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吉林省吉林一中2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案


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2014-2015 学年高一上学期期末考试数学试题
一、单项选择

1. .已知 A(1,0,2),B(1, ? 3, 1),点 M 在 z 轴上且到 A、B 两点的距离相等, 则 M 点坐标为( A. ( ? 3 ,0,0) 0,3) 2. 若 m,n 是两条不同的直线, ?,?,

? 是三个不同的平面,则下列命题中的真命题 是( ) B. 若? / / ? , m ? ? , n ? ? 则m / / n D.若 m ? ? , m ∥? ,则 ? ? ? ) B. (0, ? 3 ,0) C. (0,0, ? 3 ) D. (0,

A.若 m ? ?,? ? ? ,则 m ? ? C.若 ? ? ? , ? ⊥ ? ,则 ? ? ?

3. 已知正三棱锥的底面边长为 2 ,各侧面均为直角三角形,则它的外接球体积为 ( ) A.

4 3? 27

B.

2? 3

C.

3? 2

D.

4? 3

4. 设 a, b 是夹角为 30°的异面直线, 则满足条件 “ a ? ? , b ? ? , 且? ? ? ” 的平面 ? , ? ( ) A.不存在 B.有且只有一对 C.有且只有两对 D.有无数对

5. 已知函数 f ( x) ? sin(? x ?

?

最小值,无最大值,则 ? 的值为( A.

)(? ? 0) ,若 f ( ) ? f ( ) 且 f ( x) 在区间 ( , ) 上有 3 6 3 6 3
) C.

?

?

? ?

2 3

B.

5 3

14 3

D.

38 3

6. 已知 m,n 为两条不同的直线, ?,? 为两个不同的平面,则下列命题中正确的是 ( A ) .

m ? ?,n ? ?,m ∥ ?,n ∥ ? ? ? ∥ ?

B. ? ∥ ?,m ? ?,n ? ? ? m ∥ n C. m ⊥ ?,m ⊥ n ? n ∥? D. n ∥ m,n ⊥ ? ? m ⊥ ?

7. 已知 A( x A , y A ) 是单位圆(圆心在坐标原点 O )上任意一点,将射线 OA 绕 O 点逆时针旋 转 30? 到 OB,交单位圆于点 B ( xB , yB ) ,则 x A ? yB 的最大值为 ( )

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A. 2 B.

3 C.1 2

D.

1 2

8. 若直线过点(1,1) , (2 , 1 ? 3 ) ,则此直线的倾斜角的大小为 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° ) 9. 设 m 、 n 是不同的直线, ? 、 ? 、 ? 是不同的平面,有以下四个命题: ( ① 若 ? // ? , ? // ? , 则 ? // ? ③ 若 m ? ? , m // ? ,则 ? ? ? ②若 ? ? ? , m // ? ,则 m ? ? ④若 m // n,

n ? ? ,则 m // ?

其中真命题的序号是( ) A.①④ B. ②③ C.②④ D. ①③ 10. 过点 A(4,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是( ) A.x+y=5 B.x-y=5 C.x+y=5 或 x-4y=0 D.x-y=5 或 x+4y=0
二、填空题

11. 已知 ?ABC 的外接圆半径为 1,圆心为 O,且 3OA ? 4OB ? 5OC ? 0 ,则 OC ? AB 的值 为 12. 设 a 、 b 、 c 是单位向量,且 a ? b ? c ,则 a 与 c 的夹角为 13. 在平行四边形 ABCD 中, AC ? 3BD ,则 ?DAB 的最大值为_______. 14. 在平面直角坐标系 xOy 中 , 已知 \s\up7(()OA =(3,-1), \s\up7(()OB =(0,2). 若 。

\s\up7(()OC · \s\up7(()AB =0, \s\up7(()AC = λ \s\up7(()OB ,
则实数λ的值为________. 15. 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱与底面边长都相等, A1 在底面

