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全国各地数学模拟试卷(新课标)分章精编---导数及其应用(二)


全国各地数学模拟试卷(新课标)分章 精编 导数及其应用(二) 55.已知函数 f ( x ) ? ax 在 x ? 1 处取得极值 2. x ?b 2 (1)求函数 f ( x) 的表达式; (2)当 m 满足什么条件时,函数 f ( x) 在区间 (m , 2m ? 1) 上单调 递增? ( 3 )若 P( x0 , y0 ) 为 f ( x ) ? ax 图象 上任意一点,直 线 l 与 x ?b 2 f ( x) ? ax 的图象切于点 P ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围。 x ?b 2 解: (1)因 f / ( x) ? ax a( x 2 ? b) ? ax(2 x) 而函数 f ( x ) ? 2 在 2 2 x ?b ( x ? b) x ? 1 处取得极值 2 ? f / (1) ? 0 所以 ? ? f (1) ? 2 所以 f ( x ) ? ? ?a(1 ? b) ? 2a ? 0 ? ? a ?2 ? ?1 ? b ?a ? 4 ? ? ?b ? 1 4x 1? x2 为所求 (2)由(1)知 f / ( x) ? 4( x 2 ? 1) ? 8x 2 ? 4( x ? 1)(x ? 1) ? ( x 2 ? 1) 2 (1 ? x 2 ) 2 ? 1? 可知, f ( x) 的单调增区间是 [ ?1 , 1 ] ? 1 正 负 ? m ? ?1 ? 所以, ?2 m ? 1 ? 1 ?m ? 2 m ? 1 ? f / ( x) ? ?1 ? m ? 0 负 f ( x) 所以当 m ? (?1 , 1 ] 时,函数 f ( x) 在区间 (m , 2m ? 1) 上单调递增 (3)由条件知,过 f ( x) 的图形上一点 P 的切线 l 的斜率 k 为: k ? f ( x0 ) ? / 4(1 ? x0 ) (1 ? x0 ) 2 2 2 ? 4? ? 1 ? x0 ? 2 (1 ? x0 ) 2 2 2 ? 4[ 2 (1 ? x0 ) t? 1 1 ? x0 2 2 2 ? 1 1 ? x0 , 2 ] 令 则 t ? (0 , 1] , 此 时 , 1 1 1 k ? 8(t 2 ? t ) ? 8(t ? ) 2 ? 2 4 2 1 2 1 1 根 据 二 次 函 数 k ? 8(t ? ) ? 的 图 象 性 质 知 : 当 t ? 时 , 4 2 4 1 tm i n ? ? 当 t ? 1 时, t max ? 4 2 1 所以,直线 l 的斜率 k 的取值范围是 [ ? , 4 ] 2 1 2 56. 已 知 定 义 在 正 实 数 集 上 的 函 数 f ( x ) ? x ? 2ax , 2 g ( x) ? 3a2 ln x ? b ,其中 a ? 0 .设两曲线 y ? f ( x) , y ? g ( x) 有 公共点,且在该点处的切线相同. (1) 用 a 表示 b , 并求 b 的最大值; (2 ) 求证:f ( x) ? g ( x) (x ? 0) . 解: (Ⅰ ) 设 y ? f ( x) 与 y ? g ( x)( x ? 0) 在公共点 ( x0,y0 ) 处的切线 相同.∵ f ?( x) ? x ? 2a , g ?( x) ? 3a 2 ,由题意 f ( x0 ) ? g ( x0 ) , x ?1 2 x0 ? 2ax0 ? 3a 2 ln x0 ? b, ? 2 ?

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