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2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2课件:3-2-1 直线的点斜式方程


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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第三章
直线与方程

第三章

直线与方程

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第三章
3.2 直线的方程

第三章

直线与方程

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第三章
3.2.1 直线的点斜式方程

第三章

直线与方程

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课前自主预习 基础巩固训练 思路方法技巧 能力强化提升 名师辨误做答

第三章

3.2 3.2.1

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课前自主预习

第三章

3.2 3.2.1

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温故知新 1.前面我们学习了直线的斜率、倾斜角及求直线斜率的方 法. (1)斜率:当直线l的倾斜角α不等于90° 时,α的 正切 值叫做这 条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示.

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(2)斜率公式:①k= tanα (α≠90° );

y2-y1 (x ≠x ) ②k= x2-x1 1 2 ,其中P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是直线l上
的两点. (3)斜率与倾斜角的关系:一条直线必有唯一的倾斜角, 但不一定有斜率 (倾斜角为90° 时无斜率). (4)斜率的意义:斜率间接反映了直线对x轴正向的倾斜程 度.

第三章

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2.确定直线的几何要素:直线上的一点和直线的 倾斜 角 或直线上不同的 两 点. 3.一次函数及其图象:函数y=kx+b(k≠0)称为一次函 数,其图象是 一条直线 ,该直线斜率为k,与y轴的交点为

(0,b) .

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新课引入

第三章

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生活中会遇到这个场景,起重机在起吊重物时,首先将 起重臂扬起某一角度,然后将起重臂伸长,最后将吊钩放 下,将重物吊起.起重臂是绕着轴旋转的,旋转到某一角度 可以停下.在平面中,如果将起重臂看成直线,轴看成点, 那么是否可以认为,直线上一定点和直线的倾斜角可以确定 这条直线?答案是肯定的,本节我们就来学习直线的点斜式 方程.

第三章

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自主预习 阅读教材P92~94,回答下列问题. 1.直线的点斜式方程 (1)定义:如下图所示,直线l过定点P(x0,y0),斜率为k, 则把方程 y-y0=k(x-x0) 叫做直线l的点斜式方程,简称点斜 式.

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(2)说明:如下图所示,过定点P(x0,y0),倾斜角是90° 的 直线没有点斜式,其方程为x-x0=0,或 x=x0 .

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[破疑点]一般地,如果一条直线上任一点的坐标(x,y)都 满足一个方程,且满足该方程的每一个数对(x,y)所确定的点 都在直线l上,我们就把这个方程称为直线l的方程.

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写出下列直线的点斜式方程: (1)经过点A(2,5),斜率是4; (2)经过点B(2,3),倾斜角为45° .
[解析] (1)y-5=4(x-2).

(2)k=tan45° =1,所以y-3=x-2.

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2.直线的斜截式方程 (1)定义:如下图所示,直线l的斜率为k,且与y轴的交点 为(0,b),则方程 y=kx+b 叫做直线l的斜截式方程,简称斜 截式.

第三章

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(2)说明:一条直线与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线 在y轴上的 截距 .倾斜角是 90°的直线没有斜截式方程.

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[破疑点]值得强调的是,截距是坐标,它可能是正数,也 可能是负数,还可能是0,不能将其理解为“距离”而恒为非 负数.

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[拓展]1.直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a称为此直线的横 截距.并不是每条直线都有横截距和纵截距,如直线x=1没 有纵截距,直线y=2没有横截距. 2.直线的点斜式方程和斜截式方程的联系与区别 剖析:直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)中,(x,y)是直 线上任意一点的坐标,(x0,y0)是直线上的一个定点,k是直线 的斜率;直线的斜截式方程y=kx+b中,(x,y)是直线上任意 一点的坐标,k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距,即过 点(0,b).
第三章 3.2 3.2.1

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联系:直线的点斜式方程和斜截式方程是直线方程的两 种不同形式,都可以看成直线上任意一点(x,y)的横坐标x和 纵坐标y之间的关系等式,即都表示直线.直线的斜截式方程 是点斜式方程的特殊情况. 区别:直线的点斜式方程是用直线的斜率k和直线上一定 点的坐标(x0,y0)来表示的,同一条直线的点斜式方程有无数 个;直线的斜截式方程是用直线的斜率k和该直线在y轴上的截 距b来表示的,同一条直线的斜截式方程是唯一的.

第三章

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直线y=-2x+3的斜率是________,在y轴上的截距是 ________,在x轴上的截距是________.

