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12届高三数学一轮复习第八章平面解析几何8-1


第8章
一、选择题

第1节

1.(2010·崇文区)“m=-2”是“直线(m+1)x+y-2=0 与直线 mx+(2m+2)y+1=0 相互垂直”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] A

[解析] m=-2 时,两直线-x

+y-2=0、-2x-2y+1=0 相互垂直;两直线相互垂 直时,m(m+1)+2m+2=0,∴m=-1 或-2,故选 A. 2.(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是( A.x-2y-1=0 C.2x+y-2=0 [答案] A 1 1 [解析] 解法 1:所求直线斜率为 ,过点(1,0),由点斜式得,y= (x-1),即 x-2y-1 2 2 =0. 解法 2:设所求直线方程为 x-2y+b=0, ∵过点(1,0),∴b=-1,故选 A. (理)设曲线 y=ax2 在点(1,a)处的切线与直线 2x-y-6=0 平行,则 a=( A.1 1 C.- 2 [答案] A [解析] y′=2ax,在(1,a)处切线的斜率为 k=2a, 因为与直线 2x-y-6=0 平行,所以 2a=2,解得 a=1. 3.点(-1,1)关于直线 x-y-1=0 的对称点是( A.(-1,1) C.(-2,2) [答案] D [解析] 一般解法:设对称点为(x,y),则 B.(1,-1) D.(2,-2) ) 1 B. 2 D.-1 ) B.x-2y+1=0 D.x+2y-1=0 )

?x-1-y+1-1=0 ? 2 2 ?y-1 ?x+1=-1 ?

?x=2 ? ,解之得? , ? ?y=-2

特殊解法:当直线 l:Ax+By+C=0 的系数满足|A|=|B|=1 时,点 A(x0,y0)关于 l 的对 -By0-C -Ax0-C ,y= . 称点 B(x,y)的坐标,x= A B 4.(2010·惠州市模考)在平面直角坐标系中,矩形 OABC,O(0,0),A(2,0),C(0,1),将矩 形折叠,使 O 点落在线段 BC 上,设折痕所在直线的斜率为 k,则 k 的取值范围为( A.[0,1] C.[-1,0] [答案] D [解析] 如图,要想使折叠后点 O 落在线段 BC 上,可取 BC 上任一点 D 作线段 OD 的 垂直平分线 l,以 l 为折痕可使 O 与 D 重合,故问题转化为在线段 CB 上任取一点 D,求直 线 OD 的斜率的取值范围问题, B.[0,2] D.[-2,0] )

1 1 ∵kOD≥kOB= ,∴k=- ≥-2,且 k<0, 2 kOD 又当折叠后 O 与 C 重合时,k=0,∴-2≤k≤0. 5. (文)已知点(3,1)和点(1,3)在直线 3x-ay+1=0 的两侧, 则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,10) B.(10,+∞) 4 C.?-∞,3?∪(10,+∞) ? ? 4 D.?3,10? ? ? [答案] D [解析] 将点的坐标分别代入直线方程左边, 所得两值异号, ∴(9-a+1)(3-3a+1)<0, 4 ∴ <a<10,故选 D. 3 (理)如果点(5,a)在两条平行直线 6x-8y+1=0 和 3x-4y+5=0 之间,则整数 a 的值 为( ) A.5 B.-5 )

