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石家庄市2015届高三复习教学质量检测二理科数学试卷及答案


2014-2015 学年度高三数学质检二答案
一、 选择题 1-5 DABAD 6-10 CCBCB 二、填空 13. 15 16. 11-12 AB

2x ? y ? 0
-10

14.

[1,3]

?0,2

6 ?2 2

/>?

注意:此题如果写成 0, 32 ? 16 3 也可以

?

?

三、解答题(解答题如果和标准答案不一样,可依据本标准酌情给分) 17.解: (Ⅰ)∵ a2 ? 2bc cos A ? (b ? c)2 ,
2 2 2 又根据余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A ,

∴ b ? c ? 2bc cos A ? 2bc cos A ? b ? 2bc ? c ,…………………………2 分
2 2 2 2

化简得 ?4bc cos A ? 2bc , 可得 cos A ? ?

1 , 2

……………………………………………………………………4 分

∵ 0 ? A ? ? ,∴ A ?

2? .……………………………………………………………………5 分 3

(Ⅱ)∵ sin B ? sin C ? 1 , ∴ sin B ? sin( ∴ sin B ? sin ∴ sin

?
3

? B) ? 1 , cos B ? cos

?

?
3

?
3

3

sin B ? 1 ,

cos B ? cos

?
3

sin B ? 1 ,
……………………………………………………………………8 分

∴ sin( B ?

?
3

) ? 1,

又∵ B 为三角形内角, 故B ?C ?

?

6 b ? c ? 2 , ……………………………………………………………………………10 分 所以 1 所以 S ?ABC ? bc sin A ? 3 . …………………………………………………………12 分 2
3 18. 解: (Ⅰ) 从这 18 天中任取 3 天,取法种数有 C18 ? 816 ,

,

2 1 3 3 天中至少有 2 个 A 类天的取法种数 C3 C15 ? C3 ? 46



..... ....2 分

所以这 3 天至少有 2 个 A 类天的概率为
(Ⅱ)X 的一切可能的取值是 3,2,1,0.

23 ; 408

.............................. ..4 分 ……………… 5分

当 X=3 时, P( X ? 3) ?

3 C8 7 ? 3 C18 102 1 C82C10 35 ? 3 C18 102

…………………… 6 分

当 X=2 时, P( X ? 2) ?

……………………

7分

1 2 C8 C10 45 15 当 X=1 时, P( X ? 1) ? ? ? 3 C18 102 34 3 C10 15 5 ? ? 3 C18 102 34

………………

8分

当 X=0 时, P( X ? 0) ? X 的分布列为 X P 数学期望为

…………… 9 分

3 7/102

2 35/102

1 15/34 ……………12 分

0 5/34 ……………11 分

21 ? 70 ? 45 136 4 ? ? . 102 102 3

19.解: (Ⅰ)证明:在侧面 A1ABB1 中,因为 A1A=AB , 所以四边形 A1ABB1 为菱形,所以对角线 AB1⊥A1B,…………………………………2 分 因为侧面 A1ABB1⊥底面 ABC,∠ABC=900,所以 CB⊥侧面 A1ABB1, 因为 AB1 ? 平面 A1ABB1 内, 所以 CB⊥AB1,…………………………4 分 又因为 A1B∩BC=B,所以 AB1⊥平面 A1BC. …………………………………6 分 z (Ⅱ) 在 Rt△ABC 中, AC=5, BC=3, 所以 AB=4, 又菱形 A1ABB1 中,因为∠A1AB=600, 所以△A1AB 为正三角形, 如图,以菱形 A1ABB1 的对角线交点 O 为坐标原点 OA1 方向为 x 轴, OA 方向为 y 轴, 过 O 且与 BC 平 行的方向为 z 轴建立如图空间直角坐标系, 则A 1 (2,0,0) , B ( ?2, 0, 0) , C ( ?2, 0,3) ,

C1

C

B1 x A1 O

B y A

B1 (0, ?2 3,0) , C1 (0, ?2 3,3) ,
所以 C1C ? (?2, 2 3,0) , C1 A 1 ? (2,2 3, ?3) ,设

???? ?

???? ?

? ???? ? ? ? ? C1C ? 0 ? n? ? ?2 x ? 2 3 y ? 0 的法向量,则 ,所以 ,令 x ? 3 ,得 n ? ( x, y, z) 为平面 ACC ? ???? ? ? ? 1 1 C1 A1 ? 0 ? ? ?2 x ? 2 3 y ? 3z ? 0 ? n? ? 为平面 ACC n ? (3, 3, 4) 1 1 的一个法向量,…………………………………9 分

又 OB1 ? (0, ?2 3,0) 为平面 A1 BC 的一个法向量,

????

? ???? ? ???? n? OB1 ?6 21 cos ? n, OB1 ?? ? ???? ? ?? . ,……………………………11 分 14 n ?OB1 2 7 ?2 3
所以二面角 B—A1C—C 1 的余弦值为 ?

