求 得的直线方程为 y=b′x+a′,则以下结论正确的是( ) A. B. C. >b′, >a′ >b′, <a′ <b′, >a′ 考点: 线性回归方程. 专题: 压轴题;概率与统计. 分析: 由表格总的数据可得 n, , ,进而可得
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D.

<b′, <a′

,和

,代入

可得 ,进而可得 ,再由直线方程的求法可得 b′和 a′,比较可得答案. 解答: 解:由题意可知 n=6, = = = , = = ,



=91﹣6×

=22,

=58﹣6× ×

=



故可得 =

= , =

=

﹣ × =



而由直线方程的求解可得 b′= 比较可得 <b′, >a′,

=2,把(1,0)代入可得 a′=﹣2,

故选 C 点评: 本题考查线性回归方程的求解,涉及由两点求直线方程,属中档题. 12. (5 分) (2013?福建)设函数 f(x)的定义域为 R,x0(x0≠0)是 f(x)的极大值点, 以下结论一定正确的是( ) A.?x∈R,f(x)≤f(x0) B. ﹣x0 是 f(﹣x)的极小值点 C. ﹣x0 是﹣f(x)的极小值点 D.﹣x0 是﹣f(﹣x)的极小值点 考点: 函数在某点取得极值的条件;函数的图象与图象变化. 专题: 压轴题;函数的性质及应用. 分析: A 项,x0(x0≠0)是 f(x)的极大值点,不一定是最大值点,故不正确; B 项,f(﹣x)是把 f(x)的图象关于 y 轴对称,因此,﹣x0 是 f(﹣x)的极大值点; C 项,﹣f(x)是把 f(x)的图象关于 x 轴对称,因此,x0 是﹣f(x)的极小值点; D 项,﹣f(﹣x)是把 f(x)的图象分别关于 x 轴、y 轴做对称,因此﹣x0 是﹣f(﹣ x)的极小值点. 解答: 解:对于 A 项,x0(x0≠0)是 f(x)的极大值点,不一定是最大值点,因此不能满足
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在整个定义域上值最大,故 A 错误; 对于 B 项,f(﹣x)是把 f(x)的图象关于 y 轴对称,因此,﹣x0 是 f(﹣x)的极大 值点,故 B 错误; 对于 C 项,﹣f(x)是把 f(x)的图象关于 x 轴对称,因此,x0 是﹣f(x)的极小值 点,故 C 错误; 对于 D 项,﹣f(﹣x)是把 f(x)的图象分别关于 x 轴、y 轴做对称,因此﹣x0 是﹣ f(﹣x)的极小值点,故 D 正确. 故选:D. 点评: 本题考查函数的极值,考查函数图象的对称性,考查学生分析解决问题的能力,属于 中档题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分.

13. (4 分) (2013?福建)已知函数 f(x)=

, 则 f(f(

) )= ﹣2 .

考点: 三角函数的化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用分段函数求出 f( )的值,然后求解
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即可.

解答: 解:因为 ,

所以 f( 所以

)=

=﹣1, =f(﹣1)=2(﹣1) =﹣2.
3

故答案为:﹣2. 点评: 本题考查函数值的求法,分段函数的应用,考查计算能力. 14. (4 分) (2013?福建)利用计算机产生 0~1 之间的均匀随机数 a,则事件“3a﹣1>0”发 生的概率为 .

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 本题考查的知识点是几何概型的意义,关键是要找出(0,1)上产生随机数 a 所对应 图形的长度,及事件“3a﹣1>0”对应的图形的长度,并将其代入几何概型计算公式, 进行求解. 解答: 解:3a﹣1>0 即 a> ,
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7

则事件“3a﹣1>0”发生的概率为 P= 故答案为: .

= .

点评: 几何概型的概率估算公式中的“几何度量”,可以为线段长度、面积、体积等,而且这 个“几何度量”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.

15. (4 分) (2013?福建)椭圆 Γ: 2c,若直线 y= 心率等于

=1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,焦距为

与椭圆 Γ 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离 .

考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的简单性质. 专题: 压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由直线 可知斜率为 ,可得直线的倾斜角 α=60°.又直线与椭圆 Γ 的
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一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1, 可得

, 进而



设|MF2|=m,|MF1|=n,利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得 ,解出 a,c 即可.

解答: 解:如图所示, 由直线 可知倾斜角 α 与斜率 有关系 =tanα,∴α=60°. , 又椭圆 Γ 的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1,∴ ∴ .

设|MF2|=m,|MF1|=n,则

,解得



∴该椭圆的离心率 e= 故答案为 .



