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陕西省师范大学附属中学2015届高三数学上学期第一次模拟试题 文


高三第一次模考数学(文科)试题
一、选择题(本题共12小题,每题5分,共60分) 1.集合 A ? ??1,0,1,3? ,集合 B ? x x ? x ? 2 ? 0, x ? N ,全集
2

?

?

U ? x x ? 1 ? 4, x ? Z ,则 A ? CU B ?
A. ?3? B. ??1,3? C. ??1,0,3? D. ??1,1,3?

?

?

2.某几何体的三视图如下图所示, 则该几何体的体积为

16? 3 40? C. 3
A.

B.

20? 3

D. 5?

3.下列命题中正确的个数是 ①命题“任意 x ? (0, ??), 2x ? 1”的否定是“任意 x ? (0, ??), 2x ? 1 ; ②命题“若 cos x ? cos y ,则 x ? y ”的逆否命题是真命题; ③若命题 p 为真,命题 ? q 为真,则命题 p 且 q 为真;
2 ④命题”若 x ? 3 ,则 x ? 2 x ? 3 ? 0 ”的否命题是“若 x ? 3 ,则

x2 ? 2 x ? 3 ? 0 ”.
A. 0 个 C. 2 个 B. 1 个 D. 3 个

4.如图,当 x1 ? 6, x2 ? 9, p ? 8.5 时, x3 ? A.7 C.10 B.8 D.11

5.如右图所示的三角形数组是我国古代数学家 杨辉发现的,称为杨辉三角形,根据图中的[Z-XK] 数构成的规律, a 所表示的数是 A.2
2 2

B.4

C.6

D.8

6.已知圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? a ? 0 截直线 x ? y ? 2 ? 0 所得弦的长度为 4,则实数 a 的值为 A. ? 2 B. ? 4 C. ? 6 D. ? 8
-1-

7.为了了解某校今年准备报考飞行员的学生 的体重情况,将所得的数据整理后,画出了 频率分布直方图(如图) ,已知图中从左到 右的前 3 个小组的频率之比为 1∶2∶3,第 1 小组的频数为 6,则报考飞行员的学生人数是 A.36 B.40 C.48 D.50

8.若复数 z 满足 (3 ? 4i ) ? z ? 4 ? 3i , z 为 z 的共轭复数,则 z 的虚部为 A. ?

4 5

B.

4 5

C. ?

4 i 5

D.

4 i 5

9.如图所示的是甲、乙两人在 5 次综合测 评中成绩的茎叶图,其中一个数字被污损, 则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 A.

2 5

B.

7 10

C.

4 5

D.

9 10

? CD ? 2 DB , 10.在 ?ABC 中, 已知 ?BAC ? 90 ,AB ? 6 , 若 D 点在斜边 BC 上, 则 AB ? AD

的值为 A.48 11.函数 f ( x) ? ? B.24 C.12 D.6

?1 x为有理数 ?? x为无理数

,下列结论不正确 的是 ...

A.此函数为偶函数 C.此函数既有最大值也有最小值

B.此函数是周期函数 D.方程 f ? f ( x)? ? 1的解为 x ? 1

x3 1 2 ? ax ? 2bx ? c 的 两 个 极 值 点 分 别 为 x1 , x2 . 若 12. 已 知 函 数 f ( x) ? 3 2

x1 ?(?2,1), x2 ?(1,2) ,则 2a ? b 的取值范围是
A. ? -7,3? B. ? -5, 2? C. ? 2, +? ? D. ? -?, 3?

二、填空题(本题共4小题,每题5分,共20分) 13.设曲线 y ?

x ?1 2) 处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? _______. 在点 (3, x ?1
-2-

14.设 ? 是第二象限角, P?x,4? 为其终边上的一点,且 cos ? ? 15. 已知抛物线 y 2 ? 4 x 的准线与双曲线 4 x ?
2

x ,则 tan 2? ? ___________. 5

y2 ? 1(b ? 0) 交于 A 、B 两点, 点 F 为抛物线 b2


的焦点,若 ?FAB 为直角三角形,则双曲线离心率为 16.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 33, an?1 ? an ? 2n ,则

an 的最小值为___. n

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)已知 ?ABC 的三内角 A, B, C 所对的边的长分别为 a , b, c .设向量

?? ? ?? ? m ? (a ? c, a ? b) , n ? (a ? b, c) ,且 m / / n .
(1)求 B ; (2)若 a ? 1, b ? 3 ,求 ?ABC 的面积.

18.(本小题满分 12 分)已知数列 an 是公差大于零的等差数列,数列 bn 为等比数列,且

? ?

? ?

a1 ? 1, b1 ? 2, b2 ? a2 ? 1, a3 ? b3 ? 13 .
(1)求数列 an 和 bn 的通项公式; (2)设 cn ? anbn ,求数列 cn 前 n 项和 Sn .

? ? ? ?

? ?

19.(本小题满分 12 分)如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 中,

E 、 F 分别为 DD1 、 DB 的中点.
(1)求证:平面 CFB1 ? 平面EFB1 ; (2)若三棱锥 B1 ? EFC 的体积为 1 ,求此正方体的棱长.

