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正弦函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质学案1


正弦函数 y ? A sin(?x ? ? ), ( A ? 0, ? ? 0) 的图象与性质
1、用五点法画 y=Asin(ω x+φ )一个周期内的简图时,要找五个特征点

X=ωx+φ x y=Asin(ωx+φ)
2、正弦函数、余弦函数的图象与性质: (用五点法画出 y ? sin t , y ? cost 图象,再结合图象得出性质) ( t ? ?x ? ? )
函数 定义域 值域 单 调 性 R [-A,A] 增区间,解不等式: R [-A,A] 增区间,解不等式:

y ? A sin(?x ? ? ), ( A ? 0, ? ? 0) y ? A cos(?x ? ? ), ( A ? 0, ? ? 0)

2k? ?
2k? ?

?
2

? ?x ? ? ? 2k? ?
? ?x ? ? ? 2k? ?

?
2
3? 2

2k? ? ? ? ?x ? ? ? 2k?
2k? ? ?x ? ? ? 2k? ? ?

减区间,解不等式:

减区间,解不等式:

?
2

最值及相 应的 x 值

x 满足 ?x ? ? ? 2k? ? x 满足 ?x ? ? ? 2k? ?

? ?
2

时,y max 时,

?A

x 满足 ?x ? ? ? 2k? 时, y max ? A x 满 足 ?x ? ? ? 2k? ? ? 时 , y min ? ? A

2

y min ? ? A 奇偶性 ? ? k? 时,为奇函数; ? ? ? ? k? 时,为偶函数 2 对 对称 横坐标满足 ?x ? ? ? k? ,
称 中心 性 对称 轴 最小正周 期 纵坐标为 0 解方程: ?x ? ? ? 得最值

? ? k? 时,为偶函数; ? ? ? ? k? 时,为奇函数
2
横坐标满足 ?x ? ? ?

?
2

? k? ,

?
2

? k? ,此时函数取

纵坐标为 0 解方程:?x ? ? ? k? ,此时函数取得 最值

T?

2?

?
?
2

T?

2?

?
? . ?

3、 函数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k? ?

, k ? Z (A,ω , ? 为常数,且 A≠0,ω >0)的周期 T ?

4、 y ? tan x 的单调递增区间为 ? k? ?

? ?

?
2

, k? ?

??

k ? k ? Z ,对称中心为 ( 2 ? , 0)(k ? Z ) 2?

5、函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ω x+φ )的图象的步骤

1

二、例题讲解 例.把函数 y ? sin(? x ? ? ) (? ? 0 , | ? | ? ? ) 的图象向左平移 6 个单位,再将图象上所有点的横坐标伸 长到原来的 2 倍(纵坐标不变)所得图象的解析式是 y ? sin x ,则 ? ? _______; ? ? _______。 练习:1、要得到 y ? 3 sin(2x ? ) 的图象,只需将 y=3sin2x 的图象( A.向左平移

?

x ? 2、为了得到函数 y ? 2 sin( ? ), x ? R 的图像,只需把函数 y ? 2 sin x, x ? R 的图像上所有的点( 3 6 ? 1 (A)向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 6 3 ? 1 (B)向右平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 6 3
(C)向左平移 (D)向右平移

? 个单位 3

? 3

) D.向右平移

B.向左平移

? ? 个单位 C.向右平移 个单位 6 3

? 个单位 6
)

?

?

6

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)

6

例、将函数 y ? sin( x ? 左平移

?
3

) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再将所得的图象向

? 个单位,得到的图象对应的解析式是________________________ 3 例、已知函数 y ? f (x) 的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的 4 倍,横坐标扩大到原来的 2 倍,然后把 ? 所得的图象沿 x 轴向左平移 ,这样得到的曲线和 y ? 2 sin x 的图象相同,则已知函数 y ? f (x) 的解 2
析式为_________________________ 练习:1、下列函数中,图象的一部分如右图所示的是( (A) y ? sin ? x ? ) (D) y ? cos ? 2 x ?

? ?

??

?? ?? ? ? ? (B) y ? sin ? 2 x ? ? (C) y ? cos ? 4 x ? ? 6? 6? 3? ? ?

? ?

??
? 6?

1

2
2

2、已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? B 的一部分图象如上图所示,如果 A ? 0, ? ? 0,| ? |? A. A ? 4 B. ? ? 1 C. ? ?

?
2

,则(



?
6

D. B ? 4 )

3、 y ? A sin ??x ? ? ?的图象的一段如图所示,它的解析式是(

2 ? 2? ? 2 ? ?? sin? 2 x ? ? B. y ? sin? 2 x ? ? 3 ? 3 ? 3 ? 3? 2 ? ?? 2 ? ?? C. y ? sin ? 2 x ? ? D. y ? sin ? 2 x ? ? 3 ? 3? 3 ? 4?
A. y ?

2 3

?
例.函数 f ( x) ? sin(2x ?

?
3

7? 12

?