8

点评: 本题综合考查了直线的斜率与倾斜角的关系、勾股定理、含 30°角的直角三角形的边 角关系、椭圆的定义、离心率等基础知识,考查了推理能力和计算能力即数形结合的 思想方法. 16. (4 分) (2013?福建)设 S,T 是 R 的两个非空子集,如果存在一个从 S 到 T 的函数 y=f (x)满足: (i)T={f(x)|x∈S}; (ii)对任意 x1,x2∈S,当 x1<x2 时,恒有 f(x1)<f(x2) ,那么称 这两个集合“保序同构”,现给出以下 3 对集合: * ①A=N,B=N ; ②A={x|﹣1≤x≤3},B={x|﹣8≤x≤10}; ③A={x|0<x<1},B=R. 其中,“保序同构”的集合对的序号是 ①②③ . (写出“保序同构”的集合对的序号) . 考点: 命题的真假判断与应用;子集与交集、并集运算的转换. 专题: 新定义;简易逻辑. 分析: 本题考查的是函数的性质, 由题意可知 S 为函数的一个定义域, T 为其所对应的值域, 且函数 y=f(x)为单调增函数, 对题目给出的三个命题中的集合对逐一分析看是否能找到这样的函数 y=f(x)即可. 解答: 解:对于命题①中的两个集合,可取函数 f(x)=x+1,x∈N,满足: (i)B={f(x) |x∈A}; (ii)对任意 x1,x2∈A,当 x1<x2 时,恒有 f(x1)<f(x2) ,故 A 是“保序同 构”;
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对于命题②中的两个集合,可取函数 对于命题③中的两个集合,可取函数 f(x)=

(﹣1≤x≤3) ,是“保序同构”; (0<x<1) ,是“保

序同构”. 故答案为①②③. 点评: 本题考查了命题的真假判断与应用,考查了子集与交集、并集运算的转换,考查了函 数值域的求法, 解答此题的关键是明白新定义“保序同构”指的是什么意思, 是基础题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分) (2013?福建)已知等差数列{an}的公差 d=1,前 n 项和为 Sn. (Ⅰ)若 1,a1,a3 成等比数列,求 a1; (Ⅱ)若 S5>a1a9,求 a1 的取值范围.
9

考点: 等差数列与等比数列的综合;不等关系与不等式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (I)利用等差数列{an}的公差 d=1,且 1,a1,a3 成等比数列,建立方程,即可求 a1;
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(II)利用等差数列{an}的公差 d=1,且 S5>a1a9,建立不等式,即可求 a1 的取值范 围. 解答: 解: (I)∵等差数列{an}的公差 d=1,且 1,a1,a3 成等比数列, ∴ ∴ ∴a1=﹣1 或 a1=2; (II)∵等差数列{an}的公差 d=1,且 S5>a1a9, ∴ ∴ ∴﹣5<a1<2. 点评: 本题主要考查等差数列、等比数列、不等式等基础知识,考查运算能力,考查函数与 方程思想,考查化归与转化思想,属于中档题. 18. (12 分) (2013?福建) 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, PD⊥平面 ABCD, AB∥DC, AB⊥AD, BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60°. (Ⅰ)当正视方向与向量 的方向相同时,画出四棱锥 P﹣ABCD 的正视图(要求标出尺

寸,并写出演算过程) ; (Ⅱ)若 M 为 PA 的中点,求证:DM∥平面 PBC; (Ⅲ)求三棱锥 D﹣PBC 的体积.

考点: 直线与平面平行的判定;简单空间图形的三视图;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)在梯形 ABCD 中,作 CE⊥AB,E 为垂足,则四边形 ADCE 为矩形,可得 AE=CD=3.由勾股定理求得 BE=3, 可得 AB=6. 由直角三角形中的边角关系求得 PD=AD?tan60°的值,从而得到四棱锥 P﹣ABCD 的 正视图. (Ⅱ)取 PB 得中点为 N,证明 MNCD 为平行四边形,故 DM∥CN.再由直线和平
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面平行的判定定理证得故 DM∥ 平面 PBC. (Ⅲ)根据三棱锥 D﹣PBC 的体积 VD﹣PBC=VP﹣BCD= S△ BCD?PD= (S 梯形 ABCD﹣ S△ ABD)?PD,运算求得结果. 解答: 解: (Ⅰ)在梯形 ABCD 中,作 CE⊥AB,E 为垂足, 则四边形 ADCE 为矩形,∴AE=CD=3. 直角三角形 BCE 中,∵BC=5,CE=AD=4, 由勾股定理求得 BE=3,∴AB=6. 在直角三角形 PAD 中,∵∠PAD=60°,AD=4,∴PD=AD?tan60°=4 四棱锥 P﹣ABCD 的正视图如图所示:



(Ⅱ)∵M 为 PA 的中点,取 PB 得中点为 N,则 MN 平行且等于 AB, 再由 CD 平行且等于 AB,可得 MN 和 CD 平行且相等,故 MNCD 为平行四边形, 故 DM∥CN. 由于 DM 不在平面 PBC 内,而 CN 在平面 PBC 内,故 DM∥平面 PBC. (Ⅲ)三棱锥 D﹣PBC 的体积 VD﹣PBC=VP﹣BCD= S△ BCD?PD = (S 梯形 ABCD﹣S△ ABD)?PD = [ ﹣ ]×4 =8 .

