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均值不等式等号成立的常见错误及解决途径


均值不等式等号成立的常见错误及解决途径
湖北省 郭 松

不等式的应用是高中数学的重难点,众所周知在均值不等式的应用中应该注意等号成 立的条件。由于对公式的理解不够透彻,会造成一些错误。 一、常见错误 1.不能正确判断公式中的 a,b 例 1:已知 x ∈ (0, 值? 错解:y=x(1-2x)= 当 x=1-2x 即 x=

1 ),求函数 y=x(1-2x)的最大值,并判断当 x 为何值时函数取最大 2 1 1 2x + 1 ? 2x 2 1 2x(1-2x) ≤ ( ) = 2 2 2 8

1 时等号成立 3 1 时等号成 4

以上解答错误地判断了均值不等式中的 a,b。 解答应为当 2x=1-2x,当 x= 立 2.错误理解 a=b 时等号成立 例 2:已知函数 y=x 2 +1(x ∈ R + )求函数的值域 错解:y=x 2 +1 ≥ 2x,当 x=1 时等号成立,故 y ≥ 2 显然解答错误,但许多同学对错误原因不了解。 首先 y=x +1 ≥ 2x,当 x=1 时等号成立是正确的。
2

2 1 O 1 2

但并不代表函数的最小值为 2,例如 x=1 时 y=2=2x,x=
2

1 5 时 y= >1=2x。如右图,我们可以 2 4

发现 y=x +1 ≥ 2x,当 x=1 时等号成立。但 正确解答为 y>1 二、解决途径 1.利用单调性 例 3:已知函数 y=sin 2 x+

4 ,求函数的值域 sin 2 x

解:

4 Q 函数 y=x+ 在 x ∈ (0,2)函数单调递减,且 0<sin 2 x ≤ 1 x 4 4 ∴ 函数 y=sin 2 x+ 2 ≥ 1+ =5 1 sin x ∴
y ∈ [5,

+ ∞)
a (a 为正常 x

因为以上题型是高中常见题,所以我们不妨记一下。函数 y=x+

数,x>0)。x ∈(0, a 函数单调递减,x ∈

]

[

a , + ∞ 函数单调递增。利用函数的单调性证

)

明不等式是证明不等式的一种通法。理论上说不等式都能用函数单调性解答。 2.通过配系数 同例 3:方法 2:(略解)sin 2 x+

4 4 =4 sin 2 x+ -3 sin 2 x ≥ 8-3sin 2 x ≥ 5 2 sin x sin 2 x 4 1 3 3 2 2 方法 3: (略解)sin x+ = sin x+ + ≥ 2+ 2 ≥ 5 2 2 2 sin x sin x sin x sin x

充分利用,理解不等式等号成立的条件是配系数的关键 3.利用换元法 例 4:已知 a 2 +b 2 =1,m 2 +n 2 =9.求 am+bn 的最大值 错解:10= a 2 +b 2 +m 2 +n 2 ≥ 2(am+bn) 得:am+bn ≤ 5 显然等号不能成立 正解:设:a=sin α ,b=cos α ,m=3sin β ,n=3cos β 得 am+bn=3cos( α ? β ) ≤ 3 4.构造向量 利用向量的性质 z1 z 2 ≥ z 1 z 2 同例 4:设 z 1 =(a,b),z 2 =(m,n)得 z 1 z 2 =am+bn ≤ z1 z 2 = a + b
2 2

m 2 + n 2 =3

加强多种方法的解答,注意各部分知识的联系。有利于数学能力的培养


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