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1.3.2全集与补集


§1.3.2 全集与补集
【教学目标】 1.知识与技能 了解全集的意义, 理解补集的概念及其表示法, 会根据一个集合求它的补集或者根据一 个集合的补集求这个集合,知道并集的元素个数计算公式(容斥原理) . 2.过程与方法 通过概念学习,提高学生逻辑思维能力,根据概念解决集合的有关运算,提高分析、解 决问题的能力. 3.情感、态度与价值观 结合补集的概念,体会相对的观念. 【重点难点】 1.教学重点:补集的概念, 并集的元素个数计算公式 2.教学难点:补集的运算 【教学方法】 谈话法,讲授法,练习法 【教学过程】一、复习引入 1.复习 (1)子集的概念、符号与性质. (2)用集合语言表示并集和交集的意义:

A? B ? ?, 且A ? x x

? x, ?

B A ? B ? ? x x ? A, 或x ? B? .

2.引入 事物都是相对的,在不同的范围研究同一个问题,可能有不同的结果,比如方程

( x ?1)( x2 ? 3) ? 0 ,在有理数范围内只有一个解,在实数范围内却有三个解.下面我们就
来学习集合中部分与整体的关系. 二、讲授内容 (一)探索发现 1 观察下面三个集合,你发现这三个集合有什么关系?

N = ? x x是自然数? , A= ?0,1,2,3? , B = ? x x是大于3的自然数? .

我们发现,集合 A , B 是集合 N 的子集,集合 B 就是由集合 N 中去掉 A 中所有元素后 剩下的元素所构成的集合.如图 1-3-10 所示:

(二)构建概念 1.补集 一般地,设 S 是一个集合, A 是 S 的一个子集(即 A ? S ) ,由 S 中不属于 A 的所有元素 组成的集合,叫做 A 在 S 中的补集,记作
S S

A,读作“ A 在 S 中的补集” ,即

A ? ?x | x ?S, 且x ? A? .

S

A 可以用图 1-3-11 中的阴影部分来表示.

2.全集 如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合,这时就可以把 S 看作一个全集,全集通常 用 U 表示. 全集 U 与它的任意一个真子集 A 之间的关系,可用Venn 图表示,如图 1-3-12:

A ? ? x x 2 ? 1 ? 0? ? ??1,1? , B = ? x x是不大于3的非负整数? ? ?0,1, 2,3? ,请同学们根
据上述集合 A, B ,讨论 A ? B 中有几个元素? A ? B 中元素个数跟什么有关?能否建立一 个关系式? (四)构建数学 我们把有限集合 A 中的元素个数记作 card( A) .如上例中 card( A) ? 2 , card( B) ? 4 . 一般地,对于任意两个有限集合 A, B ,有

(三)探索发现 2 在研究集合时,我们还会遇到有关集合中的元素个数的计算问题,若

card(A ? B)=card (A) ? card(B) ? card (A ? B) . ) ? card(B) 特别地,当 card( A ? B) ? 0 时, card(A ? B)=card(A .
三、讲解范例 例1 设 U ? ?1,2,3,4,5,6,7? , A ? ?2,3, 4? , B ? ?4,5,6? ,求
U U

A,

U

B, A ?

U

B, B ?
分析 解
B?
U

A. 本题根据补集、交集、并集的定义求解. A = ?1,5,6,7? ,
U

U

A = ?1,2,3,7? , A ?

U

B = ?2,3? ,

A = ?1,4,5,6,7? .
求交集、并集、补集是集合中重要的基本运算,需熟练掌握. 设 U = x x是等腰三角形或直角三角形 , A = x x是直角三角形 ,
U

点评 例2

?

?

?

?

B = ? x x是等腰三角形? .求 A ? B ,
分析 解 根据补集、交集的定义求解.

A,
U

U

B.

A ? B = ?x x是等腰直角三角形? ,

A = ? x x是等腰三角形? ,

U

B = ? x x是直角三角形? .

点评 首先要注意弄清三角形的分类;其次要注意补集是相对于全集而言的.不同的全 集,补集也不同.不指明全集,单纯的“集合 A 的补集”是没有意义的.

A ? ??1,1? , 分析 先求全集 U ,再求集合 B .
例3 解
U

已知 A= ?0,2,4? ,

U

B ? ??1,0, 2? ,求 B .
U

由 A= ?0,2,4? ,

U

A ? ??1,1? ,得 U = ??1,0,1,2,4? ,又因为

B ? ??1,0, 故 2? ,

B= ? 1 4 ,

?.

点评 一般地, A ? U A=U. 例4 集合 M , N 分别有8个和 13 个元素, (1)若 M ? N 有6个元素时,则 M ? N 有多少个元素? (2)当 M ? N 有几个元素时, M ? N =? ? 分析 本题根据并集元素个数的计算公式求解. ? card(N) ? card(M ? N ) = 解 (1) card(M ? N )=card(M)

8 ? 13 ? 6 ? 15 .即 M ? N 有 15 个元素. (2)当 M ? N =? 时, card(M ? N )=0 ,故 card(M ? N )=card(M) ? card(N) ? card(M ? N ) ? 8 ? 13 ? 0 ? 21 .即 M ? N 有 21 个元素.
点评 并集中的元素不是简单地把两个集合的元素组合在一起,还要考虑重复的元素 要去掉.因此两个集合有多少相同的元素(即两个集合的交集的元素个数)是关键. 例5 学校组织学科竞赛,某班 40 名同学中有 18 人参加了数学竞赛,有 12 人参加了物 理竞赛,两项竞赛都参加的有 7 人.两项竞赛一共有多少人参加? 分析 本题应先建立集合模型,再根据并集元素个数的计算公式求解. 解 设 A= ?参加数学竞赛的同学? , B= ?参加物理竞赛的同学? .则

A ? B ? ?参加物理和数学两项竞赛的同学? , A ? B ? ?参加物理或数学竞赛的同学? ,
由题意可知

card( A) ? 18 , card( B) ? 12 , card( A ? B) ? 7 ,所以 card(A ? B)=card(A ) ? card(B) ? card(A ? B) = 18 ? 12 ? 7 ? 23 .即两项竞赛
共有 23 人参加. 点评 把文字语言转化成集合语言,解题更简洁方便. 四、课堂练习 1. 教材 P16 练一练:1 2. 教材 P16 练一练:2 3. 教材 P16 练一练:3 4. 教材 P16 练一练:4 5.教材 P16 练一练:5 参考答案: 1.
U

A ? ? x x为三边互不相等的三角形? ;
?

2. A ? U (或 A ?U ) ; x ? 2 ? x ? 0或1 ? x ? 2 ; 3.(1)如图 1-3-13; (2) 4. 正确的是(3) ; 5.20.
S

?

?

( A ? B ? C) ;

五、反思总结 数学知识: 1. 全集、补集的概念,性质 A ? S A=S; 2.并集元素个数的计算公式. 思想方法: 1. 在求解问题时,要充分利用数轴、文氏图,掌握数形结合的方法. 2. 补集是相对于全集而言的,一般地,全集不同,一个集合的补集也会不一样. 六、布置作业


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