C.4 [答案] C

D.-4

[解析] 由题意知(30-8a+1)(15-4a+5)<0, ∴ 31 <a<5,又 a 为整数,∴a=4. 8

→ → 6.(2010·南充市)在直角坐标平面上,向量OA=(1,3)、OB=(-3,1)(O 为原点)在直线 l 上的射影长度相等,且直线 l 的倾斜角为锐角,则 l 的斜率等于( A.1 1 C. 2 [答案] C → → [解析] 过原点作与直线 l 平行的直线 l′,则OA、OB在 l′上的射影也相等,故 A、B 到直线 l′的距离相等,设 l′:y=kx,则 1 ∵l 的倾斜角为锐角,∴k= . 2 → → [点评] 设直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的一个方向向量为 a=(1,k),由OA,OB在 a → → |a·OA| |a·OB| 上射影的长度相等可得 = ,可解出 k. |a| |a| 7. A(0,0), 设 B(2,2), C(8,4), 若直线 AD 是△ABC 外接圆的直径, 则点 D 的坐标是( A.(16,-12) C.(4,-3) [答案] A [解析] 线段 AB 的垂直平分线 x+y-2=0 与线段 AC 的垂直平分线 2x+y-10=0 的交 点即圆心(8,-6),而圆心为 AD 的中点,所以得点 D 的坐标为(16,-12). 8.(文)(2010·福建莆田市质检)经过圆 x2+y2+2x=0 的圆心,且与直线 x+y=0 垂直的 直线 l 的方程是( A.x+y+1=0 C.x+y-1=0 [答案] B [解析] 设与直线 x+y=0 垂直的直线方程为 x-y+b=0, ∵过圆心(-1,0),∴b=1,故选 B. (理)(2010·山东潍坊)设曲线 y=xn 1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn,则 log2010x1+log2010x2+…+log2010x2009 的值为( )


)

B. D.

3 2 3 3

|k-3|

1+k

2=

|-3k-1| 1 2 ,∴k=-2 或2, 1+k

)

B.(8,-6) D.(-4,3)

) B.x-y+1=0 D.x-y-1=0

A.-log20102009 C.log20102009-1 [答案] B [解析] 由 y=xn
+1

B.-1 D.1

得 y′=(n+1)xn,则在点(1,1)处切线的斜率 k=y′|x=1=n+1,切线

n 方程为 y-1=(n+1)(x-1),令 y=0 得,xn= , n+1 ∴log2010x1+log2010x2+…+log2010x2009 =log2010(x1·x2·…·x2009) 2009 1 2 3 1 =-1,故选 B. =log2010?2×3×4×…×2010?=log2010 ? ? 2010 9.(文)直线 l 过点(-2,0),当 l 与圆 x2+y2=2x 有两个交点时,直线 l 的斜率 k 的取值 范围是( ) B.(- 2, 2) 1 1 D.?-8,8? ? ?

A.(-2 2,2 2) C.?-

?

2 2? , 4 4?

[答案] C [解析] 由题意得,圆的方程为(x-1)2+y2=1,所以圆心为(1,0),半径为 1.当过点(- 2,0)的直线 l 与圆相切时,可求得直线 l 的斜率 k=± 2 .所以直线 l 的斜率 k 的取值范围是 4

?- 2, 2?.故选 C. ? 4 4?
(理)(2010·汕头模拟)平行四边形 ABCD 的一条对角线固定在 A(3,-1),C(2,-3)两点, D 点在直线 3x-y+1=0 上移动,则 B 点轨迹的方程为( A.3x-y-20=0(x≠13) C.3x-y-9=0(x≠-8) [答案] A 5 [解析] 线段 AC 的中点 M?2,-2?,设 B(x,y),则 B 关于点 M 的对称点(5-x,-4 ? ? -y)在直线 3x-y+1=0 上,∴3(5-x)-(-4-y)+1=0,即 3x-y-20=0. ∵A、B、C、D 不能共线,∴不能为它与直线 AC 的交点,即 x≠13. 10.已知一动直线 l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为 p,直线 l 在两坐标轴 上的截距之和为 q,且 p 比 q 大 1,则这个三角形面积的最小值为( A.4 C.4+3 3 [答案] D B.2+ 6 D.5+2 6 ) )

B.3x-y-10=0(x≠13) D.3x-y-12=0(x≠-8)

x y 1 1 [解析] 设直线 l 的方程为 + =1(a>0,b>0),则 ab=a+b+1,∵a+b≥2 ab,∴ a b 2 2 ab≥2 ab+1,即( ab)2-4 ab-2≥0,解得 ab≥2+ 6, 1 1 ∴ ab≥ ×(2+ 6)2=5+2 6,当 a=b=2+ 6时,三角形面积的最小值为 5+2 6. 2 2 二、填空题 1 11.(2010·深圳中学)已知向量 a=(6,2),b=?-4,2?,直线 l 过点 A(3,-1),且与向 ? ? 量 a+2b 垂直,则直线 l 的一般方程为________. [答案] 2x-3y-9=0 → [解析] a+2b=(-2,3),设 l 上任一点 P(x,y),则AP=(x-3,y+1),由条件知,(x -3,y+1)·(-2,3)=0,∴2x-3y-9=0.

