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单调性与最大(小)值


单调性与最大(小)值 廖登玲
一、教学目标

(1)使学生理解函数单调性的概念,并能掌握判断和证明某些函数的单调性的方法;

(2)通过单调性概念教学,培养学生的抽象概括能力,通过例题讲解,培养学生的逻辑 思维能力;

(3)理解函数的最大(小)值及其几何意义;

(4)学会运用函数图象理解

和研究函数的性质.

二、教学重点与难点

重点:形成增(减)函数的形式化定义;函数的最大(小)值及其几何意义.

难点:形成增(减)函数概念的过程中,如何从图象升降的直观认识过渡到函数增减的 数学符号语言表述;用定义证明函数的单调性;利用函数的单调性求函数的最大(小)值.

三、教学过程

T:前面,我们学习了有关函数的基本概念,下面通过函数的图象来研究函数的一些性 质。

1.问题情境

T:由下图,你能说出下列函数图象有何特征?

启发学生由图象(主要是升降变化)获取函数性质的直观认识,从而引入新课。

2.建构教学

T:再来看两个特殊函数:一次函数和二次函数(由学生作出图象),

图1 图2

从左到右,这两个函数的图象是如何变化的?

S:图1是上升的;图2的图象在轴左侧是下降的,在轴右侧是上升的。

T:从上面的观察分析可以看出,不同的函数,其图象的变化趋势不同,同一函数在不 同区间上的变化趋势也不同。 函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映, 这就是我们今 天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性(引出课题)。

T:所谓的从左到右观察图象,体现在函数身上是哪个量发生了怎样的变化?

S:是值由小变大。

T:图象的上升或下降又可以用函数的哪个量的变化来描述?(以函数为例)

3.教学设计

用计算机作出函数的图象,在上面任选一点 P,测出其坐标,引导学生观察当点 P 在函 数图象上“按横坐标(即自变量)增大”的方向移动时,点 P 的纵坐标(即函数值)的变 化规律。

S:图 2 中图象在轴右侧“上升”,也就是,在时,随着的增大,相应的值随之增大; 图象在轴左侧“下降”,也就是,在时,随着的增大,相应的值反而随之减小。

T:如何用数学符号语言描述这种变化趋势呢?

教学设计:(1)让学生在区间上,从 0 开始,每隔一个单位取一个自变量的值, 然后用计算机算出其对应的函数值,得到表 1; (2)让学生在区间上,从 9 开始,每隔 0.1 个单位取一个自变量的值,然后用计算机算出其对应的函数值,得到表 2;(3)让学生在 区间上,从 10 开始,每隔 10 个单位取一个自变量的值,然后用计算机算出其对应的函数 值,得到表 3;(4)让学生在区间上,任选一个自变量的值作起点,任选一个单位取其它 自变量的值,然后用计算机算出其对应的函数值,得到表 4。

根据以上表格,引导学生得出结论:四个表格都说明,任选两个自变量的值,自变量大 的函数值也大。 即函数在上图象是上升的, 用函数解析式来描述就是: 对于上任意的, 当时, 都有。我们就说函数在区间上是增函数。

T:你能仿照这样的描述,说明函数在区间上具有的性质吗?

学生给出回答,并加以命名,称其在该区间上是减函数。

T:一次函数具有什么性质?

T:以上两个函数都是具体的,那对于一般函数,如何定义其为增函数(或减函数)?

引导学生讨论、交流,说出各自的想法,并进行分析、评价,补充完善后给出增(减) 函数、单调性、单调区间的定义。

T:能否将改为,函数在该区间上仍是增函数?改为?

S:都可以,不影响单调性。

T:这说明什么问题?

S1:两个相邻单调区间的公共端点,可任意放入哪个区间。

S2:也说明对于单独一点,由于其函数值是唯一确定的常数,故没有增减变化,不存 在单调性问题。

S3:还说明单调性是针对区间而言的。

T: 一次函数在整个实数集上是增函数, 我们能说二次函数在整个实数集上是增函数 (或 减函数)吗?

S:不能。该函数有两个单调区间。

T:这又说明了什么问题?

S:函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,并不是所有的函数在其定义域上都具 备单调性。

T:1.2.2 小节例 3 中的函数是否具有单调性?

S:不具备。因为该定义域不是区间。

通过设置这三问,使学生加深对定义的理解。

4.新课教学

函数最大(小)值定义

1.最大值

一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:

(1)对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M;

(2)存在 x0∈I,使得 f(x0) = M

那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值(Maximum Value).

思考: 仿照函数最大值的定义, 给出函数 y=f(x)的最小值 (Minimum Value) 的定义. (学 生活动)

注意:

函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x0∈I,使得 f(x0) = M;

函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M (f(x)≥M).

2.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法

利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值

利用图象求函数的最大(小)值

利用函数单调性的判断函数的最大(小)值

如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上单调递增, 在区间[b, c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b);

如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上单调递减, 在区间[b, c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b);

5.数学应用

(一)例题

例 1 下图是定义在区间[-5,5]上的函数,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一 单调区间上,它是增函数还是减函数?

解:(略)

T:在区间[-5,-2],[1,3]都是减函数,能否说在[-5,-2]∪[1,3]上是减函数?

S:不能,不符合定义。

这说明单调区间不能写成并集形式。

例 2 物理学中的玻意耳定律为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其体积减小 时,压强将增大。试用函数的单调性证明之。

分析:按题意,只要证明函数在区间上是减函数即可。

解:(略)

小结判断函数单调性的方法:

例 3(教材 P30 例 3)利用二次函数的性质确定函数的最大(小)值.

解:(略)

说明:对于具有实际背景的问题,首先要仔细审清题意,适当设出变量,建立适当的函 数模型,然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大(小)值.

巩固练习:如图,把截面半径为

25cm 的圆形木头锯成矩形木料,

如果矩形一边长为 x,面积为 y

试将 y 表示成 x 的函数,并画出

函数的大致图象,并判断怎样锯

才能使得截面面积最大?

例 4(新题讲解)

旅 馆 定 价

一个星级旅馆有 150 个标准房,经过一段时间的经营,经理得到一些定价和住房率的 数据如下:

房价(元)住房率(%)

16055

14065

12075

10085

欲使每天的的营业额最高,应如何定价?

解:根据已知数据,可假设该客房的最高价为 160 元,并假设在各价位之间,房价与 住房率之间存在线性关系.

设为旅馆一天的客房总收入,为与房价 160 相比降低的房价,因此当房价为元时,住 房率为,于是得

=150··.

由于≤1,可知 0≤≤90.

因此问题转化为:当 0≤≤90 时,求的最大值的问题.

将的两边同除以一个常数 0.75,得 1=-2+50+17600.

由于二次函数 1 在=25 时取得最大值,可知也在=25 时取得最大值,此时房价定位应 是 160-25=135(元),相应的住房率为 67.5%,最大住房总收入为 13668.75(元).

所以该客房定价应为 135 元.(当然为了便于管理,定价 140 元也是比较合理的)

例 5(教材 P31 例 4)求函数在区间[2,6]上的最大值和最小值.

解:(略)

注意:利用函数的单调性求函数的最大(小)值的方法与格式.

巩固练习:(教材 P32 练习 5)

(二)练习

1.请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系。

四、单调性与最大(小)值——回顾小结

教师提出下列问题让学生思考:

(1)通过增(减)函数概念的形成过程,你学习到了什么?

(2)增(减)函数的图象有什么特点?如何根据图象指出单调区间?

(3)怎样用定义证明函数的单调性?

(4)求函数的最值有什么方法?最常用的是什么方法?


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