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浅议高中数学教学中类比思想的渗透


湖州市数学学会2012年优秀论文评选

类比思想在数学教学中的渗透
湖州五中——沈小红
摘要:本文主要阐述了类比思想在教学中的渗透,利用类比联系新旧知识 ,利用结构相似 构造类比 ,抓住图象的相似进行类比渗透。 关键词:数学 类比 类比思想是将两个以上事物进行比较,找出事物之间的类似之处,然后再据此推出它 们在其它地方的类似之处,或综合它们的特征进行类比。类比思想包括两方面的含义: (1) 联想,即由新信息引起的对已有知识的回忆; (2)类比,在新、旧信息间找相似和相异的地 方,即异中求同或同中求异。通过类比,在类比中联想,从而升华思维,既有模仿又有创新。 在高中数学教学中运用类比思想,可激发学生的学习兴趣,调动学生的学习积极性,使他们 的记忆理解能力、 分析推理能力等多种智力因素得到充分发挥和发展, 从而使整个思维活动 在课堂中处于最积极、最活跃的状态,发展学生个性,提高学生的学科探究能力、综合解题 能力,落实学科素质教育。本人结合教学实践,就如何渗透类比思想谈谈自己的看法: 一、利用类比联系新旧知识,揭示概念内涵。 数学中的概念很多,有些理解起来很抽象。对我们普通中学学生来说,不少同学因此感 到困难。新课程通常通过强化数学知识的实际背景来帮助学生理解概念,其实,对于某些内 容,如果能利用类比,把新旧概念结合起来考虑,则可大大降低理解的难度。 例1:在研究数列时,由于等差数列与等比数列在定义和通项公式等方面很相似,因此可以 考虑运用类比的方法由等差数列的性质来发现等比数列的性质。 等差数列定义: 一个数列从 第2项起,每一项与前一项的差等于同一个常数,即a-a=d(n≥2,n∈N,d为常数) ,这个数 列叫做等差数列,这个常数d叫做等差数列的公差,通项公式为a=a+(n-1)d;等比数列定 义:一个数列从第2项起,每一项与前一项的比等于同一个常数,即a/a=q(n≥2,n∈N,d 为常数) ,这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通项公式为a=a?q。从两 个定义上比较目标物与类比物的相似之处,一个是与减有关,一个是与除有关;通项公式一 个是和的形式,一个是积的形式。此时引导学生运用类比的思想去考虑和与差,商与积,教 师可启发学生去回忆等差数列的相关性质,并思考:如果是等比数列,那相应的性质又应该 如何改变呢? 如{a} , {b}成等差数列,有如下性质: (1)若m+n=p+q,则a+a=a+a; (2) {a+k} , {a+b} 仍成等差数列。运用类比思想方法,学生可得到: {a} , {b}成等比数列,有如下性质: (1) 若m+n=p+q,则a?a=a?a; (2) {k?a} (k≠0) , {a?b}仍成等比数列,等等。这样使学生对新 知识有似曾相识的亲近感,深化了教学内容,同时也培养了学生严谨的学习习惯。类比的方 法有时是获得发现和发明的重要方法。 例2:在讲述二面角的概念时,可以设计以下类比教学方式: 1、让学生回答平面内的角是如何定义的?(答:如图,OA 绕O 点旋转到 OB 位置形成角AOB,这个角包括点O,射线OA、OB。) 2、如果O 点变成直线OO1,OA 变成面α ,那么α 绕OO1 旋转到某位置时 形成一个什么图形?(学生回答:包括两个面α 和β 、直线OO1 的图形。教师 同时把笔记本电脑(看作两个面)打开,做演示。如下图所示)

B B

β
A O

O A O1

α

这样,通过类比,把平面知识与空间知识有机地联系在一起,易使学生深刻理解二面角概念 的内涵。 利用类比,把点所具有的特点推广到线、线所具有的特点推广到面、面所具有的特点推 广到空间,实际上是充分利用学生已经掌握的平面几何知识,去猜测、推导、理解相关的立 体几何知识。这种渗透类比思想的方法,不仅可以在立体几何的教学中采用,也可以在其它 内容的教学中采用。 例3:在讲授直线和圆的位置关系时,可以设计如下类比: 1、点和圆的位置关系如何判定?(教师可以设计一组习题让学生答出:利用圆心到点的距 离d 来判断, 即d 等于半径, 点在圆上; d 大于半径, 点在圆外; d 小于半径, 点在圆内。 ) 2、如何判断直线与圆的位置关系?(教师引导学生利用类比,很自然地猜测圆心C 到直线 的距离d 等于半径r,直线与圆相切;d 大于半径r,直线与圆相离;d 小于半径r ,直线与 圆相交。) 因此,在进行某些概念教学时,只要留意,还是有机会通过构造导入方式,适当渗透类 比思想的。 二、利用结构相似构造类比,加深对公式的理解,启迪解题思路。 数学是由许多公式组成的,在分析公式的结构中,利用结构相似进行类比思想的渗透, 也是常用的教学方法。用得好,还可以加深学生对公式的理解和记忆。例4:两个角的和与 差正弦公式sin(α +β )=sinα ?cosβ +cosα ?sinβ ,sin(α -β ) =sinα ?cosβ -cosα ?sinβ ,两个角的和与差的余弦公式cos(α +β ) =cosα ?cosβ -sinα ?sinβ ,cos(α -β )=cosα ?cosβ +sinα ?sinβ 。它们具有相似的数 学形式和运算规律。 通过类比, 学生们对公式记得牢, 使用条件清晰, 运算起来也就熟练了。 利用三角公式的结构进行类比是高中数学中常用的方法, 因此, 教师要充分抓住三角教 学的机会,有意识地渗透类比思想,这样不仅可以加深学生对三角公式的理解,而且可以启 迪学生的思维,引导他们探讨新的解题思路。 例5:求函数 y ?

