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2012高中数学 第三章3.6直线与平面、平面与平面所成的角课件 湘教版选修2-1


3.6 直线与平面、平面与平面所成 的角

学习目标

课前自主学案 3.6 课堂互动讲练

知能优化训练

学习目标 1.能用向量方法解决直线和平面所成角的计算问 题. 2.理解二面角的概念. 3.能够利用向量方法解决平面与平面所成角的 问题.

课前自主学案
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br />温故夯基
π 1.两条异面直线所成的角的范围是(0, ]. 2 2.直线与平面所成的角是指这条直线与它在 π 射影 这个平面内的______所成的角,其范围是[0, ]. 2 3. 若 l⊥ α, 则直线 l 的方向向量就是 α 的法向 量.

知新益能
1.直线与平面所成角的求法 设直线 l 与平面 α 所成角为 θ, 直线 l 的方向向 量为 a, 平面 α 的法向量为 n, a 与 n 所成的角为 θ1. |n· a| 则 sinθ=|cosθ1|= . |n||a|

思考感悟 1.直线与平面所成的角与直线的方向向量和平面 法向量所成角互余吗?

提示:不一定.

2.二面角的相关概念 (1)半平面:在一个平面内作一条直线,则这条直 每部分 都称为半平 线将平面分成两部分,其中__________ 面. (2) 二面角:从一条直线 l 出发的两个半平面 α , β 组成的图形叫作二面角,记为_________. α-l-β 这条直线 棱 ,半平面α,β都称为这个二面 l称为二面角的_____ 角的面.

(3) 二面角的平面角:过二面角 α - l - β 的棱 l 上 任意一点O作_______ 垂直于 棱l的平面,分别与两个面α, β相交得到两条射线OA,OB,则∠AOB称为二面 角α-l-β的平面角.二面角的范围是0°~180°. (4)度量:二面角的大小用它的_______度量. 平面角

思考感悟 2.如何正确认识二面角? 提示: (1) 二面角是一个空间图形,它是由两个 半平面和一条直线构成的图形,可以类比平面内 的角. (2)符号α-l-β表示以l为棱,α、β为两个半平面 的二面角. (3)两个平面相交,可以构成四个二面角. (4) 在二面角 α - l - β的棱 l 上任取一点 O,在两半 平面内分别作射线OA⊥l,OB⊥l,则 ∠AOB叫作二面角α-l-β的平面角.

3.二面角与平面法向量的关系
设两平面 α, β 所成角为 θ,平面 α、 β 的法向 量分别为 n1、 n2, n1 与 n2 所成的角为 θ1.则 θ 与 θ1 的关系为: π θ1 0≤ θ1≤ 2 |n1· n2| θ= ,即 |cosθ|= . |n1|· |n2| π π- θ1 <θ1≤ π 2

? ? ?

课堂互动讲练

考点突破

求直线与平面所成的角
利用法向量求直线与平面所成的角的基本步骤 为:(1)建立空间直角坐标系; → (2)求直线的方向向量AB; (3)求平面的法向量 n; → |n· AB| (4)计算:设线面角为 θ,则 sinθ= . → |n|· | n· AB|

正三棱柱 ABCA1B1C1 的底面边长为 a,侧 棱长为 2a,求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角.

例1

【思路点拨】 利用正三棱柱的性质,建立适 当的空间直角坐标系,写出有关点的坐标.求角 时有两种思路:一是由定义找出线面角,取 A1B1 的中点 M ,连接 C1M ,证明∠ C1AM 是 AC1 与平面 A1ABB1所成的角;另一种是利用平面A1ABB1的法 向量n=(λ,x,y)求解.

【解】 建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,0), B(0, a,0), 3 a A1(0,0, 2a), C1(- a, , 2a), 2 2 a 法一:取 A1B1 的中点 M,则 M(0, , 2a),连接 2 3 → → → AM、MC1,有MC1= (- a,0,0),AB= (0,a,0),AA1 2 = (0,0, 2a). → → → → ∴MC1· AB=0,MC1· AA1 = 0, → → → → ∴MC1⊥ AB,MC1⊥AA1 ,

即 MC1⊥ AB, MC1⊥ AA1, 又 AB∩ AA1= A, ∴ MC1⊥平面 ABB1A1. ∴∠ C1AM 是 AC1 与侧面 A1ABB1 所成的角. 3 a a → → 由于AC1 = (- a, , 2a),AM= (0, , 2a), 2 2 2 2 2 a 9 a → → ∴AC1 · AM=0+ + 2a2= , 4 4 3a2 a2 → |AC1 |= + + 2a2 = 3a, 4 4 2 a 3 → 2 |AM|= + 2a = a, 4 2