21 .…………………………………12 分 14

法 2: 在平面 A1 BC 中过点 O 作 OH ⊥ A1C 于 H ,连接 AH ,则 C1 C

A1C ⊥平面 AOH ,所以∠ AHO 即为二面角 B—A1C—A
的平面角,…………………………………………………… 8 分 B1 A1 在△ A1 BC 中 OH ?

H O

B

A

A1O ? BC 6 ? , A1C 5

又 Rt△ AOH 中 AO ? 2 3 ,所以 AH ?

AO2 ? OH 2 ?

4 21 , 5

所以 cos ?AHO ?

21 ,………………………………………………………………11 分 14

因为二面角 B—A1C—C 1 与二面角 B—A1C—A 互补, 所以二面角 B—A1C—C 1 的余弦值为二面角 B—A1C—A 的余弦值的相反数, 则二面角 B—A1C—C 1 的余弦值为 ? 20.解: (Ⅰ)由 x ? 4( y ? b) 得 y ?
2

21 .………………………………12 分 14
1 2 x ? b ,当 y ? b ? 1 得 x ? ?2 , 4

?

G 点的坐标为 (2, b ? 1) ,则 y ' ?

1 x , y ' |x ? 2 ? 1 , 2

过点 G 的切线方程为 y ? (b ? 1) ? x ? 2 即 y ? x ? b ? 1 ,………………………2 分 令 y ? 0 得 x ? 1 ? b ? 0 ,?

b ? 1。

x2 ? y 2 ? 1。 即椭圆的方程为 4
(Ⅱ)解法一:椭圆的方程为

……………4 分

x2 ? y 2 ? 1, y ? kx . 4

? x2 2 ? ? y2 ? 1 依题意有 k ? 0 ,设 C ( xC,kxC ) ,由 ? 4 得: xC ? ,………6 分 2 1 ? 4 k ? y ? kx ?
1 1 S ACFD ? S?CFD ? S?CDA ? ? OF ? 2 xC ? ? OA ? 2kxC 2 2

? 2(1 ? k ) xC ?

4(1 ? k ) 1 ? 4k 2

?4

(1 ? k )2 (*)……………………………………8 分 1 ? 4k 2
1 t

令 t ? 1 ? k , k ? t ? 1 , t ? (1, ??) , ? (0,1) ,则

(1 ? k ) 2 1 5 ? ? , 2 1 1 1 ? 4k 5( ) 2 ? 8( ) ? 4 4 t t
当且仅当 t ?

……………………………………10 分

5 1 , k ? 时,等号成立。 4 4

∴ S ACFD ? 2 5 , ∴ 四边形 ACFD 面积的最大值为 2 5 ,

l 的方程为 y ?

1 x .…………………………………12 分 4

解法二:设 C ( xC,kxC ) ,则 xC ?

2 1 ? 4k 2

, yC ?

2k 1 ? 4k 2



1? k 2 。 CD ? 4 1 ? 4k 2

……………………………………6 分

点 A 到 CD 的距离为 h1 ?

2k 1? k 2 2 1? k 2



点 F 到 CD 的距离为 h2 ?



…………………………………8 分

1 4(1 ? k ) (1 ? k ) 2 S ACFD ? S?CFD ? S?CDA ? ? CD ? ? h1 ? h2 ? ? , ?4 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
令 t ? 1 ? k , k ? t ? 1 , t ? (1, ??) , ? (0,1) ,则

1 t

5 1 (1 ? k ) 2 1 5 ? ? ,当且仅当 t ? , k ? 时,等号成立。………10 分 2 1 1 4 4 1 ? 4k 5( ) 2 ? 8( ) ? 4 4 t t


S ACFD ? 2 5 ,

∴ 四边形 ACFD 面积的最大值为 2 5 ,

l 的方程为 y ?

1 x。 4

…………………………………12 分 ……………8 分

解法三:设 C ( xC,yC ) ,则 S ACFD ? S?CFD ? S?CDA ? 2( xC ? yC ) , 设? ∴

? xC ? 2cos? ? , ? ? (0, ) , 2 ? yC ? sin ?

SA C F D ? 2 (x C ?y C ) ? 4 co ?s ? 2 s ?i n?
5 2 5 ,sin ? ? , 5 5
2

,………………… 10 分 2 5 ?s i? n ?( )

其中 cos ? ? ∵

? ? ? ?( 0 , , ) ∴ ? ? ? ?( ?, ? ?) , S ACFD ? 2 5 ,
2

? 4 5 ? xC ? 2cos ? ? ? ? ? 5 此时 ? ? ? ? , ? ? ? ? , ? 。 2 2 5 ? y ? sin ? ? C ? 5 ?


S ACFD ? 2 5 .

∴ 四边形 ACFD 面积的最大值为 2 5 ,

l 的方程为 y ?

