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三角函数y=Asin(wx+&)的图像习题及答案


§ 4.4

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及三 角函数模型的简单应用
(时间:45 分钟 满分:100 分)

一、选择题(每小题 7 分,共 35 分) π 2x+ ?的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 2 倍,再向右平 1.将函数 y=sin? 4? ? π 移 个单位,所得到的图象解析式是( 4 A.f(x

)=sin x C.f(x)=sin 4x )

B.f(x)=cos x D.f(x)=cos 4x

π π? 2.设函数 f(x)=2sin? ?2x+5?.若对任意 x∈R,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的最小值 为( A.4 ) B.2 C.1 1 D. 2

π 3.将函数 y=sin(x-θ)的图象 F 向右平移 个单位长度得到图象 F′,若 F′的一条对称轴 3 π 是直线 x= ,则 θ 的一个可能取值是( 4 5 A. π 12 5 B.- π 12 7 C. π 12 ) 11 D.- π 12

π 4π 4.设 ω>0,函数 y=sin(ωx+ )+2 的图象向右平移 个单位后与原图象重合,则 ω 的最小 3 3 值是( 2 A. 3 ) 4 B. 3 3 C. 2 D.3

5 .电流强度 I( 安 ) 随时间 t( 秒 ) 变化的函数 I = Asin(ωt+ φ)(A>0 , π 1 ω>0,0<φ< )的图象如右图所示,则当 t= 秒时,电流强度是 2 100 ( ) A.-5 安 B.5 安 C.5 3安 D.10 安

二、填空题(每小题 6 分,共 24 分) 6 .已知函数 f(x) = sin(ωx + φ)(ω>0) 的图象如图所示,则 ω = __________.

7.函数 y=Asin(ωx+φ)(A、ω、φ 为常数,A>0,ω>0)在闭区 间[-π,0]上的图象如图所示,则 ω=________. π? 8.设函数 y=2sin? ?2x+3?的图象关于点 P(x0,0)成中心对称, π ? 若 x0∈? ?-2,0?,则 x0=________. π π π 9.设函数 y=sin(ωx+φ) (ω>0,φ∈(- , ))的最小正周期为 π,且其图象关于直线 x= 对 2 2 12 称,则在下面四个结论中: π ? ?π ? ? π? ①图象关于点? ?4,0?对称;②图象关于点?3,0? 对称;③在?0,6?上是增函数;④在

?-π,0?上是增函数,所有正确结论的编号为________. ? 6 ?
三、解答题(共 41 分) π 10.(13 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< )的 2 部分图象如图所示. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)如何由函数 y=2sin x 的图象通过适当的变换得到函数 f(x)的图象, 试写出变换过程.

π 11. (14 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0, ω>0, |φ|< , x∈R) 2 的图象的一部分如图所示 (1)求函数 f(x)的解析式; 2? (2)当 x∈? ?-6,-3?时,求函数 y=f(x)+f(x+2)的最大值 与最小值 及相应的 x 的值.

π 12.(14 分)函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< ) 2 的一段图象如图所示. (1)求函数 y=f(x)的解析式; π (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移 个单位,得到 y=g(x)的图象,求直线 y= 6与函数 y 4 =f(x)+g(x)的图象在(0,π)内所有交点的坐标. 答案 1.A 2.B 3.A 4.C 6. 3 2 7. 3 π 8. - 6 5.A 9. ②④

10. 解

(1)由图象知 A=2.

5π π? 2π f(x)的最小正周期 T=4×? ?12-6?=π,故 ω= T =2. π ? ?π ? 将点? ?6,2?代入 f(x)的解析式,得 sin?3+φ?=1. π π 又|φ|< ,∴φ= . 2 6 π? 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin? ?2x+6?. (2)方法一 y=2sin x ?????? ? π? 横坐标缩短为原来的2 π? y=2sin? ? y=2sin? 纵坐标不变 ?x+6? ??????? ?2x+6?.
2 方法二 y=2sin x ??????? ? y=2sin 2x 纵坐标不变
向左平移 个坐标 π? 12 ?????? ? y=2sin? ?2x+6?. 向左平移 个坐标 6

?

1

1 横坐标缩短为原来的

?

11. 解

(1)由图象知 A=2,T=8,

2π π ∵T= =8,∴ω= . ω 4 π ? 又图象过点(-1,0),∴2sin? ?-4+φ?=0. π π? π π ∵|φ|< ,∴φ= .∴f(x)=2sin? ?4x+4?. 2 4 (2)y=f(x)+f(x+2) π π? ?π π π? =2sin? ?4x+4?+2sin?4x+2+4? π π? π =2 2sin? ?4x+2?=2 2cos 4x. 2 3π π π -6,- ?,∴- ≤ x≤- . ∵x∈? 3 ? ? 2 4 6 π π 2 ∴当 x=- ,即 x=- 时,y=f(x)+f(x+2)取得最大值 6; 4 6 3 π 当 x=-π,即 x=-4 时,y=f(x)+f(x+2)取得最小值-2 2. 4 易错分析 12. 解 y=f(x)+f(x+2)化简错误,化简公式和方法不熟致误.

2π (1)由题图知 A=2,T=π,于是 ω= =2, T

π 将 y=2sin 2x 的图象向左平移 个单位长度, 12 得 y=2sin(2x+φ)的图象. π? π π 于是 φ=2× = ,∴f(x)=2sin? ?2x+6?. 12 6

π? π? (2)依题意得 g(x)=2sin?2? ?x-4?+6

?

?

π? =-2cos? ?2x+6?. π? π? ? 故 y=f(x)+g(x)=2sin? ?2x+6?-2cos?2x+6? π? =2 2sin? ?2x-12?. π? π? 3 ? 由 2 2sin? ?2x-12?= 6,得 sin?2x-12?= 2 . π π π ∵0<x<π,∴- <2x- <2π- . 12 12 12 π π π 2π ∴2x- = 或 2x- = , 12 3 12 3 5 3 ∴x= π 或 x= π, 24 8 5π 3π , 6?或? , 6?. ∴所求交点坐标为? 24 ? ? ?8 ? π ? π? 易错分析 f(x)向右平移 个单位得 g(x)=2sin? ?2?x-4? 4 π π? g(x)=2sin? ?2x-4+6?,忽略了 x 的系数 2 的作用. π + ?,学生易错为 6?


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