→ → 设AC1 与 AM所成的角为 θ, 2 9a 4 3 ∴cosθ= = . 3a 2 3a× 2 ∴θ=30° . 即 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为 30° . → → 法二:AB= (0,a,0),AA1 =(0,0, 2a), 3 a → AC1 = (- a, , 2a). 2 2

设侧面 ABB1A1 的法向量 n= (λ, x, y), → → ∴ n· AB= 0 且 n· AA1=0. ∴ ax= 0 且 2ay=0. ∴ x= y=0,故 n= (λ, 0,0). → 3 a ∵AC1= (- a, , 2a), 2 2 → 设AC1与 n 所成角为 θ1, → n· AC1 3λa 1 ∴ cos θ1= =- =± , → 2 2· 3| λ | a |n||AC1| 1 ∴sinθ=|cos θ1|= , θ=30° . 2 ∴ AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为 30° .

【名师点评】

在解答本题过程中,易出现所求

角为150°的错误,导致该种错误的原因是忽视
了直线与平面的法向量的夹角和直线与平面夹角 的区别.

自我挑战1

如图,在体积为1的直三棱柱ABC-A1B1C1中, ∠ACB=90°,AC=BC=1,求直线A1B与平面 BB1C1C所成角的正弦值.

解:由题意,可得 VABC A1B1C1 1 = CC1· S△ ABC= CC1 ·· AC· BC 2 1 = CC1= 1, 2 ∴ CC1= 2.

如图,分别以 CA、CB、CC1 所在直线为 x 轴、y 轴 、 z 轴 ,建 立空 间直角 坐标 系, 得点 B(0,1,0) , → C1(0,0,2), A1(1,0,2),则A1B= (-1,1,-2), 平面 BB1C1C 的法向量为 n=(1,0,0).

→ 设直线 A1B 与平面 BB1C1C 所成的角为 θ, A1B与 n 的夹角为 φ, → A1B· n 6 则 cosφ= =- , 6 → | A1B|· |n| 6 ∴ sinθ= |cosφ|= . 6 即直线 A1B 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值是 6 . 6

求平面与平面所成的角

利用向量法求二面角的步骤: (1)建立适当的空间直角坐标系; (2) 分别求出二面角的两个半平面所在平面的法 向量; (3)求出两个法向量的夹角; (4) 判断出所求二面角的平面角是锐角还是钝角; (5)确定出二面角的平面角的大小.

例2 (2010 年 高 考 天 津 卷 ) 如 图 , 在 长 方 体

ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是棱BC,CC1上的 点,CF=AB=2CE,AB∶AD∶AA1=1∶2∶4. (1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值; (2)证明:AF⊥平面A1ED; (3)求二面角A1EDF的正弦值.
【思路点拨】 解答本题首先建立空间坐标系, 写出一些点的坐标,再利用向量法求解.

【解】 如图所示,建立空间直角坐标系,点A 为坐标原点.设AB=1,依题意得D(0,2,0),
3 F(1,2,1), A1(0,0,4), E 1, , 0 . 2 1 → → → (1)易得EF= 0, , 1 , A1D= (0,2, -4), 于是 cos 〈 EF, 2 → → EF· A1 D → 3 A1D〉= =- . → → 5 | EF|| A1D| 3 所以异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值为 . 5

(

( )

)

3 ? (2)证明:易知=(1,2,1),= - 1,-2, 4?, ? ? 1 ? = - 1,2, 0?,于是 · = 0, · = 0. ? ? 因此, AF⊥ EA1, AF⊥ ED. 又 EA1∩ ED= E,所以 AF⊥平面 A1ED.

(3)设平面 EFD 的法向量 u=(x,y, z), 1 → y+ z=0, ? EF=0, 2 ?u· 则? 即 1 → ? ED=0, -x+ y= 0. ?u· 2

? ? ?

不妨令 x=1,可得 u=(1,2,- 1), → 由 (2)可知,AF为平面 A1ED 的一个法向量,

→ u· AF 2 → 于是 cos〈 u,AF〉= = , → 3 |u||AF| 5 → 从而 sin〈 u,AF〉= . 3 5 所以二面角 A1EDF 的正弦值为 . 3

【名师点评】

自我挑战2

如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1 中, AB = 1 , AC=AA1=,∠ABC=60°. (1)证明:AB⊥A1C; (2)求二面角AA1CB的余弦值.