ABC 内的射影为 △ ABC 的中心 O ,则 B1 A 与底面 ABC 所成角的
正弦值等于 16. 直线 x- 3 y+2=0 被圆 x 2 ? y 2 ? 4 截得的弦长为_________.
三、解答题 17. 下面的一组图形为某一四棱锥 S-ABCD 的底面与侧面。

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(1)请画出四棱锥 S-ABCD 的示意图,是否存在一条侧棱垂直于底面?如果存在,请给 出证明;如果不存在,请说明理由; (2)若 SA ? 面 ABCD,E 为 AB 中点,求证:面 SEC ? 面 SCD (3)求点 D 到面 SEC 的距离。 18. 如图,长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? 2, AB ? 1, AD ? 2, E 为 BC 的中点 (1)求点 A 到面 A1 DE 的距离; (2) 设 ?A1 DE 的重心为 G , 问是否存在实数

? , 使 得 AM ? ? AD, 且 MG ? 平面A1 ED
同时成立?若存在 , 求出 ? 的值 ; 若不存在 , 说明理由. 19. 如图,四边形 ABCD 中, AB ? AD ,AD∥ BC,AD =6,BC =4,AB =2,点 E、F 分别在 BC、AD 上,EF∥AB.现将四边形 ABEF 沿 EF 折起,使平面 ABCD ? 平面 EFDC,设 AD 中 点为 P. ( I )当 E 为 BC 中点时,求证:CP//平面 ABEF (Ⅱ)设 BE=x,问当 x 为何值时,三棱锥 A-CDF 的体积有最大值?并求出这个最大值。 20. 过点 ?5, ? 4 作一直线 l, 使它与两坐标轴相交且与两轴所围成三角形面积为5。 21. 如图所示,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, Q 是棱 PA 上的 动点. (Ⅰ)若 Q 是 PA 的中点,求证: PC // 平面

?

?

BDQ ;
(Ⅱ)若 PB ? PD ,求证: BD ? CQ ; ( III ) 在 ( Ⅱ ) 的 条 件 下 , 若

PA ? PC , PB ? 3, ?ABC ? 60? ,求四棱锥 P ? ABCD 的体积.
P

22. 已知函数

?? ? f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0, ? ? ? 的 2? ?
点为 ? 0,1? ,它在 y 轴右侧的第一个最高点和 低点的坐标分别为 x0, 2 和 ? x0 ? 2? , ?2 ? .
A

Q

图象与 y 轴的交

D

第一个最

?

?

B

C

第 21 题图

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(I)求 f ? x ? 的解析式及 x0 的值;(II)若锐角 ? 满足 cos ? ? ,求f ? 4? ? 的值.

1 3

参考答案
一、单项选择 1. C 2. D 【解析】两个平面垂直,一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面,所 以 A 不正确;两个平面平行,两个平面内的直线不一定平行,所以 B 不正确;垂直于同 一个平面的两个平面不一定垂直,也可能平行或相交,所以 C 不正确;根据面面垂直的 判定定理知 D 正确. 3. C 4. D 【解析】 :任意做过 a 的平面α ,可以作无数个.在 b 上任取一点 M,过 M 作α的垂线,b 与垂线确定的平面β垂直与α .故选 D. 5. C 6. D 7. C 8. C 9. D 10. C 【解析】 设过点 A(4,1)的直线方程为 y-1=k(x-4)(k≠0),令 x=0,得 y=1-4k;令 y=0,

得 x=4-

.由已知得 1-4k=4-

,∴k=-1 或 k=

,∴所求直线方程为 x+y-5=0 或 x-4y=0。

二、填空题

11.【答案】 ?

