当前位置:首页 >> 数学 >>

江西省南昌三中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(文科)


江西省南昌三中 2015 届高三上学期第二次月考数学试卷(文科)
一.选择题 2 1. (5 分)命题“对任意 x∈R,都有 x ≥0”的否定为() 2 2 A.对任意 x∈R,都有 x <0 B. 不存在 x∈R,都有 x <0 2 2 C. 存在 x0∈R,使得 x0 ≥0 D.存在 x0∈R,使得 x0 <0 2. (5 分)已知集合 M={x|y= },N={x

|y=log2(2﹣x)},则?R(M∩N) () A.[1,2) B.(﹣∞,1)∪[2,+∞) C. [0,1] ∞,0)∪[2,+∞)
sin60

D. (﹣

3. (5 分)若 a=3 A.a>b>c

,b=log3cos60°,c=log3tan60°,则() B.a>c>b C.c>b>a D.b>a>c

4. (5 分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是()

A.

B.

C.

D.1

5. (5 分)下列关于公差 d>0 的等差数列{an}的四个命题: p1:数列{an}是递增数列; p2:数列{nan}是递增数列; p3:数列 是递增数列;

p4:数列{an+3nd}是递增数列; 其中真命题是() A.p1,p2 B.p3,p4 6. (5 分)设函数 f(x)=3sin(2x+

C.p2,p3

D.p1,p4

)+1,将 y=f(x)的图象向右平移 φ(φ>0)个单位,

使得到的图象关于 y 轴对称,则 φ 的最小值为()

A.

B.

C.

D.

7. (5 分)定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的函数 f(x) ,如果对于任意给定的等比数列{an}, {f(an)}仍是等比数列,则称 f(x)为“保等比数列函数”.现有定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞) 上的如下函数:①f(x)=x ;②f(x)=2 ; ③f(x)= ;④f(x)=ln|x|,其中是“保等比 数列函数”的序号为() A.①② B.③④
2 x

C.①③

D.②④

8. (5 分)若 , , 均为单位向量,且 A. B. 1

=0,则| + ﹣ |的最小值为() C. +1 D.

9. (5 分)设实数 x,y 满足约束条件,

且目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大

值为 1,则 + 的最小值为() A.4 B. 8 C. 9 D.6

10. (5 分)如图,直角梯形 ABCD 中,∠A=90°,∠B=45°,底边 AB=5,高 AD=3,点 E 由 B 沿折线 BCD 向点 D 移动,EM⊥AB 于 M,ENAD 于 N,设 BM=x,矩形 AMEN 的面积为 y,那么 y 与 x 的函数关系的图象大致是()

A.

B.

C.

D.

二、填空题:把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分, 共 25 分) x 11. (5 分)如果 f(x)=e ,则 f′(0)=. 12. (5 分)某住宅小区计划植树不少于 100 棵,若第一天植 2 棵,以后每天植树的棵树是前 * 一天的 2 倍,则需要的最少天数 n(n∈N )等于.

13. (5 分)点 P(x,y)在直线 x+y﹣2=0 上,则 3 +3 的最小值为. 14. (5 分)如果函数 f(x)=cos(kπx)在[0,1]上至少取得最小值 1008 次,则正数 k 的最小 值是.

x

y

15. (5 分)定义“正对数”:ln x= ①若 a>0,b>0,则 ln (a )=bln a; + + + ②若 a>0,b>0,则 ln (ab)=ln a+ln b; ③若 a>0,b>0,则 ln ( )=ln a﹣ln b; ④若 a>0,b>0,则 ln (a+b)≤ln a+ln b+ln2; 其中的真命题有 (写出所有真命题的序号)
+ + + + + + + b +

+

,现有四个命题:

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (12 分)记函数 f(x)= B,求集合 A、B、A∩B. 17. (12 分)在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且(2a+c)cosB=﹣bcosC. (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 b=2 ,a+c=4,求△ ABC 的面积. 18. (12 分)设函数 f(x)=2x +3ax +3bx+8c 在 x=1 及 x=2 时取得极值. (Ⅰ)求 a、b 的值; (Ⅱ)若对任意的 x∈[0,3],都有 f(x)<c 成立,求 c 的取值范围. 19. (12 分) 如图, 在底面是菱形的四棱锥 P﹣ABCD 中, ∠ABC=60°, PA=AC=a, PB=PD= 点 E 在 PD 上,且 PE:ED=2:1. (Ⅰ)求证:BD⊥平面 PAC; (Ⅱ)求二面角 B﹣PA﹣D 的大小; (Ⅲ)在棱 PC 上是否存在一点 F,使 BF∥平面 AEC?证明你的结论. a,
2 3 2

的定义域为 A,g(x)=lg[(1﹣x) (x+1)]的定义域为

20. (13 分)定义:称 的前 n 项的“均倒数”为 .