解:(1)证明:∵三棱柱 ABCA1B1C1 为直三棱 柱, ∴ AA1⊥ AB, AA1⊥ AC. 在△ ABC 中,AB=1,AC= 3,∠ ABC= 60° ,

由正弦定理得∠ACB=30°, ∴∠BAC=90°,即AB⊥AC. 建立如图所示空间直角坐标系,
则 A(0,0,0), B(1,0,0), C(0, 3, 0), A1(0,0, 3), → → ∴AB=(1,0,0),A1C= (0, 3,- 3). → → ∴AB· A1C=1×0+0× 3+ 0×(- 3)=0, ∴AB⊥A1C.

→ (2)可取 m=AB= (1,0,0)为平面 AA1C 的法向量,设平面 BA1C 的法向量为 n= (l,m, n), → → → 则BC· n= 0,A1C· n= 0,又BC= (- 1, 3, 0) , ?- l+ 3m= 0, ? l= 3m, ? ? ∴? ∴? ? n= m, ? ? ? 3m- 3n= 0, 不妨取 m= 1,则 n= ( 3, 1,1). m· n cos〈 m, n〉= |m|· |n| 3× 1+ 1×0+ 1×0 15 = = . 2 2 2 2 2 2 5 1 + 0 + 0 × ? 3? + 1 + 1 15 ∴二面角 AA1CB 的余弦值为 . 5

向量法求夹角的综合应用
例3 如图所示,已知长方体 ABCD -

A1B1C1D1 , AB = 2 , AA1 = 1 , 直 线 BD 与平面 AA1B1B 所成的角为 30°, AE垂直BD于E,F为A1B1的中点. (1) 求异面直线 AE 与 BF 所成角的余 弦值; (2) 求平面 BDF 与平面 A1B 所成二面 角(锐角)的余弦值; (3)求直线AB与平面BDF夹角的正弦 值.

【思路点拨】 所给图形是长方体,“垂直” 关系明显,可建立空间直角坐标系,利用向量法 求解.

【解】 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,以AB、 AD、AA1 所在直线为 x轴, y轴, z轴,建立空间直 角坐标系如图.

由已知 AB= 2, AA1= 1, 可得 A(0,0,0), B(2,0,0), F(1, 0,1), 又 AD⊥平面 AA1B1B, 从而 BD 与平面 AA1B1B 所成的角即为∠DBA = 30° , 2 3 又 AB=2,AE⊥ BD,AE=1, AD= , 3 1 3 2 3 从而易得 E( , , 0), D(0, , 0). 2 2 3

3 → 1 → (1)∵AE=( , ,0),BF= (-1,0,1), 2 2 1 → → - 2 AE· BF 2 → → ∴cos〈AE, BF〉= = =- . 4 → → 2 | AE|| BF | 2 即异面直线 AE、BF 所成角的余弦值为 . 4

(2)易知平面 A1B 的一个法向量 m= (0,1,0), 设 n= (x, y, z)是平面 BDF 的一个法向量. 2 3 → 又BD = (-2, , 0), 3 → → ? ? BF= 0 ?n⊥BF ?n· 由? , ?? , → → ? ? BD= 0 ?n⊥BD ?n· - x+ z=0 ? ? ?x=z ?? , ?? , 2 3 ? 3x= y - 2x+ y= 0 ? ? 3

取 n= (1, 3, 1), m· n 3 15 ∴ cos〈 m, n〉= = = . 5 |m||n| 1× 5 即平面 BDF 与平面 A1B 所成二面角(锐角 )的余 15 弦值为 . 5

(3)∵AB=(2,0,0),平面 BDF 的一个法向量为 n2= (1, 3, 1), ∴ cos<AB, n2>= = → | AB ||n2| 2× 5 5 = . 5 设直线 AB 与平面 BDF 的夹角为 β, 5 → 则 sinβ= |cos<AB, n2>|= . 5 5 即直线 AB 与平面 BDF 夹角的正弦值为 . 5





AB· n2



2+0+0

【名师点评】 无论直线与直线的夹角,平面 与平面的夹角,还是直线与平面的夹角,夹角的范 π 围都是[0, ],所以夹角的正弦值或余弦值都是非 2 负值.

方法感悟 1 .利用空间向量求线线角、线面角的关键是转 化为直线的方向向量之间、直线的方向向量与平面 的法向量之间的角,通过数量积求出,通常方法分 为两种:坐标方法、基向量方法,解题时要灵活掌 握. 2 .利用向量方法求二面角的方法分为二类:一 类是找到或作出二面角的平面角,然后利用向量去 计算其大小;另一类是利用二面角的两个平面的法 向量所成的角与二面角的平面角的关系去求.后一 类需要依据图形特点建立适当的空间直角坐标系.


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