x 2 ? 1 ? x 2 的值域。

分析:问题的关键是如何设法化成熟悉的函数形式,从而解决根号的问题。可先让学生 观察已知函数的定义域[-1,1],再询问什么三角函数的定义域是 [-1,1]?由于正、余弦函

数的定义域都是[-1,1],而 sin ? ? cos ? ? 1 常见的变形结构恰好与题目相似,学生在老
2 2

师的启发下比较容易将x 同正、余弦函数类比。 解:设 x ? sin ? , ? ? [0,
2 2

?
2

], 则y ? sin ? ? cos ? ? 2 sin(? ?

?

?

?
4

?? ?

?
4

?

3? ,? y ? [1, 2 ] 故所求函数y的值域为 [1, 2 ] 。 4

), 又? ? [0, ] , 4 2

?

利用三角公式进行类比渗透时,要注意控制难度,要使学生能从熟悉的公式中,自觉地 进行类比。 例 6:在四面体 ABCD 内部有一点 O,使得直线 AO,BO,CO,DO 与四面体的面 BCD,CDA,DAB,

AO BO CO DO ? ? ? ?K A O B O C O D O 1 1 1 ABC 分别交于 A1、B1、C1、D1 四点,且满足 1 ,求 K 可能的取
值。 分析:立体几何中的四面体,可以与平面几何中的三角形类比,四面体的面可以与三角 形的边类比,于是命题可以从“△ABC 内部有一点 O,使得直线 AO、BO、CO 与三角形的三边

AO BO CO ? ? ?K A O B O C O 1 1 1 BC、CA、AB 交于点 A1、B1、C1,且满足 求 K 的可能取值”的推理过
程探求思考途径,在平面几何中

S? S? AA1 S ? B CA BB CC ? ? K ? 1, 1 ? A BC ? K ? 1, 1 ? A BC ? K ? 1, A1O S ?OBC B1O S ?OCA C1O S ?OAB
S ?OBC ? S ?OCA ? S ?OAB 3 ? ?1 S K ? 1 ? ABC 且 ,于是 K=2
三、抓住图象的相似,进行类比渗透 数与形是事物的两个方面,正是基于对数与形的抽象研究才产生了数学这门学科。数 形结合就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来, 实现抽象概念与具体形象的联系与转换,实现从难到易,从抽象到直观的化归。正如华罗庚 先生所说:“数与形,本是两倚依,焉能分作两边飞?”。用数形结合思想,一些几何问题 可以用代数方法处理, 这个方面通过笛卡尔的坐标系产生了一门新的数学── 《解析几何》 ; 另一方面是代数问题又可以用几何图形或函数图象解决。 数形结合使人充分运用了左、 右脑 的思维功能。 例 7:己知 f(x)=2 x +b 的反函数为 f(x),若 y= f(x)的图象经过点 Q(5,2) ,则 b=__________.此题如按常规,先求出 f(x)的反函数 f(x),再把点 Q 的坐标代入 y= f(x)解 出 b,则过程繁索。若能数形结合,利用反函数的图象与原函数的图象关于 y=x 直线对称, 就有点 Q(5,2)关于直线 y=x 的对称点 Q(2,5)应在函数 f(x)=2 x +b 的图象上,所以 只要把 Q 的坐标代入方程 f(x)=2+b 就可以很容易的求出 b。 例 8:函数 y=2sin(2x+
3 3

? )(x[-π ,0])的单调递减区间是____________________.本题尽管有 4

通过函数 sinx 的单调递减区间求 sin(2x+

? )的单调递减区间的方法, 并且一些资料的例题 4

解法也是如此。在后来要去确定整数 k 的取值,学生在确定 k 的取值时经常出错。如果利用 数形结合,画一下图象,就能准确而快速地解答此题。 总之,在高中数学教学中紧紧抓住相似、相近概念、图形、运算与推理等,广泛运用类 比思维这一突出特点,积极运用类比法进行教学,提高教学效益。充分利用在数学历史上数 学家运用类比思维实现知识创新的生动事例,利用教材编写中对知识点进行类比处理的素 材,积极对高中数学中相似题型的解题方法进行类比,对学生进行类比思维的熏陶和培养。 设置类比性习题,加强类比训练,促进学生类比思维的形成,提高学生的创新素质,努力实 现素质教育与创新教育的要求。 参考文献: 1《发现相似 大胆联想》----- 孔伟利,河北邯郸二中,刊于中国学术期刊(光盘版)电 子杂志社; 2《捕捉信息特征 巧用类比解题》----王琪,江苏省盐城中学,刊于中国学术期刊(光盘 版)电子杂志社; 3《普通高中课程标准试验教科书—数学》-----江苏教育出版社。


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