?x+2y≤10 ?2x+y≥3 12.(2010·浙江临安)设 D 是不等式组? 0≤x≤4 ?y≥1 ?
[答案] 4 2

所表示的平面区域,则区域 D 中

的点 P(x,y)到直线 x+y=10 的距离的最大值是________.

[解析] 画出不等式组所表示的平面区域 D 如图中阴影部分所示(包括边界),显然直线 y=1 与 2x+y=3 的交点(1,1)到直线 x+y=10 的距离最大, 根据点到直线的距离公式可以求 得最大值为 4 2.

13. (2010·安徽怀宁中学月考)“直线 ax+2y+1=0 和直线 3x+(a-1)y+1=0 平行”的 充要条件是“a=____”. [答案] -2 a 2 [解析] 由条件知 = ,∴a2-a-6=0,∴a=-2 或 3,当 a=3 时,两直线重合不 3 a-1 合题意,∴a=-2.

14. (文)实数 x、 满足 3x-2y-5=0 y [答案] 2 ,-1 3

y (1≤x≤3), 的最大值、 则 最小值分别为________. x

y y [解析] 设 k= ,则 表示线段 AB:3x-2y-5=0 (1≤x≤3)上的点与原点的连线的斜 x x 率.∵A(1,-1),B(3,2). 2 由图易知:kmax=kOB= , 3 kmin=kOA=-1. (理)(2010·河南许昌调研)如果 f ′(x)是二次函数,且 f ′(x)的图象开口向上,顶点坐标 为(1,- 3),那么曲线 y=f(x)上任一点的切线的倾斜角 α 的取值范围是________. π 2π [答案] [0, )∪( ,π) 2 3 [解析] 由题意 f ′(x)=a(x-1)2- 3, ∵a>0,∴f ′(x)≥- 3,因此曲线 y=f(x)上任一点的切线斜率 k=tanα≥- 3, π 2π ∵倾斜角 α∈[0,π),∴0≤α< 或 <α<π. 2 3 三、解答题 15.(文)有一个装有进出水管的容器,每单位时间进出的水量各自都是一定的,设从某 时刻开始 10 分钟内只进水、不出水,在随后的 30 分钟内既进水又出水,得到时间 x(分)与 水量 y(升)之间的关系如图所示,若 40 分钟后只放水不进水,求 y 与 x 的函数关系.

20 [解析] 当 0≤x≤10 时,直线过点 O(0,0),A(10,20),∴kOA= =2, 10 ∴此时直线方程为 y=2x; 当 10<x≤40 时,直线过点 A(10,20),B(40,30), 30-20 1 此进 kAB= = , 40-10 3 1 ∴此时的直线方程为 y-20= (x-10), 3 1 50 即 y= x+ ; 3 3 当 x>40 时,由题意知,直线的斜率就是相应放水的速度,设进水的速度为 v1,放水的 速度为 v2,在 OA 段时是进水过程,∴v1=2.在 AB 段是既进水又放水的过程,由物理知识

1 可知,此时的速度为 v1+v2= , 3 1 5 ∴2+v2= .∴v2=- . 3 3 5 ∴当 x>40 时,k=- . 3 又过点 B(40,30), 5 290 ∴此时的直线方程为 y=- x+ . 3 3 令 y=0 得,x=58,此时到 C(58,0)放水完毕.

