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浙江省重点高中2013届高三上学期12月月考数学理试题


浙江省重点高中 2013 届高三上学期 12 月月考数学理试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的 1.设集合 U ? {1, 2, 3,4,5}, A ? {1, 2, 3}, B ? {2,4} ,则 A ? (CU B) ( A. {1,3}B. {2,4} 2. 函数 f ( x) ? ? C. {1,2,3,5} ) 2 3 正视图 2 俯视图 B.70 C.80 D.90 2 侧视图 D. {2,5} )

?log3 x, x ? 0
x ?2 , x ? 0

,则 f (9) ? f (0) ? (

A.0 B.1 C.2 D.3 3.若某多面体的三视图如图所示,则此多面体的体积是() A.2 B.4 C.6 D.12 4.已知等比数列 {an } 中, a1 ? a2 ? a3 ? 40, a4 ? a5 ? a6 ? 20 , 则前 9 项之和等于() A.50

5.已知 m a 都是实数,且 a ? 0 ,则“ m ? {?a , a } ”是“ | m |? a ”的() 、 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知向量 a ? (1,3 ) , b ? (?2, m ) ,若 a 与 a ? 2b 垂直,则 m 的值为() A. 1 B. ?1 C. ?

7. 已知 ? ,? ,? 是三个互不重合的平面,l 是一条直线, 下列命题中正确命题是 ( A.若 ? ? ? , l ? ? ,则 l // ? B.若 l 上有两个点到 ? 的距离相等,则 l // ? C.若 l ? ? , l ∥ ? ,则 ? ? ? D.若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ? ?

1 2

D.

1 2



1 ? ,则 cos( ? 2? ) ? http://wx.jtyjy.com/ 3 4 3 7 1 1 7 A. ? B. ? C. D. 8 4 4 8 2 9.若方程 ln( x ? 1) ? 的根在区间 (k , k ? 1)(k ? Z ) 上,则 k 的值为( x A. ? 1 B.1 C. ? 1 或 2 D. ? 1 或 1
8.若 sin(

?

?? ) ?



10 . 设 函 数 y ? f (x) 的 定 义 域 与 值 域 都 是 R , 且 单 调 递 增 ,

A ? {x | f ( x) ? x}, B ? {x | f ( f ( x)) ? x} ,则 (



A.

A? B
?

B.

B? A
?

C. A=B

D. A ? B ? ?

二、填空题:本大题有 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。把答案填在答题卷的相应位置 11.公差为 1 的等差数列 {an } 满足 a2 ? a4 ? a6 ? 9 ,则 a5 ? a7 ? a9 的值等于。

BD ? 12. 在边长为 1 的正三角形 ABC 中,

??? ?

???? ??? ? 1 ???? DC , AD ? CD 的值等于。http://wx.jtyjy.com/ 则 2

13.已知偶函数 f ( x)在?0, ??? 上单调递增,且 f (lg x) ? f (1) ,则 x 的值等于。

? 2x ? y ? 0 ? 14.已知实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 3 ? 0 ,且 z ? x ? y 的最小值为 ?3 ,则实数 m 的值 ? x ? 2y ? m ?
是. 15.在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , S 为 ?ABC 的面积,若向量 p ? (2, a2 ? b2 ? c2 ) , q ? (1, 2S ) 满足 p ∥ q ,则角 C ? . 16.正四面体 S—ABC 中,E 为 SA 的中点,F 为 ?ABC 的中心,则直线 EF 与平面 ABC 所成 的角的正切值是。 17 . 已 知 函 数 f ( x) ? x | x ? a |, 若 对 任 意 的 x1, x2 ??2, ??? , 且 x1 ? x2 ,( x1 ? x2 )

[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围为。
w. http://wx.jtyjy.com/.com 三、解答题:本大题共 5 小题,满分 72 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 18. (本小题满分 14 分)
2 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin (

?
4

? x) ? 2 cos 2 x ? 3.

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间; ( 2 ) 已 知 ?ABC 内 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a, b, c, 且c ? 3, f (C ) ? 2 , 若 向 量

?? ? m ? (1,sin A)与n ? (2,sin B) 共线,求 a , b 的值。

19. (本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为菱形, PA ? 平面 ABCD , PA ? AB ? 2 ,

E、 F 分别为 CD、PB 的中点, AE ? 3 .

(Ⅰ)求证:平面 AEF ? 平面 PAB . (Ⅱ)求平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角的余弦值. F

P

A E B 第 19 题图 C

D

20. (本题满分 14 分) 已知数列 {an } 满足 a1 ? 3, an?1 ? 3an ? 3n (n ? N *) ,数列 {bn } 满足 bn ? 3? n an . (1)求证:数列 {bn } 是等差数列; (2)设 Sn ? 值.

a a1 a2 a3 S 1 1 ? ? ? ? ? n ,求满足不等式 ? n ? 的所有正整数 n 的 3 4 5 n? 2 128 S2 n 4

21.(本题满分 15 分)已知函数 f ? x ? ? x ? x ln x .