为 n 个正数 p1,p2,…pn 的“均倒数”.若已知数列{an}

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 ,试求数列{dn}的前 n 项和 Tn.

21. (14 分)已知函数 f(x)=lnx﹣ (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间;
2



(Ⅱ)设 g(x)=﹣x +2bx﹣4,若对任意 x1∈(0,2) ,x2∈[1,2],不等式 f(x1)≥g(x2) 恒 成立,求实数 b 的取值范围.

江西省南昌三中 2015 届高三上学期第二次月考数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一.选择题 2 1. (5 分)命题“对任意 x∈R,都有 x ≥0”的否定为() 2 2 A.对任意 x∈R,都有 x <0 B. 不存在 x∈R,都有 x <0 2 2 C. 存在 x0∈R,使得 x0 ≥0 D.存在 x0∈R,使得 x0 <0 考点: 命题的否定;全称命题. 专题: 简易逻辑. 分析: 直接利用全称命题的否定是特称命题,写出命题的否定命题即可. 解答: 解:因为全称命题的否定是特称命题, 2 2 所以命题“对任意 x∈R,都有 x ≥0”的否定为.存在 x0∈R,使得 x0 <0. 故选 D. 点评: 本题考查命题的否定,全称命题与特称命题的否定关系,基本知识的考查. 2. (5 分)已知集合 M={x|y= },N={x|y=log2(2﹣x)},则?R(M∩N) () A.[1,2) B.(﹣∞,1)∪[2,+∞) C. [0,1] ∞,0)∪[2,+∞)

D. (﹣

考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 求出集合 M,N,根据集合的基本运算进行求解即可. 解答: 解:M={x|y= }={x|x≥0},N={x|y=log2(2﹣x)}={x|2﹣x>0}={x|x<2}, 则 M∩N={x|0≤x<2},

则?R(M∩N)={x|x≥2 或 x<0}, 故选:D. 点评: 本题主要考查集合的基本运算,要求熟练掌握集合的交并补运算,比较基础.
sin60

3. (5 分)若 a=3 A.a>b>c

,b=log3cos60°,c=log3tan60°,则() B.a>c>b C.c>b>a D.b>a>c

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数函数与对数函数、三角函数的单调性即可得出. 解答: 解:∵a=3
sin60

>1,b=log3cos60°<0,c=log3tan60°= ,

∴a>c>b. 故选:B. 点评: 本题考查了指数函数与对数函数、三角函数的单调性,属于基础题. 4. (5 分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是()

A.

B.

C.

D.1

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离;立体几何. 分析: 由三视图可知:该几何体是一个三棱锥,其中 PA⊥底面 ABC,PA=2,AB⊥BC, AB=BC=1.据此即可得到体积. 解答: 解:由三视图可知:该几何体是一个三棱锥,其中 PA⊥底面 ABC,PA=2,AB⊥BC, AB=BC=1. ∴ 因此 V= 故选 B. = . = .

点评: 由三视图正确恢复原几何体是解题的关键. 5. (5 分)下列关于公差 d>0 的等差数列{an}的四个命题: p1:数列{an}是递增数列; p2:数列{nan}是递增数列; p3:数列 是递增数列;

p4:数列{an+3nd}是递增数列; 其中真命题是() A.p1,p2 B.p3,p4 C.p2,p3 D.p1,p4

考点: 等差数列的性质;命题的真假判断与应用. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 对于各个选项中的数列,计算第 n+1 项与第 n 项的差,看此差的符号,再根据递增 数列的定义得出结论. 解答: 解:∵对于公差 d>0 的等差数列{an},an+1﹣an=d>0,∴命题 p1:数列{an}是递增 数列成立,是真命题. 对于数列数列{nan},第 n+1 项与第 n 项的差等于 (n+1)an+1﹣nan=(n+1)d+an,不一定是 正实数, 故 p2 不正确,是假命题. 对于数列 , 第 n+1 项与第 n 项的差等于 ﹣ = = ,

不一定是正实数, 故 p3 不正确,是假命题. 对于数列数列{an+3nd},第 n+1 项与第 n 项的差等于 an+1+3(n+1)d﹣an﹣3nd=4d>0, 故命题 p4:数列{an+3nd}是递增数列成立,是真命题. 故选 D. 点评: 本题主要考查等差数列的定义,增数列的含义,命题的真假的判断,属于中档题.