-3-

20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率等于 个顶点恰好是抛物线 x2 ? 8 3 y 的焦点. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)直线 x ? 2 与椭圆交于 P, Q 两点, 斜率为

1 ,它的一 2

1 的直线交椭圆于 A, B 两点, 2

且 A, B 两点位于直线 x ? 2 的两恻, 求四边形 APBQ 面积的最大值. [Z-XK] 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? x ? ln a , a 为常数. (1)若函数 f ( x ) 有两个零点 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,求 a 的取值范围; (2)在(1)的条件下,证明:

x1 的值随 a 的值增大而增大. x2

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,PA 是 ? O 的切线,PE 过圆心 O , 与 ? O 相交于 D 、E 两点,AC 为 ? O 的直径,PC 与 ? O 相交于 B 、 C 两点,连结 AB 、 CD . (1) 求证: ?PAD ? ?CDE ;
E

C B
O D P

(2) 求证:

PA BD ? . PC ? PE AD

2

A

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 直角坐标系 xOy 和极坐标系 Ox 的原点与极点重合, x 轴正半轴与极轴重合,单位长度相同,

-4-

在直角坐标系下,曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 4cos ? ,(? 为参数). ? y ? 2sin ?

(1)在极坐标系下,曲线 C 与射线 ? ? 面积;

? ? 和射线 ? ? ? 分别交于 A, B 两点,求 ?AOB 的 4 4

(2)在直角坐标系下,直线 l 的参数方程为 ? 交点坐标.

? ? x ? 6 2 ? 2t , ? ?y ? t ? 2

( t 为参数) ,求曲线 C 与直线 l 的

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ?x? ? x ? 3 , g ?x? ? m ? 2 x ? 11 , 若 2 f ?x ? ? g ?x ? 4 ? 恒成立,实数 m 的最大值为

t.
(1)求实数 t . (2) 已知实数 x、y、z 满足 2 x2 ? 3 y 2 ? 6 z 2 ? a (a ? 0), 且 x ? y ? z 的最大值是 值.

t , 求a的 20

-5-

高三第一次模考数学(文科)试题答案 二、选择题(本题共12小题,每题5分,共60分) 题号 答案 1 B 2 A 3 B 4 B 5 C 6 B 7 C 8 A 9 C 10 B 11 B 12 A

三、填空题(本题共4小题,每题5分,共20分) 题号 答案 13 14
24 7

15

16

?2

57 3

21 2

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17.

18.

-6-

19. 20.(Ⅰ)证明: E 、 F 分别为 D1D , DB 的中点, 则 CF ? BD ,又 CF ? D1 D ,∴ CF ? 平面 BB1 D1 D , ∵ CF ? 平面 CFB1 ,∴平面 CFB1 ? 平面EFB1 (Ⅱ) ? CF ? 平面 BDD1B1 ,?CF ? 平面EFB1 ∵ EF ?

CF ? BF ? ,

2 a, 2

1 3 6 BD1 ? a , B1F ? BB12 ? BF 2 ? a, 2 2 2
3 a ∴ EF 2 ? B1F 2 ? B1E 2 ,即 ?EFB1 ? 90? , 2

B1 E ? B1 D12 ? ED12 ?

1 1 2 1 6 3 1 ?VB1 ? EFC ? VC ? B1EF ? ? S ?B1EF ? CF ? ? a? ? a? a ? a3 3 3 2 2 2 2 8 ,
由 VB1 ? EFC ? 1解得: a ? 2

20.

21. 解: (1) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) .

f ?( x) ?

1? x ,由 f ?( x) ? 0 得: 0 ? x ? 1 ;由 f ?( x) ? 0 得: x ? 1 . x

故 f ( x ) 在 (0,1) 上递增,在 (1, ??) 上递减。 要使 f ( x ) 有两个零点,则 f (1) ? 0 ,解得: 0 ? a ? (2)? x1 , x2 是 f ( x ) 的两个零点,

1 . e

-7-

?ln x1 ? x1 ? ln a,ln x2 ? x2 ? ln a ,则 a ?
设 g ( x) ?

x 1? x , g ?( x ) ? x , 所 以 g ( x) 在 (0,1) 上 递 增 , 在 (1, ??) 上 递 减 , 故 对 任 x e e 1 , () 意 [Z-XK] a ?0 , 函 数 g (x )图 像 与 直 线 y ? a 都 有 两 个 交 点 . 横 坐 标 分 别 为 x1 , x2 , 且 e

x1 x , a ? x22 ,. x1 e e

x1 ? (0,1), x2 ? (1, ??) ,如下图:

任取 a1 , a2 ? (0, ) ,设 a1 ? a2 ,则有 g(?1 ) ? g(?2 ) ? a1 ,0 ? ?1 ? 1 ? ?2 ,

1 e

g(?1 ) ? g(?2 ) ? a2 ,0 ? ?1 ? 1 ? ?2 ,由 a1 ? a2 得: g (?1 ) ? g (?1 ) ,? g ( x) 在 (0,1) 上递增,

? ?1 ? ?1 ,同理得: ?2 ? ?2 ,所以
x1 的值随 a 的值增大而增大. x2

?1 ?1 ? , ? 2 ?2



22.

23.[Z-xk.Com]

-8-

24.

-9-


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