(1)求函数 f ? x ? 的图像在点 (1,1) 处的切线方程; (2)若 k ? Z ,且 k ( x ?1) ? f ? x ? 对任意 x ? 1 恒成立,求 k 的最大值;

22.(本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x ) ?

1 2 ax ? bx (a ? 0) 2

(I)若 a ? ?2 时,函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在其定义域内是增函数,求 b 的取值范围; (II)设函数 f (x) 的图象 C1 与函数 g (x) 的图象 C2 交于点 P 、 Q ,过线段 PQ 的中点 R 作

x 轴的垂线分别交 C1 、C2 于点 M 、N ,问是否存在点 R ,使 C1 在 M 处的切线与 C2 在 N
处的切线平行?若存在,求出 R 的横坐标;若不存在,请说明理由. http://wx.jtyjy.com/

数学(理科)答案

一、选择题、 ADABB BCADD 二、填空题 11、18 12、

1 9

13、10 或

1 10

14、m=6

15、

? 4

16、 2

17、 -?, ( 2

?

三、解答题 18.(1)f(x)=2sin(2x+

? )+1 http://wx.jtyjy.com/ 6
? ?

最小正周期 T= ? ,递增区间为 ? - +k? , ? k? ? ( k ? Z ) (7 分) 6 ? 3 ? (2)f(C)=2sin(2C+

?

?

?? ? ? ? )+1=2, c ? ,因为向量 m ? (1,sin A)与n ? (2,sin B) 共线, 6 3
2 2 2

所以 sinB=2sinA,,? b=2a,由余弦定理可得 c ? a ? b ? 2ab ? (14 分) 19.证明: (Ⅰ)∵四边形 ABCD 是菱形, ∴ AD ? CD ? AB ? 2 . 在 ?ADE 中, AE ? 3 , DE ? 1 ,

1 ? 9,? a ? 3, b ? 2 3 2

2 2 2 ∴ AD ? DE ? AE . ∴ ?AED ? 90? ,即 AE ? CD . 又 AB ??CD ,∴ AE ? AB .???????2 分 ∵ PA ? 平面 ABCD , AE ? 平面 ABCD , ∴ PA ? AE .又∵ PA ? AB ? A , ∴ AE ? 平面 PAB ,???????????????4 分 又∵ AE ? 平面 AEF , 平面 AEF ? 平面 PAB .????????????6 分 (Ⅱ)解法一:由(1)知 AE ? 平面 PAB ,而 AE ? 平面 PAE , ∴平面 PAE ? 平面 PAB ?????????7 分 ∵ PA ? 平面 ABCD ,∴ PA ? CD . 由(Ⅰ)知 AE ? CD ,又 PA ? AE ? A ∴ CD ? 平面 PAE ,又 CD ? 平面 PCD , ∴平面 PCD ? 平面 PAE .??????????9 分 ∴平面 PAE 是平面 PAB 与平面 PCD 的公垂面. 所以, ?APE 就是平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角的平面角.??10 分

在 Rt ?PAE 中, PE 2 ? AE 2 ? PA2 ? 3 ? 4 ? 7 ,即 PE ? 7 .?????11 分 又 PA ? 2 ,

∴ cos ?APE ?

2 7

?

2 7 . http://wx.jtyjy.com/ 7
2 7 .????14 分 7

所以,平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角的余弦值为

理(Ⅱ)解法二:以 A 为原点, AB 、 AE 分别为 x 轴、 y 轴的正方向,建立空间直角 坐标系 A ? xyz ,如图所示.因为 PA ? AB ? 2 , AE ? 3 ,所以,

A(0,0,0) 、 P(0,0, 2) 、 E(0, 3,0) 、 C(1, 3,0) ,????7 分 ??? ? ??? ? ??? ? 则 PE ? (0, 3, ?2) , CE ? (?1,0,0) , AE ? (0, 3,0) .???8 分 由(Ⅰ)知 AE ? 平面 PAB , P ?? ? 故平面 PAB 的一个法向量为 n1 ? (0,1,0) .????????9 分 ?? ? 设平面 PCD 的一个法向量为 n2 ? ( x, y, z) , ?? ??? ? ? F ? n2 ?PE ? 0 ? 3y ? 2z ? 0 ? ? 则 ? ?? ??? ,即 ? ,令 y ? 2 , ? ? ?? x ? 0 ? n2 ?CE ? 0 ? ? A ?? ? 则 n2 ? (0,2, 3) .???????11 分 ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? x n1 ?n2 2 2 7 B ? ∴ cos n1 , n2 ? ?? ?? ? . ? ? 7 7 n1 ?n2
所以,平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角的余弦值为

z

D E C

y

2 7 .??14 分 7

20.(1)证明:由 bn ? 3? n an 得 an ? 3n bn ,则 an?1 ? 3n?1 bn?1 。 代入 an?1 ? 3an ? 3n 中,得 3n?1 bn?1 ? 3n?1 bn ? 3n ,