6. (5 分)设函数 f(x)=3sin(2x+

)+1,将 y=f(x)的图象向右平移 φ(φ>0)个单位,

使得到的图象关于 y 轴对称,则 φ 的最小值为() A. B. C. D.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换.

专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由已知中函数 f(x)=3sin(2x+ )+1 的图象向右平移 φ(φ>0)个单位得到的图 ﹣2φ)+1 取最值,求出 φ 的表达

象关于 y 轴对称,可得当 x=0 时,函数 f(x)=3sin(2x+ 式后,结合 φ>0,可得满足条件的 φ 的最小值. 解答: 解:将函数 f(x)=3sin(2x+

)+1 的图象向右平移 φ(φ>0)个单位后 ﹣2φ)+1 若平移后得到的图象关于 y 轴对称,

函数图象对称的解析式为 f(x)=3sin(2x+ 则 x=0 时,函数取最值 则 ﹣2φ= +kπ,k∈Z

则 φ=﹣

﹣ kπ,φ>0,k∈Z, .

当 k=﹣1 时,φ 的最小值为

故选:B. 点评: 本题考查的知识点是函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,正弦函数的对称性,其中熟 练掌握正弦型函数的图象和性质是解答本题的关键. 7. (5 分)定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的函数 f(x) ,如果对于任意给定的等比数列{an}, {f(an)}仍是等比数列,则称 f(x)为“保等比数列函数”.现有定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞) 上的如下函数:①f(x)=x ;②f(x)=2 ; ③f(x)= ;④f(x)=ln|x|,其中是“保等比 数列函数”的序号为() A.①② B.③④ 考点: 数列与函数的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据新定义,结合等比数列性质 anan+2=an+1 ,一一加以判断,即可得到结论.通过 积的乘方,即可判断①; 通过指数的幂的运算,即可判断②;通过积的运算即可判断③;由对数的运算法则,即可判 断④. 2 解答: 解:由等比数列性质知 anan+2=an+1 , 2 2 2 2 2 ①f(an)f(an+2)=an an+2 =(an+1 ) =f (an+1) ,故正确; an an+2 an+an+2 2an+1 2 ②f(an)f(an+2)=2 2 =2 ≠2 =f (an+1) ,故不正确; ③f(an)f(an+2)= = =f (an+1) ,故正确;
2 2 2 2 2 x

C.①③

D.②④

④f(an)f(an+2)=ln|an|ln|an+2|≠ln|an+1| =f (an+1) ,故不正确; 故选 C. 点评: 本题考查等比数列性质及函数计算,正确运算,理解新定义是解题的关键.

8. (5 分)若 , , 均为单位向量,且 A. B. 1

=0,则| + ﹣ |的最小值为() C. +1 D.

考点: 平面向量数量积的性质及其运算律. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 易求 ,表示出 ,由表达式可判断 与 同向时| + ﹣ | 最
2

小,最小值可求,再开方可得答案. 解答: 解:因为 所以 所以 =3﹣2( 则当 与 所以 ) = = , ) 最大,| + ﹣ | 最小,此时, (
2

=0, +2 =2,则 +2 ﹣2( = , )

同向时, ( ≥3﹣2



=



,故| + ﹣ |≥

﹣1,即| + ﹣ |的最小值为

﹣1,

故选 A. 点评: 本题考查平面向量数量积的性质及其运算律,考查向量模的求解,考查学生分析问 题解决问题的能力.

9. (5 分)设实数 x,y 满足约束条件,

且目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大

值为 1,则 + 的最小值为() A.4 B. 8 C. 9 D.6

考点: 基本不等式在最值问题中的应用;简单线性规划的应用. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由约束条件作出可行域,并找出目标函数取得最大值时的条件,进而利用基本不等 式的性质即可求出.

解答: 解:由 x,y 满足线性约束条件

,作出可行域.

