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2014届高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)2.9函数与方程课件 新人教A版


[知识能否忆起] 1.函数的零点

(1)函数零点的定义:
函数y=f(x)的图像与 横轴的交点的横坐标 称为这个

函数的零点.

(2)几个等价关系: 方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图像与x轴有

交点?函数y=f(x)有零点.

(3)利用函数性质

判定函数零点: 若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线, 并且在区间端点的函数值符号 相反 ,即 f(a)f(b)<0 ,则在 区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即相应的方

程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解.
2.二分法 每次取区间的中点,将区间一分为二,再经比较,按 需要留下其中一个 小区间 的方法称为二分法.

[小题能否全取] 1.(教材习题改编)下列图象表示的函数中能用二分法 求零点的是 ( )

答案:C

2.(教材习题改编)在以下区间中,函数f(x)=x3+3x- 3的零点所在的区间是 ( )

A.[-1,0]
C.[0,1]

B.[1,2]
D.[2,3]

解析:注意到f(-1)=-7<0,f(0)=-3<0,f(1)= 1>0,f(2)=11>0,f(3)=33>0,结合各选项知,C项 正确.

答案:C

3.若函数f(x)=ax+b有一个零点是2,那么函数g(x)=

bx2-ax的零点是
A.0,2 1 C.0,- 2 1 B.0, 2 1 D.2,- 2

(

)

∵2a+b=0,∴g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1). 解析: 1 ∴零点为 0 和- . 2 答案:C

4.用二分法求函数 y=f(x)在区间(2,4)上的近似解,验证 f(2)· f(4)<0,给定精确度 ε=0.01,取区间(2,4)的中点 x1 2+4 = =3,计算得 f(2)· 1)<0,则此时零点 f(x 2 x0∈________(填区间).
解析:由 f(2)· f(3)<0 可知 x0∈(2,3).

答案:(2,3)

5.已知函数f(x)=x2+x+a在区间(0,1)上有零点,则实 数a的取值范围是________. 解析:∵函数f(x)=x2+x+a在(0,1)上有零点. ∴f(0)f(1)<0.即a(a+2)<0,解得-2<a<0. 答案:(-2,0)

1.函数的零点不是点:
函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也

就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,所以函数
的零点是一个数,而不是一个点.在写函数零点时, 所写的一定是一个数字,而不是一个坐标.

2.对函数零点存在的判断中,必须强调:
(1)f(x)在[a,b]上连续; (2)f(a)· f(b)<0; (3)在(a,b)内存在零点. 这是零点存在的一个充分条件,但不必要. 3.对于定义域内连续不断的函数,其相邻两个零点 之间的所有函数值保持同号.

确定函数零点所在的区间

[例1]

(2012· 唐山统考)设f(x)=ex+x-4,则函数
( B.(0,1) D.(2,3) )

f(x)的零点位于区间 A.(-1,0) C.(1,2)

[自主解答] ∵f(x)=ex+x-4,∴f′(x)=ex+1>0. ∴函数f(x)在R上单调递增.f(-1)=e-1+(-1)-4=- 5+e-1<0,f(0)=-3<0,f(1)=e+1-4=e-3<0,f(2) =e2+2-4=e2-2>0,f(1)f(2)<0,故零点x0∈(1,2). [答案] C

利用函数零点的存在性定理判断零点所在的区间时,

首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续不断,
再看是否有f(a)· f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b) 内必有零点.

1.(2013· 衡水模拟)设函数 y=x 与 (x0,y0),则 x0 所在的区间是

3

?1? - y=?2?x 2 的图象交点为 ? ?

(

)

A.(0,1)

B.(1,2)
?1? - -?2?x 2,f(1)· f(2)<0,且 ? ?

C.(2,3)
解析:设函数 f(x)=x

D.(3,4)

3

f(x)为单

调函数,则 x0∈(1,2). 答案:B

判断函数零点个数

[例 2] 点的个数为

(1)(2012· 北京高考)函数 f(x)=x

1 2

?1? -?2?x ? ?

的零 )

(

A.0
C.2

B.1
D.3

(2)(2013· 京 东 城 区 模 拟 ) 已 知 函 数 f(x) = 北
?x+1,x≤0, ? ? ?log2x,x>0, ?

则函数 y=f(f(x))+1 的零点个数是

A.4 C.2
[自主解答]

B.3 D.1
(1)在同一平面直角坐
1 2

(

)

标系内作出 y1=x 与

?1 ?x y2=? ? 的图象如 ?2 ?

图所示,易知,两函数图象只有一个交点,因此函数 f(x) =x
1 2

?1 ? -? ?x 只有 ?2 ?

1 个零点.

(2)由 f(f(x))+1=0 可得 f(f(x))=-1, 又由
?1? f(-2)=f?2?=-1. ? ?

1 可得 f(x)=-2 或 f(x)= . 2 1 若 f(x)=-2,则 x=-3 或 x= ; 4 1 1 若 f(x)= ,则 x=- 或 x= 2, 2 2 综上可得函数 y=f(f(x))+1 有 4 个零点.