? 12

x

2 ? 3

) .(1)求函数 f ( x) 的周期; (2)求函数 f ( x ) 的值域,最值及相应的 x 值;

(3)求函数 f ( x ) 的单调区间; (4)当 x ? [ 0 ,

?
2

] 时,求函数 f ( x) 的取值范围; (5)求函数 f ( x ) 的

图象的对称中心、对称轴; (7)描述由正弦曲线得到函数 f ( x ) 的图象的过程;

π 例 3、函数 f ( x ) ? 3sin(2 x ? ) 的图象为 C,如下结论中正确的是______. 3 11 2π π 对称; 0) ① 图象 C 关于直线 x ? ② 图象 C 关于点 ( , 对称; ③ 函数 f (x)在区间 12 3 π π 5π ( ? , ) 内是增函数; ④ 由 y ? 3sin 2 x 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 C. 3 12 12

练习题
x 1 、 函 数 f ( x)? 2 s i n (?2
_____________。 2、对于函数 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
3

) 的递减区间是

A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

?
3

5、若 0 ? ? ? 2? ,sin ? ? 3 cos ? ,则 ? 的取值

) ,下列结论正确

范围是: (A) ?

的是_______。① 图象关于原点成中心对称; ② 图象关于直线 x ?

?
12

成轴对称; 图象可 ③

?? ? ? , ? ?3 2?

(B) ?

?? ? ,? ? ?3 ?

由函数 y ? 2sin 2x 的图像向左平移 得到;④ 图像向左平移

数 y ? 2cos 2 x 的图像。

? 个单位,即得到函 12

? 个单位 3

(C) ?

? ? 4? ? , ? ?3 3 ?

(D) ?

? ? 3? ? , ? ?3 2 ?

6、已知函数 f ( x) ? 2 sin(?x ?

?
6

)(? ? 0) 的最小

π 3 、 函 数 y=sin(2x+ 6 ) 的 图 象 可 看 成 是 把 函 数 y=sin2x 的图象做以下平移得到( ) π π A.向右平移 6 B. 向左平移 12 π π C. 向右平移 12 D. 向左平移 6

正周期为 4? ,则该函数的图象 A.关于点 ?

?? ? ? 5? ? ,0 ? 对称 B.关于点 ? ,0 ? 对称 ?3 ? ? 3 ?

C.关于直线 x ?

?
3

对称 D.关于直线 x ?

5? 对称 3

? ) 4 、 如 果 函 数 y ? 3 c o s (x2 ? 的 图 像 关 于 点
( 4? , 0 中心对称,那么 ? 的最小值为 ) 3
3

?? ? ? 的单调增区间为 4? ? ? ?? ( ) ? A. ? k? ? , k? ? ? , k ? Z 2 2? ?
7、 函数 f ? x ? ? tan ? x ?

B. k? , ? k ? 1? ? , k ? Z

?

?

13、已知函数

3? ?? ? C. ? k? ? , k? ? ? , k ? Z 4 4? ? ? 3? ? ? D. ? k? ? , k? ? ?,k ? Z 4 4 ? ? 8、将函数 y ? sin x 的图象上的每个点的纵坐标不 1 变,横坐标缩小为原来的 ,再沿 x 轴正方向平移 2 ? 个单位,然后沿 y 轴正方向平移 2 个单位, ,得 6
到( )

f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |?
分图象如图所示. (Ⅰ) 求函数 f ( x ) 的解析式;

?
2

) 的部

(Ⅱ) 如何由函数 y ? 2sin x 的图象通过适当的变 换得到函数 f ( x ) 的图象, 写出变换过程.

y 2 O
π 6
5π 12

? ? ?? ) ? 2 B. y ? sin? 2 x ? ? ? 2 6 3? ? ?? ?? ? ? C. y ? sin? 2 x ? ? ? 2 D. y ? sin? 2 x ? ? ? 2 6? 3? ? ? 9、函数 y ?| sin x | 的最小正周期是( ) ? ? A. B. ? C. D. 2? 4 2 ? x? ) 10 、 函 数 y ? 2 s i n ( 2 的单调增区间为 3
A. y ? sin( 2 x ? ( )

x

5? ]( k ? Z ) 6 6 ? 5? ](k ? Z ) B [2k? ? , 2k? ? 6 6 ? 5? ](k ? Z ) C. [ k? ? , k? ? 12 12 ? 5? ](k ? Z ) D. [2k? ? , 2k? ? 6 12
A. [k? ?

?

, k? ?

15 、 已 知函 数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其 中

A ? 0,? ? 0, 0? ? ?

?
2

)的图象与 x 轴的交点中,

相邻两个交点之间的距离为 点为 M (

11、设函数

f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |?
高点 D 的坐标为(

?
2

2? , ?2) . 3

? ,且图象上一个最低 2

) 的最

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式;(Ⅱ)当 x ? [ 的值域.

?
8

, ] ,求 f ( x) 12 2

? ?

,2 ) ,由最高点 D 运动到相邻

最低点时,函数图形与 x 轴的交点的坐标为 (

3? ,0 ). 8

(1)求函数 f (x) 的解析式和单调增区间。 (2)求函数的对称轴和对称中心 (3)函数 f (x) 的图象是由 y ? sin x 经过怎样的 变换而得到的,请写出变换过程。

4


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