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河北省大名县第一中学2015-2016学年高二数学下学期第一次月考试题 理


河北省大名县第一中学 2015-2016 学年高二数学下学期第一次月考试题 理
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 1.下列事件中,不是随机事件的是( A.东边日出西边雨 2.i 是虚数单位, A.1+i ) D.梅子黄时日日晴

B.下雪不冷化雪冷 C.清明时节雨纷纷


(?1 ? i)(2 ? i) 等于 i3
B.-1-i
'

C.1+3i ) C
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D.-1-3i

3.若 f ( x) ? sin ? ? cos x ,则 f (? ) 等于( A
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sin ?

B

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cos?

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sin ? ? cos ?

D

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2 sin ?

4.记者要为 5 名志愿都和他们帮助的 2 位老人拍照,要求排成一排,2 位老人相邻但不排在两端, 不同的排法共有( A. 480 种 ) B. 720 种 C. 960 种 D. 1440 种

5.一同学在电脑中打出如下若干个圆:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●?,若依此规 律继续下去,得到一系列的圆 ,则在前 2 012 个圆中共有●的个数是( A.61 6.曲线 f ( x) ? A. ?
6



B.62

C.63 )

D.64

1 3 x ? x 2 ? 5 在 x ? 1 处的切线倾斜角是( 3
B. ?
3

C. ?
4
n

D. 3?
4
*

7.用数学归纳法证明(n+1) (n+2)?(n+n)=2 ·1·3?(2n-1) (n∈N )时,从“n=k 到 n=k+1”左边需增乘的代数式为( A.2k+1 B.2(2k+1) ) C. D.

8.设随机变量 ? ~ B(5, 0.5) ,又? ? 5? ,则 E? 和 D? 的值分别是( )

A.

25 25 和 2 4

B.

5 5 和 2 4

C.

25 125 和 4 2

D.

25 125 和 4 4

9.已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁.在某天的某个时段,他们每人各做一项工作, 一人在查资 料,一人在写教案,一人在批改作业,另一人在打印 材料. 若下面 4 个说法都是正确的: ①甲不在查资料,也不在写教案; ②乙不在打 印材料,也不在查资料;
1

③丙不在批改作业,也不在打印材料;

④丁不在写教案,也不在查资料.

此外还可确定:如果甲不在打印材料,那么丙不在查资料.根据以上信息可以判断 A.甲在打印材料 B.乙在批改作业 C.丙在写教案 D.丁在打印材料

10.今 有某种 产品 50 个,其中一级品 45 个,二级品 5 个,从中取 3 个,出现二级品的概率是
3 C5 3 A. C50 1 3 C5 ? C52 ? C5 3 C50 B. 3 C 45 3 C. C50 1 2 1 C5 C 45 ? C52 C 45 3 C50 D.

11. 在一个不透明的袋子里, 有三个大小相等小球 (两黄一红) , 现在分别由 3 个同学无放回地抽取, 如果已知第一名同学没有抽到红球,那么最后一名同学抽到红球的概率为 ( A. )

1 3
10

B.

2 3
2

C.

1 2
10

D.无法确定

12.已知 ?1 ? x ? ? a0 ? a1 ?1 ? x ? ? a2 ?1 ? x ? ? L ? a10 ?1? x ? ,则 a8 等于( ) A.-5 B.5 C.90 D.180

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13.若随机变量η 的分布列如下:

?
P

?2
0.1

?1
0.2

0 0.2

1 0.3

2 0.1

3 0.1

则当 P(? ? x) ? 0.8 时,实数 x 的取值范围是 14.

?

2

?2

4 ? x 2 dx 的值为 _____________
2

15. f ? x ? ? x ? x ? c ? 在 x ? 2 处有极大值,则常数 c 的值为_____. 16.如图,阴影部分的面积是_________.

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或计算步骤 。 17. (本小题满分 10 分) 设函数 f ( x) ? x ? 6 x ? 5 , x ? R
3

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ? ?2, 2? 上的最值.

18. (本小题满分 12 分)

2

2012 年中华人民 共和国环境保护部批准《环境空气质量标准》为国家环境质量标准,该标准增设和 调整了颗粒物、二氧化氮、铅、笨等的浓度限值,并从 2016 年 1 月 1 日起在全国实施.空气质量的 好坏由空气质量指数确定,空气质量指数越高,代表空气污染越严重,某市对市辖的某两个区加大 了对空气质量的治 理力度,从 2015 年 11 月 1 日起监测了 100 天的空气质量指数,并按照空气质量 指数划分为:指标小于或等于 115 为通过,并引进项目投资.大于 115 为未通过,并进行治理.现 统计如下. 空气质量指数 空气质量类别 甲区天数 乙区天数