联立

,解得 C(2,1) .

由可行域可知:当目标函数经过点 C 时 z 取得最大值 1, ∴2a+b=1(a>0,b>0) , ∴ + =( + ) (2a+b)= 当且仅当 b=2a= 时,取等号, ∴ + 的最小值为 8. 故选 B. ≥ =8,

点评: 本题考查线性规划的有关内容及基本不等式的运用,确定 2a+b=1,正确运用基本不 等式是关键. 10. (5 分)如图,直角梯形 ABCD 中,∠A=90°,∠B=45°,底边 AB=5,高 AD=3,点 E 由 B 沿折线 BCD 向点 D 移动,EM⊥AB 于 M,ENAD 于 N,设 BM=x,矩形 AMEN 的面积为 y,那么 y 与 x 的函数关系的图象大致是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 动点型. 分析: 关键是找出 y 与 x 之间的关系,注意当 E 在 BC 上运动时,右边是一上三角,当 E 点在 CD 上运动时,其右边是一个梯形. 解答: 解:∵EM⊥AB,∠B=45°,∴EM=MB=x,AM=5﹣x, 当 E 点在 BC 上动时,即 0≤x≤3 时,y= ,

当 E 点在 CD 上动力时,矩形 AMEN 即为矩形 AMED,此时 3≤x<5,y=3(5﹣x) , ∴y= .图象如图 A.

故答案为:A. 点评: 本题是动点问题, 随着 E 点的运动, 所得图形的形状也不同, 这里就要求分类讨论. 考 查了函数思想,分类讨论思想.属于中档题. 二、填空题:把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分, 共 25 分) x 11. (5 分)如果 f(x)=e ,则 f′(0)=1. 考点: 导数的运算. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 利用导数的运算法则即可得出. x 解答: 解:∵f′(x)=e , ∴f′(0)=1. 故答案为:1. 点评: 本题考查了导数的运算法则,属于基础题. 12. (5 分)某住宅小区计划植树不少于 100 棵,若第一天植 2 棵,以后每天植树的棵树是前 * 一天的 2 倍,则需要的最少天数 n(n∈N )等于 6. 考点: 等比数列的通项公式. 专题: 应用题;等差数列与等比数列. 分析: 由题意可得,第 n 天种树的棵数 an 是以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列,根据等 比数列的求和公式求出 n 天中种树的棵数满足 sn≥100,解不等式可求 解答: 解:由题意可得,第 n 天种树的棵数 an 是以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列 sn=
n+1

=2

n+1

﹣2≥100

∴2 ≥102 * ∵n∈N ∴n+1≥7 ∴n≥6,即 n 的最小值为 6 故答案为:6 点评: 本题主要考查了等比数列的求和公式在实际问题中的应用,解题的关键是等比数列 模型的确定 13. (5 分)点 P(x,y)在直线 x+y﹣2=0 上,则 3 +3 的最小值为 6. 考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用基本不等式的性质、指数运算性质即可得出.
x y

解答: 解:∵点 P(x,y)在直线 x+y﹣2=0 上,∴x+y=2. 则 3 +3 的
x y x y

=

=6,当且仅当 x=y=1 时取等号.

∴3 +3 的最小值为 6. 故答案为:6. 点评: 本题考查了基本不等式的性质、指数运算性质,属于基础题. 14. (5 分)如果函数 f(x)=cos(kπx)在[0,1]上至少取得最小值 1008 次,则正数 k 的最小 值是 2015. 考点: 余弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据余弦函数的图象和性质进行求解即可. 解答: 解:函数的周期 T= = ,

若函数 f(x)=cos(kπx)在[0,1]上至少取得最小值 1008 次, 则 1007T+ 即 ≤1, ≤1,

即 k≥2015, 故正数 k 的最小值是 2015. 故答案为:2015 点评: 本题主要考查三角函数的图象和性质,根据条件确定函数周期和区间长度之间的关 系是解决本题的关键.