点评: 本题主要考查简单空间图形的三视图,直线和平面平行的判定定理,用等体积法求三 棱锥的体积,属于中档题. 19. (12 分) (2013?福建)某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人 300 名,25 周岁以下工 人 200 名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取
11

了 100 名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25 周岁)”和“25 周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分为 5 组:[50,60) , [60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100)分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方 图. 2 0.100 0.050 0.010 0.001 P(x ≥k) k 2.706 3.841 6.635 10.828

(Ⅰ)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人,求至少抽到一名“25 周 岁以下组”工人的概率; (Ⅱ)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成列联表, 并判断是否有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?附: (注:此公式也可以写成

k=

2



考 独立性检验;频率分布直方图;古典概型及其概率计算公式. 点: 专 概率与统计. 题: 分 (I)由分层抽样的特点可得样本中有 25 周岁以上、下组工人人数,再由所对应的频率 析:可得样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中,25 周岁以上、下组工人的人数分别为 3,2,由古典概型的概率公式可得答案; (II)由频率分布直方图可得“25 周岁以上组” 中的生产能手的人数,以及“25 周岁以下组”中的生产能手的人数,据此可得 2×2 列联 2 表,可得 k ≈1.79,由 1.79<2.706,可得结论. 解 解: (I)由已知可得,样本中有 25 周岁以上组工人 100× =60 名, 答:
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25 周岁以下组工人 100×

=40 名,

所以样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中, 25 周岁以上组工人有 60×0.05=3 (人) , 25 周岁以下组工人有 40×0.05=2(人) , 故从中随机抽取 2 名工人所有可能的结果共 =10 种,

12

其中至少 1 名“25 周岁以下组”工人的结果共 故所求的概率为: ;

+

=7 种,

(II)由频率分布直方图可知:在抽取的 100 名工人中,“25 周岁以上组”中的生产能手 有 60×0.25=15(人) , “25 周岁以下组”中的生产能手有 40×0.375=15(人) ,据此可得 2×2 列联表如下: 生产能手 非生产能手 合计 15 45 60 25 周岁以上组 15 25 40 25 周岁以下组 30 70 100 合计 所以可得 = = ≈1.79,

因为 1.79<2.706,所以没有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”. 点 本题考查独立性检验,涉及频率分布直方图,以及古典概型的概率公式,属中档题. 评: 20. (12 分) (2013?福建)如图,抛物线 E:y =4x 的焦点为 F,准线 l 与 x 轴的交点为 A.点 C 在抛物线 E 上,以 C 为圆心,|CO|为半径作圆,设圆 C 与准线 l 交于不同的两点 M,N. (Ⅰ)若点 C 的纵坐标为 2,求|MN|; 2 (Ⅱ)若|AF| =|AM|?|AN|,求圆 C 的半径.
2

考点: 抛物线的标准方程;圆的标准方程;直线与圆的位置关系. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (I)由抛物线的方程表示出焦点 F 的坐标及准线方程,求出 C 到准线的距离,再利 用圆中弦长公式即可求出|MN|的长;
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(II)设 C(

,y0) ,表示出圆 C 的方程方程,与抛物线解析式联立组成方程组,
2

设 M(﹣1,y1) ,N(﹣1,y2) ,利用韦达定理表示出 y1y2,利用|AF| =|AM|?|AN|, 得|y1y2|=4,解得 C 的纵坐标,从而得到圆心 C 坐标,由两点间的距离公式求出|OC| 的长,即为圆的半径. 2 解答: 解: (I)抛物线 E:y =4x 的准线 l:x=﹣1,
13

由点 C 的纵坐标为 2,得 C(1,2) ,故 C 到准线的距离 d=2,又|OC|= ∴|MN|=2 = =2.



(II)设 C(

,y0) ,则圆 C 的方程为(x﹣

) +(y﹣y0) =

2

2



即x ﹣

2

+y ﹣2y0y=0,由 x=﹣1 得 y ﹣2y0y+1+

2

2

=0,

设 M(﹣1,y1) ,N(﹣1,y2) ,则



由|AF| =|AM|?|AN|,得|y1y2|=4, ∴1+ =4,解得 y0= ,此时△ >0 ) ,|OC| =
2

2

∴圆心 C 的坐标为( , 从而|OC|= . .