(0,35]
优 13 8

(35,75]
良 20 32

(75,115]
轻度污染 42 40

(115,150]
中度污染 20 16

(150, 250]
重度污染 3 2

? 250
严重污染 2 2

(Ⅰ)以频率值作为概率值,求甲区和乙区通过监测的概率; (Ⅱ)对于甲区,若通过,引进项目可增加税收 40(百万元) ,若没通过监测,则治理花费 5(百万 元) ; 对于乙, 若通过, 引进项目可增加税收 50 (百万元) , 若没通过监测, 则治理花费 10 (百万元) . 在 ( Ⅰ)的前提下,记 X 为通过监测,引进项目增加的税收总额,求随机变量 X 的分布列和数学期 望;

19. (本小题满分 12 分) 20 件产品中有 17 件合格品,3 件次品,从中任意抽取 3 件进行检查,问 (1)求抽取 3 件都是合格品的抽法种数. (2)求抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的概率. (3)求抽出的 3 件至少有 2 件不是次品的概率. 20. (本小题满分 12 分) 已知一个袋子里装有只有颜色不同的 6 个小球,其中白球 2 个,黑球 4 个,现从中随机取球,每次 只取一 球. (1)若每次取球后都放回袋中,求事件“连续取球四次,至少取得两次白球”的概率; (2)若每次取球后都不放回袋中,且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏,记游戏结 束时一共取球 X 次,求随机变量 X 的分布列与期望. 21. (本小题满分 12 分)

3

已知 ai ? 0(i ? 1, 2,?, n) ,考查 ① a1 ?

1 ? 1; a1

② (a1 ? a2 )(

1 1 ? ) ? 4; a1 a2

③ (a1 ? a2 ? a3 )(

1 1 1 ? ? ) ? 9. a1 a2 a3

归纳出对 a1 , a2 ,?, an 都成立的类似 不等式,并用数学归纳法加以证明. 22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? x 2 ? 1. (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程为 4 x ? y ? b ? 0 ,求实数 a 和 b 的值; (Ⅱ)讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅲ)若 a ? 0 ,且对任意 x1 , x2 ? (0,??) ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| x1 ? x2 | ,求 a 的取值范围.

4

BD ACA

DBCAC

CD 14、 2? 15、2 16、

13、 (1,2]

32 3
令 f '( x) ? 0, ? x ? ? 2

17、 (Ⅰ)? f ( x) ? x3 ? 6x ? 5 ,? f '( x) ? 3x2 ? 6

f '( x), f ( x)随着x 的变化情 况如下表:

x
f '( x)
f ( x)

(??, ? 2)

? 2
0 极大值

(? 2, 2)
— 单调递减 0

2

( 2, ??)

?
单调递增

?
单调递增

极小值

由上表可知 f ( x ) 的单调递增区间为 (??, ? 2) 和 ( 2, ??) , 单调递减区间为 (? 2, 2) . (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 可知函数 f ( x ) 在 ? ?2, ? 2 ? 上单调递增, 在 ? ? 2, 2 ? 上单调递减, 在 ? 2, 2 ?

?

?

?

?

?

?

上单调递增, ? f ( x) 的极大值 ? f (? 2) ? 5 ? 4 2 又 ? f (2) ? 1 ? 5 ? 4 2 ? f (? 2) ,

, f ( x ) 的极小值 ? f ( 2) ? 5 ? 4 2

f (?2) ? 9 ? 5 ? 4 2 ? f ( 2)

? 函 数 f ( x) 在 区 间

??2, 2? 上的最大值为 5 ? 4

2 ,最小值为 5 ? 4 2 .
42 ? 20 ? 13 3 ? . 100 4

18、 【解析】 (Ⅰ)甲区通过监测的概率约为 乙区通过监测的概率约为

40 ? 32 ? 8 4 ? . 100 5

(Ⅱ)随机变量 X 的所有取值为 90, 45,30, ?15 .

4 3 3 ? ? ; 5 4 5 4 1 1 P ( X ? 45) ? ? ? ; 5 4 5 1 3 3 P( X ? 30) ? ? ? ; 5 4 20 1 1 1 P( X ? ?15) ? ? ? ; 5 4 20 所以,随机变量 X 的分布列为: 90 45 30 ?15 X 3 1 3 1 P 5 5 20 20 3 1 3 1 3 ? 15 ? ? 66 (百万元) 所以 EX ? 90 ? ? 45 ? ? 30 ? . 5 5 20 20 4 P ( X ? 90) ?
5

19、 (1)680; (2)

34 272 ; (3) . 95 285

20、 (1)记事件 Ai 表示“第 i 次取到白球” (i ? N* ) ,事件 B 表示“连续取球四次,至少取得两次 白球” ,则:

B = A1 A2 A3 A4 +A1 A2 A3 A4 + A1 A2 A3 A4 + A1 A2 A3 A4 + A1 A2 A3 A4 .