15. (5 分)定义“正对数”:ln x= ①若 a>0,b>0,则 ln (a )=bln a; + + + ②若 a>0,b>0,则 ln (ab)=ln a+ln b; ③若 a>0,b>0,则 ln ( )=ln a﹣ln b; ④若 a>0,b>0,则 ln (a+b)≤ln a+ln b+ln2; 其中的真命题有①④ (写出所有真命题的序号)
+ + + + + + + b +

+

,现有四个命题:

考点: 对数的运算性质;命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数的运算法则、新定义“正对数”即可得出. b + + b + 解答: 解:①若 1>a>0,b>0,a ∈(0,1) ,ln a=0,则 ln (a )=b?0=bln a,同理对于 a≥1,b>0;1>b>0,a>0;b≥1,a>0,也成立; + + + ②若 1>a>0,b>1,1>ab>0,可得:ln (ab)=0,ln a+ln b=0+lnb,不成立; ③若 a>0,b>0,b>1>a,则 ln ( )=0,ln a﹣ln b=0﹣lnb≠0,不成立;
+ + +

④若 a>0,b>0,1>a+b>0,则 ln (a+b)=0,ln a+ln b+ln2=ln2,此时成立,同理对于其 它情况也成立. 综上可得:只有①④正确. 故答案为:①④. 点评: 本题考查了对数的运算法则、新定义“正对数”,考查了分类讨论的思想方法,考查了 推理能力与计算能力,属于中档题. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (12 分)记函数 f(x)= B,求集合 A、B、A∩B. 考点: 函数的定义域及其求法;交集及其运算. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据函数的解析式,求出集合 A、B; (2)由集合 A、B,求出 A∩B. 解答: 解: (1)由 f(x)= ,得到 , 的定义域为 A,g(x)=lg[(1﹣x) (x+1)]的定义域为

+

+

+

解得:﹣1<x≤1,即 A={x|﹣1<x≤1}, 由 g(x)=lg[(1﹣x) (x+1)],得到(1﹣x) (x+1)>0,解得:即 B={x|﹣1<x<1}; (2)∵A={x|﹣1<x≤1},B={x|﹣1<x<1}, ∴A∩B=B={x|﹣1<x<1}. 点评: 本题考查了求函数定义域的问题,也考查了集合的基本运算问题,是基础题. 17. (12 分)在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且(2a+c)cosB=﹣bcosC. (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 b=2 ,a+c=4,求△ ABC 的面积. 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)在△ ABC 中,由条件利用正弦定理化简可得 cosB=﹣ ,由此求得 B 的值. (2)由条件利用余弦定理求得 ac=4,可得△ ABC 的面积 ac?sinB 的值. 解答: 解: (1)在△ ABC 中,根据(2a+c)cosB=﹣bcosC, 利用正弦定理可得 2sinAcosB+sinCcosB=﹣sinBcosC, 即 2sinAcosB+sin(C+B)=0,即 2sinAcosB+sinA=0. 由于 sinA≠0,可得 cosB=﹣ ,∴B=120°. (2)若 b=2 ,a+c=4,由余弦定理可得 b =12=a +c ﹣2ac?cosB=(a+c) ﹣2ac+ac=16﹣ac, ac?sinB=2× = .
2 2 2 2

∴ac=4,△ ABC 的面积为

点评: 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,根据三角函数的值求角,属于基础题.

18. (12 分)设函数 f(x)=2x +3ax +3bx+8c 在 x=1 及 x=2 时取得极值. (Ⅰ)求 a、b 的值; 2 (Ⅱ)若对任意的 x∈[0,3],都有 f(x)<c 成立,求 c 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 计算题;分类讨论. 分析: (1)依题意有,f'(1)=0,f'(2)=0.求解即可. 2 2 (2)若对任意的 x∈[0,3],都有 f(x)<c 成立?f(x)max<c 在区间[0,3]上成立,根据 导数求出函数在[0,3]上的最大值,进一步求 c 的取值范围. 2 解答: 解: (Ⅰ)f'(x)=6x +6ax+3b, 因为函数 f(x)在 x=1 及 x=2 取得极值,则有 f'(1)=0,f'(2)=0. 即 解得 a=﹣3,b=4. 3 2 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,f(x)=2x ﹣9x +12x+8c,f'(x)=6x ﹣18x+12=6(x﹣1) (x﹣2) . 当 x∈(0,1)时,f'(x)>0; 当 x∈(1,2)时,f'(x)<0; 当 x∈(2,3)时,f'(x)>0. 所以,当 x=1 时,f(x)取得极大值 f(1)=5+8c,又 f(0)=8c,f(3)=9+8c. 则当 x∈[0,3]时,f(x)的最大值为 f(3)=9+8c. 2 因为对于任意的 x∈[0,3],有 f(x)<c 恒成立, 2 所以 9+8c<c , 解得 c<﹣1 或 c>9, 因此 c 的取值范围为(﹣∞,﹣1)∪(9,+∞) . 点评: 本题考查了导数的应用:函数在某点存在极值的性质,函数恒成立问题,而函数①f 2 2 (x)<c 在区间[a,b]上恒成立与②存在 x∈[a,b],使得 f(x)<c 是不同的问题.①?f 2 2 (x)max<c ,②?f(x)min<c ,在解题时要准确判断是“恒成立”问题还是“存在”问题.在 解题时还要体会“转化思想”及“方程与函数不等式”的思想的应用. 19. (12 分) 如图, 在底面是菱形的四棱锥 P﹣ABCD 中, ∠ABC=60°, PA=AC=a, PB=PD= 点 E 在 PD 上,且 PE:ED=2:1. (Ⅰ)求证:BD⊥平面 PAC; (Ⅱ)求二面角 B﹣PA﹣D 的大小; (Ⅲ)在棱 PC 上是否存在一点 F,使 BF∥平面 AEC?证明你的结论. a,