[答案]

-2 3

3 2

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[解析]

斜率是-2;在y轴上的截距是3;令y=0得x=

3 3 ,即在x轴上的截距是 . 2 2

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思路方法技巧

第三章

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直线的点斜式方程
学法指导 求直线的点斜式方程的步骤:

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3.2 3.2.1

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特别提醒:斜率不存在时,过点P(x0,y0)的直线与x轴垂 直,直线上所有点的横坐标相等都为x0,故直线方程为x=x0.

第三章

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[例1]

你能写出下列直线的点斜式方程吗?没有点斜式

方程的直线和斜率为0的直线如何表示? (1)经过点A(-2,5),斜率是3; (2)经过点B(2,-3),倾斜角是135° ; (3)经过点C(-1,-1),与x轴平行; (4)经过点D(1,1),与x轴垂直.

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[解析]

(1)y-5=3(x+2); ∴y+3=-(x-2);

(2)k=tan135° =-1 (3)y=-1; (4)x=1.

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规律总结:①使用点斜式方程,必须注意前提条件是斜 率存在. ②注意方程x=1的含义:它表示一条垂直于x轴的直线, 这条直线上任意一点的横坐标都是1.

第三章

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写出满足下列条件的直线方程. (1)过点(-1,2),斜率为 3,________; (2)过点(-3,1),平行于x轴,________; (3)过点(-3,1),(1,4),________; (4)过点(-1,-3),倾斜角为135° ,________.

第三章

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[答案] (2)y=1

(1) 3x-y+2+ 3=0

(3)3x-4y+13=0 (4)x+y+4=0

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[解析]

(1)方程为y-2= 3(x+1),

即 3x-y+2+ 3=0. ?x-3? (2)方程为y-1=0 , ?x+3? 即y=1. 4-1 3 3 (3)直线的斜率k= = ,故方程为y-4=4(x-1), 1-?-3? 4 即3x-4y+13=0. (4)k=tan135° =-tan45° =-1, y+3=-1· (x+1),即x+y+4=0.
第三章 3.2 3.2.1

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直线的斜截式方程
学法指导 对直线的斜截式方程的透析: (1)斜截式是点斜式的一个特例,只要点斜式中的点在y 轴上,就可以直接用斜截式表示; (2)斜截式方程与一次函数的关系 当k≠0时,斜截式方程y=kx+b是一次函数的形式;而 一次函数y=kx+b中,k是直线的斜率,常数b是直线在y轴 上的截距,一次函数表示直线,但是有些直线的方程不一定 能写成一次函数的形式.
第三章 3.2 3.2.1

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特别提醒:应用斜截式方程时,应注意斜率是否存在, 当斜率不存在时,不能表示成斜截式方程.

第三章

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[例2]

写出下列直线的斜截式方程:

(1)斜率是3,在y轴上的截距是-3; (2)倾斜角是60° ,在y轴上的截距是5; (3)倾斜角是150° ,在y轴上的截距是0.

第三章

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[解析]

(1)y=3x-3;

(2)∵k=tan60° 3;∴y= 3x+5; = 3 3 (3)∵k=tan150° =- ;∴y=- x. 3 3

第三章

3.2 3.2.1

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规律总结:直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐 标,不是“距离”,可以是负数、0、正数.

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写出满足下列条件的直线的方程. (1)斜率为5,在y轴上截距为-1,________; (2)倾斜角30° ,在y轴上截距为 3,________.
[答案] (1)5x-y-1=0 (2)x- 3y+3=0

第三章

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[解析]

(1)方程为y=5x-1,即5x-y-1=0.

(2)方程为y=xtan30° 3,即x- 3y+3=0. +

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探索延拓创新

第三章

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利用平行与垂直的条件求直线的方程
学法指导 两条直线平行和垂直的判定

已知直线l1:y=k1x+b1与直线l2:y=k2x+b2, (1)若l1∥l2,则k1=k2,此时两直线与y轴的交点不同, 即b1≠b2;反之k1=k2且b1≠b2时,l1∥l2,所以有l1∥l2?k1= k2且b1≠b2. (2)若l1⊥l2,则k1·2=-1;反之,k1·2=-1时,l1⊥l2. k k 所以有l1⊥l2?k1·2=-1. k

第三章

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特别提醒:若已知含参数的两条直线平行或垂直,求参 数的值时,要注意讨论斜率是否存在,若是平行关系注意考 虑b1≠b2这个条件.