即圆 C 的半径为

点评: 此题考查了圆的标准方程,涉及的知识有:抛物线的简单性质,韦达定理.其中根据 题意确定出圆心与半径是解本题的关键. 21. (12 分) (2013?福建)如图,在等腰直角△ OPQ 中,∠POQ=90°,OP=2 ,点 M 在 线段 PQ 上, (Ⅰ)若 OM= ,求 PM 的长; (Ⅱ)若点 N 在线段 MQ 上,且∠MON=30°,问:当∠POM 取何值时,△ OMN 的面积最 小?并求出面积的最小值.

考点: 解三角形;正弦定理;余弦定理. 专题: 计算题;压轴题;转化思想;解三角形. 分析: (Ⅰ)在△ OMP 中,利用∠OPM=45°,OM= 的长;
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,OP=2

,通过余弦定理,求 PM

14

(Ⅱ)利用正弦定理求出 ON、OM,表示出△ OMN 的面积,利用两角和与差的三角 函数化简函数我一个角的一个三角函数的形式,通过角 α 的范围,得到相位的范围, 然后利用正弦函数的值域求解三角形面积的最小值,求出面积的最小值. 解答: 解: (Ⅰ)在△ OMP 中,∠OPM=45°,OM= ,OP=2 , 2 2 2 由余弦定理可得,OM =OP +MP ﹣2×OP?MPcos45°, 解得 PM 的长为 1 或 3; (Ⅱ) 设∠POM=α, 0°≤α≤60°, 在△ OMP 中, 由正弦定理可得: OM= 同理,ON= 故 , = , ,

= = =

=

=

=

因为 0°≤α≤60°,所以 30°≤2α+30°≤150°, 所以当 α=30°时,sin(2α+30°)的最大值为 1, 此时,△ OMN 的面积最小,面积的最小值 .

点评: 本题考查正弦定理与余弦定理在三角形中的应用,两角和与差的三角函数的应用,三 角形的最值的求法,考查计算能力与转化思想的应用.

15

22. (14 分) (2013?福建)已知函数 f(x)=x﹣1+

(a∈R,e 为自然对数的底数) .

(Ⅰ)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线平行于 x 轴,求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的极值; (Ⅲ)当 a=1 时,若直线 l:y=kx﹣1 与曲线 y=f(x)没有公共点,求 k 的最大值. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 综合题;压轴题;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)依题意,f′(1)=0,从而可求得 a 的值; (Ⅱ)f′(x)=1﹣

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,分①a≤0 时②a>0 讨论,可知 f(x)在∈(﹣∞,lna)上单

调递减,在(lna,+∞)上单调递增,从而可求其极值; (Ⅲ)令 g(x)=f(x)﹣(kx﹣1)=(1﹣k)x+ ,则直线 l:y=kx﹣1 与曲线 y=f

(x)没有公共点?方程 g(x)=0 在 R 上没有实数解.分 k>1 与 k≤1 讨论即可得答 案. 解答: 解: (Ⅰ)由 f(x)=x﹣1+ ,得 f′(x)=1﹣ ,又曲线 y=f(x)在点(1,f(1) ) 处的切线平行于 x 轴, ∴f′(1)=0,即 1﹣ =0,解得 a=e.

(Ⅱ)f′(x)=1﹣



①当 a≤0 时,f′(x)>0,f(x)为(﹣∞,+∞)上的增函数,所以 f(x)无极值; x ②当 a>0 时,令 f′(x)=0,得 e =a,x=lna, x∈(﹣∞,lna) ,f′(x)<0;x∈(lna,+∞) ,f′(x)>0; ∴f(x)在∈(﹣∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增, 故 f(x)在 x=lna 处取到极小值,且极小值为 f(lna)=lna,无极大值. 综上,当当 a≤0 时,f(x)无极值;当 a>0 时,f(x)在 x=lna 处取到极小值 lna, 无极大值. (Ⅲ)当 a=1 时,f(x)=x﹣1+ ,令 g(x)=f(x)﹣(kx﹣1)=(1﹣k)x+ ,

则直线 l:y=kx﹣1 与曲线 y=f(x)没有公共点, 等价于方程 g(x)=0 在 R 上没有实数解. 假设 k>1,此时 g(0)=1>0,g( )=﹣1+ <0,

又函数 g(x)的图象连续不断,由零点存在定理可知 g(x)=0 在 R 上至少有一解, 与“方程 g(x)=0 在 R 上没有实数解”矛盾,故 k≤1. 又 k=1 时,g(x)= 所以 k 的最大值为 1.
16

>0,知方程 g(x)=0 在 R 上没有实数解,

点评: 本题考查利用导数研究函数的极值,考查利用导数研究曲线上某点切线方程,突出分 类讨论思想与等价转化思想的综合运用,属于难题.

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