3

2

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)证明 BD⊥PO,BD⊥AC,利用线面垂直的判定定理证明 BD⊥平面 PAC; (Ⅱ)证明∠BAD 为二面角 B﹣PA﹣D 的平面角,即可求解; (Ⅲ)设 F 为 PC 中点,取 PE 中点 G,连接 FG、BG,设 AC、BD 交于 O,连接 OE,由三 角形中位线定理可得 GF∥EC, OE∥BP, 根据面面平行的判定定理可得平面 BGF∥平面 AEC, 由面面平行的性质可得 BF∥平面 AEC. 解答: 解:设 BD∩AC=O,则 ∵ABCD 是菱形,PB=PD, ∴BD⊥PO,BD⊥AC, ∵AC∩PO=O, ∴BD⊥平面 PAC; (Ⅱ)∵PA=AC=a,PB=PD= a,∠ABC=60°, ∴AB=BC=AC=a,∠PAB=∠PAD=90°, ∴∠BAD 为二面角 B﹣PA﹣D 的平面角, ∴二面角 B﹣PA﹣D 的大小为 120°; (Ⅲ)设 F 为 PC 中点,取 PE 中点 G,连接 FG、BG 设 AC、BD 交于 O,连接 OE 由 PG=GE,PF=FC 得 GF∥EC 由 DO=OB,DE=EG 得 OE∥BG ∴平面 BGF∥平面 AEC ∴BF∥平面 AEC ∴F 是 PC 中点时,BF∥平面 AEC.

点评: 本题考查直线与平面平行的判定,二面角的求法,直线与平面垂直的判定,考查空 间想象能力,逻辑思维能力,计算能力,转化思想,是中档题. 20. (13 分)定义:称 的前 n 项的“均倒数”为 . 为 n 个正数 p1,p2,…pn 的“均倒数”.若已知数列{an}

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 ,试求数列{dn}的前 n 项和 Tn.

考点: 等差数列与等比数列的综合;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列.

分析: (Ⅰ)直接利用给出的定义得到

,整理得到

.分

n=1 和 n≥2 求出数列{an}的通项,验证 n=1 时满足,所以数列{an}的通项公式可求; (Ⅱ)把数列{an}的通项公式代入 和 Tn. 解答: 解: (Ⅰ)由已知定义,得 ∴a1+a2+…+an=n(2n+1)=Sn,即 . , ,然后利用错位相减法求出数列{dn}的前 n 项

当 n=1 时,a1=S1=3. 2 2 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=(2n +n)﹣[2(n﹣1) +(n﹣1)]=4n﹣1. 当 n=1 时也成立,∴an=4n﹣1; (Ⅱ)由 an=4n﹣1,所以 =(4n﹣1)?2 .
n

则数列{dn}的前 n 项和 Tn=d1+d2+d3+…+dn. 即 (1) (2) (1)﹣(2)得:

= 所以 .

=﹣10+(5﹣4n)?2

n+1



点评: 本题是新定义题,考查了由数列的前 n 项和求数列的通项公式,运用了分类讨论的 数学思想方法, 考查了利用错位相减法求数列的前 n 项和, 考查了学生的计算能力, 是中档题. 21. (14 分)已知函数 f(x)=lnx﹣ .

(Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; 2 (Ⅱ)设 g(x)=﹣x +2bx﹣4,若对任意 x1∈(0,2) ,x2∈[1,2],不等式 f(x1)≥g(x2) 恒 成立,求实数 b 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求 f′(x) ,在函数定义域内利用导数与函数单调性关系解不等式 f′(x)>0, f′(x)<0 即可. (Ⅱ)由题意不等式 f(x1)≥g(x2)恒成立,可转化为 f(x)min≥g(x)max,或分离出参数 后再求函数最值. 解答: 解: (Ⅰ)f(x)=lnx﹣ x+ ﹣1 的定义域是(0,+∞) .

f′(x)=

=



由 x>0 及 f′(x)>0 得 1<x<3;由 x>0 及 f′(x)<0 得 0<x<1 或 x>3, 故函数 f(x)的单调递增区间是(1,3) ;单调递减区间是(0,1) , (3,+∞) . (Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,3)上单调递增, 所以当 x∈(0,2)时, ,

对任意 x1∈(0,2) ,x2∈[1,2],不等式 f(x1)≥g(x2)恒成立, 问题等价于﹣ ≥g(x)对任意 x∈[1,2]恒成立,即 恒成立.

不等式可变为 b 因为 x∈[1,2],所以 所以 b ,

, ,当且仅当 ,即 x= 时取等号.

故实数 b 的取值范围是(

].

点评: 本题考查了利用导数研究函数单调性、求函数最值问题.恒成立问题常转化为函数 最值问题或分离参数后再求最值.


相关文章:
2016届江西省南昌三中高三上学期第二次月考数学(文)试题 解析版
2016届江西省南昌三中高三上学期第二次月考数学(文)试题 解析版_高三数学_数学...2015-2016 学年江西省南昌三中高三(上)第二次月考数学试卷 (文科)一、选择题...
江西省南昌三中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(理科)
江西省南昌三中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(理科)_数学_高中教育_教育专区。江西省南昌三中 2015 届高三上学期第二次月考数学试卷(理科)一.选择题 1. ...
江西省南昌三中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(文科)
江西省南昌三中 2015 届高三上学期第二次月考数学试卷(文科)一.选择题 2 1. (5 分)命题“对任意 x∈R,都有 x ≥0”的否定为() 2 2 A.对任意 x∈...
江西省南昌三中2016届高三上学期第二次月考数学试卷(文科)
江西省南昌三中2016届高三上学期第二次月考数学试卷(文科)_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年江西省南昌三中高三 (上) 第二次月考数学试卷 (文科)一、...
2015-2016学年江西省南昌三中高三(上)第二次月考数学试卷【解析版】(文科)
2015-2016学年江西省南昌三中高三(上)第二次月考数学试卷【解析版】(文科)_资格考试/认证_教育专区。2015-2016 学年江西省南昌三中高三(上)第二次月考数学试卷...
2016届江西省南昌市第三中学高三上学期第二次月考数学(理)试题
2016届江西省南昌市第三中学高三上学期第二次月考数学(理)试题_高考_高中教育_教育专区。南昌三中 2015—2016 学年度上学期第二次月考 高三数学(理)试卷命题:...
江西省南昌三中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(理科)
江西省南昌三中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(理科)_数学_高中教育_教育专区。江西省南昌三中 2015 届高三上学期第二次月考数学试卷(理科)一.选择题 1. ...
江西省南昌市第三中学2016届高三上学期第二次月考数学(文)试题
江西省南昌市第三中学2016届高三上学期第二次月考数学(文)试题_数学_初中教育_教育专区。南昌三中 2015—2016 学年度上学期第二次月考 高三数学(文)试卷 一、...
江西省南昌市第三中学2016届高三上学期第二次月考数学(理)试题
江西省南昌市第三中学2016届高三上学期第二次月考数学(理)试题_数学_高中教育_教育专区。南昌三中 2015—2016 学年度上学期第二次月考 高三数学(理)试卷命题:...
更多相关标签:
江西省南昌县莲塘三中 | 江西省南昌市 | 江西省南昌市青山湖区 | 江西省南昌市新建县 | 江西省南昌市进贤县 | 江西省南昌市南昌县 | 江西省南昌市天气预报 | 江西省南昌市西湖区 |