[答案]

(1)B

(2)A

判断函数零点个数的常用方法 (1)解方程法:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个 解就有几个零点. (2)零点存在性定理法:利用定理不仅要判断函数在

区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)· f(b)<0,还必须
结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、 对称性)才能确定函数有多少个零点.

(3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数
问题.先画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中 交点的个数,就是函数零点的个数.

2.(2012· 山东高考调研卷)已知函数 则函数 f(x)的零点为

?2x-1,x≤1, ? f(x)=? ?1+log2x,x>1, ?

(

)

1 A. ,0 2 1 C. 2

B.-2,0 D.0

解析:当 x≤1 时,由 f(x)=2x-1=0,解得 x=0; 1 当 x>1 时,由 f(x)=1+log2x=0,解得 x= , 2 又因为 x>1,所以此时方程无解. 综上函数 f(x)的零点只有 0.

答案:D

函数零点的应用
[例3] (2011· 辽宁高考改编)已知函数f(x)=ex-x+a有零点,
∵f(x)=ex-x+a,

则a的取值范围是________. [自主解答]

∴f′(x)=ex-1.令f′(x)=0,得x=0.
当x<0时,f′(x)<0,函数f(x)在(-∞,0)上是减函数; 当x>0时,f′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上是增函数.

故f(x)min=f(0)=1+a.
若函数f(x)有零点,则f(x)min≤0, 即1+a≤0,得a≤-1.

[答案]

(-∞,-1]

若函数变为f(x)=ln x-2x+a,其他条件不变,求 a的取值范围.
1 解:∵f(x)=ln x-2x+a,∴f′(x)=x-2. 1 令 f′(x)=0,得 x= . 2 1 当 0<x≤ 时 f′(x)≥0,∴f(x)为增函数; 2

1 当 x> 时,f′(x)<0,∴f(x)为减函数. 2
?1? 1 ? ?=ln -1+a. ∴f(x)max=f 2 2 ? ?

1 若 f(x)有零点,则 f(x)max≥0,即 ln -1+a≥0. 2 1 ? ? ?1+ln 2,+∞?. 解得 a≥1-ln ,a 的取值范围为? ? 2

已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等 式,再通过解不等式确定参数范围. (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域 问题加以解决.

(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角
坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.

3.已知函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),且f(x)是偶函数,
当x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区间[-1,3]上函数g(x)=f(x) -kx-k有4个零点,则实数k的取值范围是______.
解析:由 f(x+1)=f(x-1)得,f(x+2)= f(x),则 f(x)是周期为 2 的函数.∵f(x)是 偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x,∴当 x ∈[-1,0]时,f(x)=-x,易得当 x∈[1,2]时,f(x)=-x+2, 当 x∈[2,3]时,f(x)=x-2.

在区间[-1,3]上函数 g(x)=f(x)-kx-k 有 4 个零点, 即函数 y=f(x)与 y=kx+k 的图象在区间[-1,3]上有 4 个不同的交点. 作出函数 y=f(x)与 y=kx+k 的图象如
? 1? 图所示,结合图形易知,k∈?0,4?. ? ?

? 1? 答案:?0,4? ? ?

函数零点问题主要有四类:一是判断函数零点或方 程根的个数;二是利用函数零点确定函数解析式;三是 确定函数零点或方程根的取值范围;四是利用函数零点

或根的个数求解参数的取值范围.解决这些问题主要用
数形结合法.

1.函数零点个数的判断 函数零点的个数即为方程f(x)=0根的个数,可转化

为函数f(x)的图象与x轴交点的个数进行判断,也可转化
为两个函数图象的交点个数(如例2(1)). 2.利用函数零点求解函数解析式 由函数的零点利用待定系数法求函数的解析式,求 解时要结合函数的图象.

[典例 1] 如图所示为 f(x)=x3+
2 bx2+cx+d 的图象,则 x2+x2的值是 1

(

)

2 A. 3 8 C. 3 [解析]

4 B. 3 16 D. 9 由图象可知,函数图象与x轴交于三点,(-

1,0),(0,0),(2,0),故该函数有三个零点-1,0,2.

由f(0)=0,得d=0,故函数解析式可化为f(x)=x3+
bx2+cx=x(x2+bx+c),显然-1,2为方程x2+bx+c=0的 两根.

?-1+2=-b, ? 由根与系数的关系,得? ??-1?×2=c, ? ?b=-1, ? 解得? ?c=-2. ?

故 f(x)=x3-x2-2x.

由图象可知,x1,x2 为函数 f(x)的两个极值点, 又 f′(x)=3x2-2x-2, 故 x1,x2 为 f′(x)=0,即 3x2-2x-2=0 的两根, 2 2 故 x1+x2= ,x1·2=- . x 3 3 故 2 2 16 2 2 2 ? ?2-2×?- ?= . x1+x2=(x1+x2) -2x1·2= x
?3? ? ? ? ? ?

[答案]

3?

