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《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习:开卷速查(选修4-5-2不等式的证明)


开卷速查(选修 4-5-2)

不等式的证明

A 级 基础巩固练 1.已知 a≥b>0,求证:2a3-b3≥2ab2-a2b. 证明: 2a3- b3- (2ab2-a2b)=2a(a2- b2) +b(a2-b2) =(a2-b2)(2a +b)=(a-b)(a+b)(2a+b). ∵a≥b>0, ∴a-b≥0,a+b>0,2a+b>0

. 从而(a-b)(a+b)(2a+b)≥0, 即 2a3-b3≥2ab2-a2b. 2.已知 a>0,b>0,c>0,a+b>c. a b c 求证: + > . 1+a 1+b 1+c 证明:∵a>0,b>0, a a b b ∴ > , > . 1+a 1+a+b 1+b 1+a+b a+b a b ∴ + > . 1+a 1+b 1+a+b x 1 而函数 f(x)= =1- , 1+x 1+x 在(0,+∞)上递增,且 a+b>c,∴f(a+b)>f(c), 则 c a b c > ,所以 + > , 1+a+b 1+c 1+a 1+b 1+c a+b

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故原不等式成立. 3.[2014· 江苏]已知 x>0,y>0,证明:(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy. 3 3 证明: 因为 x>0, y>0, 所以 1+x+y2≥3 xy2>0,1+x2+y≥3 x2y 3 3 >0,故(1+x+y2)(1+x2+y)≥3 xy2· 3 x2y=9xy. 4. 已知函数 f(x)=m-|x-2|, m∈R, 且 f(x+2)≥0 的解集为[-1,1]. (1)求 m 的值; 1 1 1 (2)若 a,b,c 大于 0,且a+2b+3c=m,求证:a+2b+3c≥9. 解析:(1)∵f(x+2)=m-|x|, ∴f(x+2)≥0 等价于|x|≤m. 由|x|≤m 有解,得 m≥0 且其解集为{x|-m≤x≤m}. 又 f(x+2)≥0 的解集为[-1,1],故 m=1. 1 1 1 (2)证明:由(1)知a+2b+3c=1,且 a,b,c 大于 0, 1? ?1 1 a+2b+3c=(a+2b+3c)?a+2b+3c?
? ? ?2b a ? ?3c a ? ? 3c 2b? =3+? a +2b?+? a +3c?+?2b+3c? ? ? ? ? ? ?

≥3+2

2ab 2ab+2

3c a a· 3c+2

3c 2b 2b· 3c=9.

1 当且仅当 a=2b=3c=3时,等号成立.因此 a+2b+3c≥9. B级 能力提升练

5.已知 x,y,z∈R,x+y+z=3.

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1 1 1 (1)求x+y+ z 的最小值; (2)证明:3≤x2+y2+z2<9. 1 1 1 3 3 解析:(1)因为 x+y+z≥3 xyz>0, x + y + z ≥ >0,所以(x 3 xyz
?1 1 1? +y+z)?x +y + z ?≥9, ? ?

1 1 1 即 x + y + z ≥3 , 1 1 1 当且仅当 x=y=z=1 时,x+y+ z 取最小值 3. (2)x2+y2+z2= x2+y2+z2+?x2+y2?+?y2+z2?+?z2+x2? 3 x2+y2+z2+2?xy+yz+zx? ?x+y+z?2 ≥ = =3. 3 3 又 x2+y2+z2-9=x2+y2+z2-(x+y+z)2=-2(xy+yz+zx)<0, 所以 3≤x2+y2+z2<9. 1 1 6.[2014· 课标全国Ⅰ]若 a>0,b>0,且a+b= ab. (1)求 a3+b3 的最小值; (2)是否存在 a,b,使得 2a+3b=6?并说明理由. 1 1 2 解析:(1)由 ab=a+b≥ ,得 ab≥2,且当 a=b= 2时等号成 ab 立. 故 a3+b3≥2 a3b3≥4 2,且当 a=b= 2时等号成立.
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所以 a3+b3 的最小值为 4 2. (2)由(1)知,2a+3b≥2 6 ab≥4 3. 由于 4 3>6,从而不存在 a,b,使得 2a+3b=6.

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