1 5

12.【答案】 600

13.【答案】

?
3

14.【答案】2

15.【答案】

2 3

16.【答案】 2 3

三、解答题 17.【答案】 (1)存在一条侧棱垂直于底面(如图)即 SA ? 底面 ABCD

∵ SA ? AB, SA ? AD ,且 AB、AD 是面 ABCD 内两条相交直 线

? SA ? 底面 ABCD
(2)分别取 SC、SD 的中点 G、F,连 GE、GF、FA, 则 GF//EA,GF=EA,? AF//EG,而由 SA ? 面 ABCD 得 SA ? CD, 又 AD ? CD,? CD ? 面 SAD,? CD ? AF 又 SA=AD,F 是中点,? AF ? SD ? AF ? 面 SCD,即 EG ? 面 SCD, ? 面 SEC ? 面 SCD (3)作 DH ? SC 于 H,∵面 SEC ? 面 SCD,? DH ? 面 SEC, ? DH 之长即为点 D 到面 SEC 的距离,

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在 Rt ? SCD 中, DH ?

SD ? DC ? SC
6 a 3

2a ? a 3a

?

6 a 3

答:点 D 到面 SEC 的距离为 18.【答案】 【解析】(1)

AE ? 2

DE ? 2

AD ? 2

AE 2 ? ED 2 ? AD 2

? AE ? DE , DE ? AA1

AA1

AE ? A AA1 ? 面 A1 AE AE ? 面 A1 AE
,取 A1 E 的中点 H , AH ? A1 E

? DE ? 面 A1 AE , A1 A ? AE ? 2

AH ? DE

A1 E

ED ? E

A1 E ? 面

A1 DE

ED ? 面 A1 DE ,? AH ? 面 A1 DE ,AH 为点 A 到面 A1 DE 的距离,

AH=1,? 点 A 到面 A1 DE 的距离为 1, (2)

AH ? 面A1 ED ,过点 G 作 GM // AH 交AD于M ,
1 AD , 3

则MG ? A1 ED ,且 AM ?
故存在实数 ? ? 19.【答案】

1 ,使得 AM ? ? AD ,且 MG ? 平面A1 ED 同时成立. 3

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【解析】 20.【答案】解:设直线 l 的方程为 y ? 4 ? k ? x ? 5? 分别令 y ? 0,x ? 0 , 得 l 在 x 轴,y 轴上的截距为: a ? ? 5k ? 4 , b ? 5k ? 4 , k 由条件(2)得 ab ? ?10 ? ? 5k ? 4 ? ?5k ? 4 ? ? ?10 , k 得 25k 2 ? 30k ? 16 ? 0 无实数解;或 25k 2 ? 50k ? 16 ? 0 ,解得 k1 ? 8 ,k 2 ? 2 ,
5 5

故所求的直线方程为: 8 x ? 5 y ? 20 ? 0 或 2 x ? 5 y ? 10 ? 0 。 【解析】 21.【答案】 (Ⅰ)证明连结 AC ,交 BD 于 O .
P

因为底面 ABCD 为菱形, 所以 O 为 AC 的中点. 因为 Q 是 PA 的中点,所以 OQ // PC , 因为 OQ ? 平面 BDQ , PC ? 平面 BDQ ,所以 PC // 平面
A O C Q

D

BDQ .

B

(Ⅱ)证明:因为底面 ABCD 为菱形, 所以 AC ? BD , O 为 BD 的中点.因为 PB ? PD ,所以 PO ? BD . 因为 PO ? BD ? O ,所以 BD ? 平面 PAC .因为 CQ ? 平面 PAC ,所以 BD ? CQ .

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(Ⅲ)因为 PA ? PC ,所以△ PAC 为等腰三角形 . 因为 O 为 AC 的中点,所以 PO ? AC .由(Ⅱ)知 PO ? BD ,且 AC ? BD ? O , 所以 PO ? 平面 ABCD ,即 PO 为四棱锥 P ? ABCD 的高. 因为四边形是边长为 2 的菱形,且 ?ABC ? 60? ,所以 BO ? 3 ? PO ? 6 . 所以 VP ? ABCD ? 【解析】 22.【答案】

1 ?2 3? 6 ? 2 2 . 3


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