1 x. 4

……………………………12 分

21.解:(Ⅰ)当 m = - 2 时, f ( x ) = x ln x + x 2 - x = x ( ln x + x - 1 ) , x > 0 . 设 g (x ) = ln x + x - 1 , x > 0 , 则 g ?( x ) = 数. ………………2 分

1 + 1 > 0 , 于 是 g ( x ) 在 ( 0, + ? x

) 上 为增 函

又 g (1) = 0 ,所以, g ( x ) 有唯一零点 x = 1 . 从而,函数 f ( x ) 有唯一零点 x = 1 . ………………4 分

(Ⅱ) 欲证 x1 x2 ? e 2 ,需证 ln x1 ? ln x2 ? 2 若 f ( x ) 有两个极值点 x 1, x 2 ,即函数 f ?( x ) 有两个零点. 又 f ?(x ) = ln x - mx ,所以, x 1, x 2 是 方程 f ?(x ) = 0 的两个不同实根. 于是,有 ? í

ì ln x 1 - mx 1 = 0 ? ln x1 + ln x 2 .解之得, m = . ? ln x 2 - mx 2 = 0 x1 + x 2 ? ? ì ln x 1 - mx 1 = 0 ? 得, ln x 2 - ln x1 = m (x 2 - x1 ) , ? ln x mx = 0 2 2 ? ?

另一方面,由 ? í

从而可得,

ln x 2 - ln x 1 ln x 1 + ln x 2 .………………6 分 = x 2 - x1 x1 + x 2

于是, ln x 1 + ln x 2 =

( ln x 2 -

ln x 1 )( x 2 + x 1 ) x 2 - x1

骣 x2 ÷ x2 ? ÷ ?1 + ÷ln x ? 桫 x1 ÷ 1 . = x2 - 1 x1

又 0 < x1 < x 2 ,设 t =

x2 x1

,则 t > 1 .

因此, ln x 1 + ln x 2 =

(1 + t ) ln t
t- 1

, t > 1 .………………8 分

要证 ln x1 ? ln x2 ? 2

即证:

(t + 1) ln t
t- 1

> 2 , t > 1 .即:

当 t > 1 时,有 ln t >

2 (t - 1 ) t + 1 2 (t - 1 ) t + 1

.

设函数 h (t ) = ln t -

, t ? 1 .………………10 分
2

(t - 1 ) 1 2 (t + 1 ) - 2 (t - 1 ) = ? 0, 则 h ?(t ) = 2 2 t t (t + 1 ) (t + 1 )
所以, h (t ) 为 (1, + ?

) 上的增函数.注意到, h (1) =
2 (t - 1 ) t + 1
.

0 .因此, h (t ) ? h (1)

0.

于是,当 t > 1 时,有 ln t >

所以,有 ln x1 + ln x 2 > 2 成立,即 x1x 2 > e2 .………………12 分 22.选修 4-1:几何证明选讲 证明: (Ⅰ)如图: 直线 PA 与圆 O 相切于点 A

A E G C O F D B P

\ ? PAB ? APE

?C

? CPE ………………………………………2 分

? ADE ? PAB ? APE ? AEP ? C ? CPE …………………………4 分 \ ? ADE ? AEP
G是的DE的中点 ……………………………5 分 \ AF ^ ED
(Ⅱ)直线 PA 与圆 O 相切于点 A

PA2 = PB? PC …………………7 分

PA = PF =

1 PC …………………………9 分 2

1 PC 2 = PB ? PC 4 PC = 4PB PB 1 = ………………………10 分 PC 4
23.选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ)消去参数可得 C1:y 2 = 4 x, ………………2 分

C2 : x - y - 1 = 0 …………………4 分
(Ⅱ) 设A( x1 , y1 ), B x2 , y2 ,且AB中点为P x0 , y0 ,
2 ì ? y = 4 x, 联立可得 x 2 - 6 x +1 = 0 í ? ? x - y - 1 = 0,

(

)

(

)

x1 + x2 = 6, x1 x2 = 1,
ì x +x ? x0 = 1 2 = 3 ……………………6 分 \ í 2 ? y =2 ? 0

AB

a = 1时 3 x +1 + 3 x - 1 ? 8


ì ? x =3? 中垂线的参数方程 í ? ? y =2+ ? ?

2 t 2 t为参数 2 t 2

(

)

(1)

y 2 ? 4x

(2)

………………………8 分

1 (1)带入(2)中 时 3 t2 + 8 2t - 16 = 0 \ t1 ?t2 -(3x +1)-3(x - 1) ? 8 x? 1 \ PE ? PF t1 ?t2 16 \ x? 1 ……………………10 分 1 24. 选 修 4-5:不等式选讲 当 - < x < 1时 3 解 : (Ⅰ) 3x +1-3(x - 1) ? 8 当x ? 无解 当1 ? x时 3x +1+3(x - 1) ? 8 5 \ x? 3

- 16

……………………………………………………3 分

综上可得x ?

(

轹 5 ? , 1] ? ê , ? ÷ ÷………………………………5 分 ê 3 滕

(Ⅱ) f ( x) = 3x +

骣 1 1 +3 x - a ? 琪 3x - ( 3x - 3a) ………………7 分 琪 a 桫 a

=

1 + 3a 吵 2 3 a

m ………………9 分

1 3 \ 当 =3a即a = 时,m的最大值为2 3 …………………10 分 a 3


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