9

D

[题后悟道]

确定零点与三次函数的各个系数之间

的关系还可以根据零点写出函数解析式 f(x)=a(x-α)(x -β)(x-γ), 然后依据代数恒等式成立的条件——对应系 数相等,找出彼此之间的关系.本题所求的问题类似于 一元二次方程根与系数关系中的相关问题,要注意式子 的灵活变形.类似的变形有(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2, 1 1 x1+x2 + = 等. x1 x2 x1x2

3.零点取值范围的确定 函数零点的取值范围,即为方程f(x)=0的根的取

值范围,主要利用零点存在性定理解决,可结合函数
的图象和性质,根据图象上的一些特殊点灵活处理(如 本节例1). 4.由零点个数确定参数的取值范围 根据函数零点的个数确定函数解析式中参数的取

值范围,主要利用数形结合的方法,根据函数的极值
与区间的端点值构造参数所满足的不等式,通过解不 等式求解其取值范围.

[典例2] 已知函数f(x)=x3-3x2-9x+3,若函数g(x) =f(x)-m在x∈[-2,5]上有3个零点,则m的取值范围为 ( A.(-24,8) B.(-24,1] )

C.[1,8]
[解析] +1)· (x-3),

D.[1,8)
f′(x)=3x2-6x-9=3(x

令 f′(x)=0,得 x=-1 或 x=3. 当 x∈[-2,-1)时,f′(x)> 0, 函数 f(x)单调递增;当 x∈(-1,3)时,f′(x)< 0,函数 f(x) 单调递减;当 x∈(3,5]时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增.

所以函数 f(x)的极小值为 f(3)=-24, 极大值为 f(-1)=8; 而 f(-2)=1,f(5)=8,函数图象大致如图所示.故要使 方程 g(x)=f(x)-m 在 x∈[-2,5]上有 3 个零点, 只需函数 f(x)
?m<8, ? 在[-2,5]内的函数图象与直线 y=m 有 3 个交点. ? 故 ?m≥1, ?

即 m∈[1,8).

[答案]

D

[题后悟道]

解决此类问题主要依据函数图象的特征,

利用区间端点处的函数值、函数的极值等构造关于参数 的不等式.注意函数在区间的端点值对参数取值范围的 影响.如该题中f(-2)与f(5)这两个端点值决定着方程g(x) =f(x)-m在x∈[-2,5]上的零点个数,若m=8或- 24<m<1,则该方程有2个根;若m=-24,则该方程有1 个根;当m>8或m<-24时,则该方程没有实根. 总之,解决函数零点的有关问题主要利用数形结合

的数学思想,利用导数研究函数的有关性质,主要包括
函数的单调性与极值以及函数在区间端点处的函数值, 然后画出函数图象,结合函数图象的特征判断、求解.

教师备选题(给有能力的学生加餐) 1.(2012·湖北高考)函数f(x)=xcos x2在区间[0,4]上的 零点个数为 A.4 C.6 B.5 D.7 ( )

π 解析:令 xcos x =0,则 x=0,或 x =kπ+ ,又 x∈[0,4], 2
2 2

因此 xk=
答案:C

π kπ+ (k=0,1,2,3,4),共有 6 个零点. 2

2.对于定义域为D的函数f(x),若存在区间M=[a,b] ?D(a<b),使得{y|y=f(x),x∈M}=M,则称区间M 为函数f(x)的“等值区间”.给出下列四个函数:

①f(x)=2x;

②f(x)=x3;

③f(x)=sin x;

④f(x)=log2x+1. 则存在“等值区间”的函数是________. (把正确的序号都填上)

解析:问题等价于方程f(x)=x在函数的定义域内是否存

在至少两个不相等的实根,由于2x>x,故函数f(x)=2x不
存在等值区间;由于x3=x有三个不相等的实根x1=-1, x2=0,x3=1,故函数f(x)=x3存在三个等值区间[-1,0], [0,1],[-1,1];由于sin x=x只有唯一的实根x=0,结合 函数图象,可知函数f(x)=sin x不存在等值区间;由于

log2x+1=x有实根x1=1,x2=2,故函数f(x)=log2x+1
存在等值区间[1,2]. 答案:②④

e2 3.已知函数 f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ x (x>0). (1)若 g(x)=m 有零点,求 m 的取值范围; (2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异 实根.

e2 解:(1)法一:∵g(x)=x+ x ≥2 e2=2e, 等号成立的条件是 x=e, 故 g(x)的值域是[2e,+∞), 因而 m≥2e 时,g(x)=m 有零点. 即 m 的取值范围为[2e,+∞).

e2 法二:作出 g(x)=x+ x (x>0)的大致图像如图: 可知若使 g(x)=m 有零点, 则只需 m≥2e. 法三:由 g(x)=m 得 x2-mx+e2=0. 此方程有大于零的根,

?m ?m>0, ? >0, ? 2 故? 即? 故 m≥2e. ?m≥2e或m≤-2e, ? ?Δ=m2-4e2≥0, ?

(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)与f(x)的图像 e2 有两个不同的交点,作出g(x)=x+ x (x>0)的大致图像. ∵f(x)=-x2+2ex+m-1 =-(x-e)2+m-1+e2. 其图像的对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2. 故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时, g(x)与f(x)有两个交点, 即g(x)-f(x)=0有两个相异实根. ∴m的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).


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