?1 50 ? x+ ,10<x≤40 3 综上所述:y=?3 ?-5x+290,40<x≤58. ? 3 3
y=2x,0≤x≤10 1 (理)已知矩形 ABCD 的两条对角线交于点 M?2,0?, 边所在直线的方程为 3x-4y-4 ? ? AB 1 =0.点 N?-1,3?在 AD 所在直线上. ? ? (1)求 AD 所在直线的方程及矩形 ABCD 的外接圆 C1 的方程; 1 (2)已知点 E?-2,0?,点 F 是圆 C1 上的动点,线段 EF 的垂直平分线交 FM 于点 P,求 ? ? 动点 P 的轨迹方程. [解析] (1)∵AB 所在直线的方程为 3x-4y-4=0,且 AD 与 AB 垂直, 4 ∴直线 AD 的斜率为- . 3 又点 N 在直线 AD 上, 1 4 ∴直线 AD 的方程为 y- =- (x+1), 3 3 即 4x+3y+3=0.
? ?3x-4y-4=0 ,解得点 A 的坐标为(0,-1). 由? ? ?4x+3y+3=0

又两条对角线交于点 M, ∴M 为矩形 ABCD 的外接圆的圆心. 而|MA|=

?0-1?2+(-1-0)2= 5, ? 2? 2

1 5 ∴外接圆的方程为?x-2?2+y2= . ? ? 4 (2)由题意得,|PE|+|PM|=|PF|+|PM|=|FM|= 5 ,又|FM|>|EM|, 2

∴P 的轨迹是以 E、M 为焦点,长半轴长为 1 5 5 1 1 ∵c= ,a= ,∴b2=a2-c2= - = . 2 4 16 4 16 x2 y2 故动点 P 的轨迹方程是 + =1. 5 1 16 16

x2 y2 5 的椭圆,设方程为 2+ 2=1(a>b>0), 4 a b

2 16. 已知直线 l1 过点 A(-1,0), 且斜率为 k, 直线 l2 过点 B(1,0), 且斜率为- , 其中 k≠0, k 又直线 l1 与 l2 交于点 M. (1)求动点 M 的轨迹方程; 1 (2)若过点 N?2,1?的直线 l 交动点 M 的轨迹于 C、D 两点,且 N 为线段 CD 的中点,求 ? ? 直线 l 的方程. [解析] (1)设 M(x,y),∵点 M 为 l1 与 l2 的交点,

?x+1=k ∴? y 2 ?x-1=-k

y

(k≠0),

y2 消去 k 得, 2 =-2, x -1 ∴点 M 的轨迹方程为 2x2+y2=2(x≠±1). (2)由(1)知 M 的轨迹方程为 2x2+y2=2(x≠±1), 设 C(x1,y1),D(x2,y2), 则 2x12+y12=2① 2x22+y22=2② ①-②得 2(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0, 即 y1-y2 x1+x2 =-2× , x1-x2 y1+y2

1 ∵N?2,1?为 CD 的中点, ? ? 有 x1+x2=1,y1+y2=2, 1 ∴直线 l 的斜率 k=-2× =-1, 2 1 ∴直线 l 的方程为 y-1=-?x-2?, ? ? 整理得 2x+2y-3=0. 17.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,平行于 x 轴且过点 A(3 3,2)的入射光线 l1 被直

线 l:y=

3 x 反射,反射光线 l2 交 y 轴于 B 点,圆 C 过点 A 且与 l1、l2 都相切,求 l2 所在直 3

线的方程和圆 C 的方程.

[解析] 直线 l1:y=2,设 l1 交 l 于点 D,则 D(2 3,2). ∵l 的倾斜角为 30°.∴l2 的倾斜角为 60°.∴k2= 3. ∴反射光线 l2 所在的直线方程为 y-2= 3(x-2 3),即 3x-y-4=0. 已知圆 C 与 l1 切于点 A,设 C(a,b). ∵⊙C 与 l1、l2 都相切, ∴圆心 C 在过点 D 且与 l 垂直的直线上, ∴b=- 3a+8① 圆心 C 在过点 A 且与 l1 垂直的直线上, ∴a=3 3②

?a=3 3 由①②得? ,圆 C 的半径 r=3, ?b=-1
故所求圆 C 的方程为(x-3 3)2+(y+1)2=9.


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