2分

P B ? P A1 A2 A3 A4 ? P A1 A2 A3 A4 ? P A1 A2 A3 A4 ? P A1 A2 A3 A4 ? P A1 A2 A3 A4
16 ?4? 2 ?4? ? ? ? ? ?? ? ? 4 ? 27 ?6? 6 ?6?
4 3

? ?

?

? ?

? ?

? ?

? ?

?



4分

? P ? B? ? 1? P B ?

? ?

11 27



5分

另解:记随机变量 ? 表示连续取球四次,取得白球的次数. 易知 ? ~B ? 4, ?

? ?

1? 3?
3

0 则 P ?? ? 2 ? ? 1 ? P ?? ? 0 ? ? P ?? ? 1? ? 1 ? C4 ? ? ?

11 ?1? ? 2? 1?1? ? 2? ,. ? ? C4 ? ? ? ? ? ?3? ? 3? ? 3 ? ? 3 ? 27

0

4

1

(2)易知:随机变量 X 的取值分别为 2,3,4,5

C2 1 ? P ? X ? 2 ? ? 22 ? , C6 15 P ? X ? 4? ?
1 2 C2 C4 1 1 ? ? , 3 C6 3 5

P( X ? 3) ?

1 1 C2 C4 1 2 ? ? , 2 C6 4 15

P ? X ? 5? ? 1 ?

1 2 1 3 ? ? ? , 15 15 5 5

∴随机变量 X 的分布列为: X 2 3 4 5

P

1 15

2 15

1 5

3 5

∴随机变量 X 的期望为: EX ? 2 ? 21、 、结论 : (a1 ? a2 ? ? ? an )(

1 2 1 3 13 ? 3? ? 4 ? ? 5? ? . 15 15 5 5 3

1 1 1 ? ? ? ? ) ? n2 a1 a2 an

证明:①当 n ? 1 时,显然成立; ②假设当 n ? k 时,不等式成立, 即 (a1 ? a2 ? ? ? ak )( 则 n ? k ? 1 时,
6

1 1 1 ? ??? ) ? k 2 , a1 a2 ak

(a1 ? a2 ? ? ? ak ? ak ?1 )(

1 1 1 1 ? ??? ? ) a1 a2 ak ak ?1

? (a1 ? a2 ? ? ? ak )(

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ) ?ak ?1 ( ? ? ? ? ) ? (a1 ? a2 ? ? ? ak ) ? 1 a1 a2 ak a1 a2 ak ak ?1

? k 2 ? (ak ?1

1 1 1 1 1 1 ? a1 ) ? (ak ?1 ? a2 ) ? ? ? (ak ?1 ? ak ) ? 1 a1 ak ?1 a2 ak ?1 ak ak ?1

? k 2 ? 2k ? 1

? (k ? 1)2
由①②,不等式对任意正整 数 n 成立.
' 22 、 (1) f ( x) ? a ln x ? x 2 ? 1 求导得 f ( x) ?

a ? 2 x 在 x ? 1 处的切线方程为 4 x ? y ? b ? 0 , x

f ' (1) ? a ? 2 ? 4 ,得 a ? 6, 4 ? f (1) ? b ? 0 ;b=-4.
(2) f ( x) ?
'

a a ? 2 x2 ? 2x ? x x

当 a ? 0 时 , f ' ( x) ? 0 在 (0,??) 恒成立,所以 f ( x) 在 (0,??) 上是减函数, 当 a ? 0 时, f ( x) ? 0, x ? ?
'

a (舍负) 2

f ' ( x) ? 0 ?

a a ? x ? 0 , f ' ( x) ? 0 ? x ? 2 2 a a ) 上是增函数,在 ( ,??) 上是减函数; 2 2

f ( x) 在 (0,

(3) 若 a ? 0 , f ( x) 在 (0,??) 上是减函数, x1 ? x2 , ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ), | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| x1 ? x2 | 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x2 ? x1


f ( x1 ) ? x1 ? f ( x2 ) ? x2 , 只 要 满 足 g ( x) ? f ( x) ? x 在 (0, ??) 为 减 函 数 ,
a ? 2 x ? 1 ? 0 即 a ? 2 x2 ? x 在 (0, ??) 恒 成 立 , x 1 1 ? ? ,所以 a ? ? 8 8

g ( x) ? a ln x ? x2 ? 1 ? x , g ' ( x) ?
a ? (2x2 ? x)min , (2 x 2 ? x) min

7


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