第三章

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[例3] 的方程;

(1)求经过点(1,1),且与直线y=2x+7平行的直线

(2)求经过点(-1,1),且与直线y=-2x+7垂直的直线的 方程; [分析] 由已知直线的方程求出斜率,再根据两直线平行

或垂直的条件求解.

第三章

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[解析]

(1)由y=2x+7得k1=2,由两直线平行知k2=2.∴

所求直线方程为y-1=2(x-1). (2)由y=-2x+7得k1=-2,由两直线垂直知k1k2=-1, 1 ∴k2=2. 1 ∴所求直线方程为y-1=2(x+1).

第三章

3.2 3.2.1

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1 一条直线l在y轴上截距为-2,且与直线l1:y=- x+2垂 3 直,则l的方程为________.
[答案] 3x-y-2=0

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利用斜率和截距的几何意义解决问题
学法指导 直线l的斜截式是y=kx+b,则有

(1)k>0,b>0?l仅过第一、二、三象限; (2)k>0,b=0?l仅过第一、三象限; (3)k>0,b<0?l仅过第一、三、四象限; (4)k<0,b>0?l仅过第一、二、四象限; (5)k<0,b=0?l仅过第二、四象限; (6)k<0,b<0?l仅过第二、三、四象限;

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(7)k=0,b>0?l仅过第一、二象限; (8)k=0,b=0?l不过任何象限,即为x轴; (9)k=0,b<0?l仅过第三、四象限.

第三章

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[例4]

在同一直角坐标系中,表示直线y=ax与y=x+a )

正确的是下图中的(

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第三章

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[分析]

此类题目的解决方式有两种:一是研究A,B,

C,D四个选项解决问题;二是利用特殊值解决问题.
[答案] C

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[解析]

当a=0时,直线y=ax的倾斜角为0° ,A,B,

C,D都不成立;当a≠0时,直线y=x+a的斜率为1,只有图 C符合,故选C.

第三章

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规律总结:利用特殊值解决选择题是常用方法,希望同 学们好好掌握.

第三章

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1 直线y=ax-a的图象可能是(

)

[答案]

B

第三章

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[解析]

1 当a>0时,-a<0,否定A;

1 当a<0时,- >0,否定D; a 当a≠0时,否定C,故选B.

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名师辨误做答

第三章

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易错点 忽视两条直线平行的条件 [例5] 当a为何值时,直线l1:y=-x+2a与直线l2:y=

(a2-2)x+2平行? [错解] 由题意,得a2-2=-1,∴a=± 1.

第三章

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[错因分析] 该解法只注意到两直线平行时斜率相等,而 忽视了斜率相等的两直线还可能重合. [思路分析] 要解决两直线平行的问题,一定要注意检 验,看看两直线是否重合.
[正解] ∵l1∥l2,∴a2-2=-1且2a≠2,解得a=-1.

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基础巩固训练

第三章

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1.过点P(-2,0),斜率为3的直线的方程是( A.y=3x-2 C.y=3(x-2) B.y=3x+2 D.y=3(x+2)

)

[答案]

D

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2.经过点(-3,2),倾斜角为60° 的直线方程是( A.y+2= 3(x-3) C.y-2= 3(x+3)
[答案] C

)

3 B.y-2= (x+3) 3 3 D.y+2= 3 (x-3)

第三章

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3.下面四个直线方程中,可以看作是直线的斜截式方程 的是( ) B.y=-5 D.x=4y-1

A.x=3 C.2y=x

[答案]

B

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4.直线y=kx+b过原点的条件是( A.k=0 C.k≠0且b=0 B.b=0 D.k=0且b=0

)

[答案]

B

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5.直线方程为y+2=2x-2,则直线的斜率为________, 在y轴上的截距为________.

[答案]

2,-4

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6.过点(2,1),平行于y轴的直线方程为________.平行于 x的轴的直线方程为________.

[答案]

x=2;y=1

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7.已知两直线y=ax+1和y- 直,则a=________.
-1

3 =(2+a)(x-π)互相垂

[答案]

[解析] 由题意,知a(2+a)=-1,解得a=-1.

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8.直线l经过点P(3,4),它的倾斜角是直线y= 3x+ 3的 倾斜角的2倍,求直线l的点斜式方程.
[解析] 直线y= 3x+ 3的斜率k= 3,

则其倾斜角α=60° , ∴直线l的倾斜角为120° , ∴直线l的斜率为k′=tan120° =- 3. ∴直线l的点斜式方程为y-4=- 3(x-3).

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能力强化提升(点此链接)

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