1 。所以数列 ?bn ? 是等差数列。??????6 分 3 1 (2)解:因为数列 ?bn ? 是首项为 b1 ? 3?1 a1 ? 1,公差为 等差数列, 3 1 n?2 则 bn ? 1 ? (n ? 1) ? ,则 an ? 3n bn ? (n ? 2) ? 3n?1 。??????8 分 3 3 an ? 3n ?1 , 从而有 n?2
即得 bn ?1 ? bn ? 故 Sn ?

a a1 a2 a3 1 ? 3n 3n ? 1 ? ? ? ? ? n ? 1 ? 3 ? 32 ? ? ? 3n?1 ? ? 。????11 分 3 4 5 n?2 1? 3 2



Sn 1 1 1 S 3n ? 1 1 1 1 ? n ? 。 ,由 ? 2n ? n ? n ? ,得 128 3 ? 1 4 128 S2 n 4 S2 n 3 ? 1 3 ? 1

n 即 3 ? 3 ? 127 ,得 1 ? n ? 4 。

故满足不等式

S 1 1 ? n ? 的所有正整数 n 的值为 2,3,4。??????14 分 128 S2 n 4

21(1)解:因为 f ? ? x ? ? ln x ? 2 ,所以 f ? ?1? ? 2 , 函数 f ? x ? 的图像在点 (1,1) 处的切线方程 y ? 2 x ? 1 ;????5 分 (2)解:由(1)知, f ? x ? ? x ? x ln x ,所以 k ( x ?1) ? f ? x ? 对任意 x ? 1 恒成立,即

k?

x ? x ln x 对任意 x ? 1 恒成立.????7 分 x ?1 x ? x ln x x ? ln x ? 2 ,则 g ? ? x ? ? ,????????8 分 2 x ?1 ? x ? 1? 1 x ?1 ? ?0, x x

令 g ? x? ?

令 h ? x ? ? x ? ln x ? 2 ? x ? 1? ,则 h? ? x ? ? 1 ?

所以函数 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增.?????????9 分 因为 h ?3? ? 1 ? ln3 ? 0, h ? 4? ? 2 ? 2ln 2 ? 0 ,所以方程 h ? x ? ? 0 在 ?1, ?? ? 上存在唯一实 根 x0 ,且满足 x0 ? ? 3, 4? . 当 1 ? x ? x0时,h( x) ? 0 ,即 g ?( x) ? 0 ,当 x ? x0时,h( x) ? 0 ,即 g ?( x) ? 0 ,?13 分 所以函数 g ? x ? ? 所以 ? g ? x ?? ? ?

x ? x ln x 在 ?1, x0 ? 上单调递减,在 ? x0 , ??? 上单调递增. x ?1

min

? g ? x0 ? ?

x0 ?1 ? ln x0 ? x0 ?1 ? x0 ? 2 ? ????14 分 ? ? x0 ? ? 3, 4 ? . x0 ? 1 x0 ? 1

所以 k ? ? g ? x ? ? min ? x0 ? ? 3, 4 ? .故整数 k 的最大值是 3.?????????15 分 ? ?

22.解: (I)依题意: h( x) ? ln x ? x 2 ? bx. ? h( x) 在(0,+ ? )上是增函数,
1 ? 2 x ? b ? 0 对 x ∈(0,+ ? )恒成立, http://wx.jtyjy.com/ x 1 1 ? b ? ? 2 x, ? x ? 0 ,则 ? 2 x ? 2 2. ? b 的取值范围是 (??, 2 2] . x x ???7 分 (II)设点 P、Q 的坐标是 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),且0 ? x1 ? x2 . x ? x2 . 则点 M、N 的横坐标为 x ? 1 2 ? h?( x) ?

C1 在点 M 处的切线斜率为 k1 ?

1 2 | x1 ? x2 ? . x x? 2 x1 ? x2
x ?x x? 1 2 2

C2 在点 N 处的切线斜率为 k 2 ? ax ? b |

?

a( x1 ? x2 ) ? b. 2

假设 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行,则 k1 ? k 2 . a( x1 ? x2 ) 2 即 ? ? b. 则 x1 ? x2 2
2 2( x2 ? x1 ) a( x2 ? x12 ) a 2 a ? ? b( x2 ? x1 ) ? ( x2 ? bx2 ) ? ( x12 ? bx1 ) x1 ? x2 2 2 2

? y2 ? y1 ? ln x2 ? ln x1 ? ln
2(

x2 , x1

x2 ? 1) x2 2( x2 ? x1 ) x1 2(u ? 1) x ? ln ? ? , u ? 1, 设 u ? 2 ? 1, 则 ln u ? x2 1? u x1 x1 ? x2 x1 1? x1
2

?x ? 1? ? 0 T (u) ? T (1) ? 0 2( x ? 1) / 1 4 T ( x) ? ln x ? , T ( x) ? ? ? 2 1? x x (1 ? x) x(1 ? x) 2 ,
???15 分

点 R 不存在.


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