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双曲线及性质


双曲线的方程与性质.
【知识要点】 1. 双曲线的第一定义: ||PF1|-|PF2||=2a<|F1F2|:方程为双曲线 |PF1|-|PF2|=2a<|F1F2|:方程为双曲线靠近 F2 的一支 ||PF1|-|PF2||=2a=|F1F2|:以 F1F2 为端点的两条射线 ||PF1|-|PF2||=2a>|F1F2|:不表示任何图形 双曲线的第二定义: 2、双曲

线标准方程: x2 y2 y2 x2 2 - 2 =1(a,b>0), 2 - 2 =1(a,b>0). a b a b 参数方程:?
? x=asecθ ?x=btanθ 或? ? y=btanθ ?y=asecθ

一般方程:Ax2+Cy2=1.(AC<0)

方程

x2 y2 - =1(a,b>0) a2 b2

y2 x2 2 - 2 =1(a,b>0) a b

图像

焦点 顶点 准线 渐近线 离心率 范围 对称性 3、双曲线中的常用结论: ⑴等轴双曲线:双曲线 x -y2=±a2 称为等轴双曲线,其渐近线方程为 y=±x,离心率 e= 2. x2 y2 2 - 2 =λ,(λ≠0)的渐近线方程为 a b x2 y2 2 - 2 =0,如果双曲线的渐近线 a b
2

⑵共渐近线的双曲线系方程: 为

x y x2 y2 ± =0 时,它的双曲线方程可设为 2 - 2 =λ,(λ≠0). a b a b

⑶通径:过焦点垂直于实轴的弦,通径长

2b 2 ; a
?
2

⑷焦点三角形的面积: P 是双曲线上的点. F 1,F 2 为焦点, ?F 1PF 2 ? ? , ?PF 1F 2 的面积为 b 2 ? cot 若 若 则 (用余弦定理与 PF1 ? PF 2 ? 2a 可得). 若是椭圆线,则面积为 b 2 tan ⑸焦点到渐近线的距离是 b ; ⑹直线与双曲线的位置关系:
1

?
2

.

区域①:无切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 2 条; 区域②:即定点在双曲线上,1 条切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 3 条; 区域③:2 条切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 4 条; 区域④:即定点在渐近线上且非原点,1 条切线,1 条与渐近线平行的直 线,合计 2 条; 区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线. 小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目 可能有 0、2、3、4 条. 【典型问题】 1、填空: 实轴长 虚轴长 焦点坐标 准线 渐近线



y

4

3

2 1
x

F1

53
F2

3

顶点坐标

离心率

x2 y2 ? ?1 2 3

4 x 2 ? y 2 ? ?64
2、根据下列条件,求双曲线的标准方程.

15 16 (1)过点 P?3, 4 ?,Q?- 3 ,5?且焦点在坐标轴上; ? ? ? ? (2)c= 6,经过点(-5,2),焦点在 x 轴上.

3.如图所示,在△ABC 中,已知|AB|=4 2,且三内角 A,B,C 满足 2sin A+sin C=2sin B,建立适当 的坐标系,求顶点 C 的轨迹方程.

x2 y2 3 4.若双曲线 - =1 的渐近线方程为 y=± x,则双曲线的焦点坐标是________. 4 m 2 y2 5.与双曲线 x - =1 有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的标准方程是________. 4
2

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于 A , B 两点, a 2 b2 若原点在以 AB 为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是 .
6、直线 x ? t 过双曲线 7、椭圆

x2 y 2 x2 y 2 3 ,则双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为_______. ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 a2 b a b 2
2

8、以双曲线两焦点为直径端点的圆与双曲线的四个交点连同双曲线的焦点恰好构成一个正六边形,则 该双曲线的离心率为 .

x2 y2 2 3 9.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率 e= ,过点 A(0,-b)和点 B(a,0)的直线与原点的距离 a b 3 3 为 ,求此双曲线的方程. 2

10.已知双曲线 C:2x2-y2=2 与点 P(1,2). (1)求过点 P(1,2)的直线 l 的斜率 k 的取值范围,使 l 与 C 只有一个交点; (2)是否存在过点 P 的弦 AB,使 AB 的中点为 P?

【巩固提高】 1.设动点 P 到 A(-5,0)的距离与它到 B(5,0)距离的差等于 6,则 P 点的轨迹方程是( x2 y2 y2 x2 x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 C. - =1(x≤-3) D. - =1(x≥3) 9 16 9 16 9 16 9 16 x2 y2 x2 y2 2.椭圆 + 2=1 和双曲线 2- =1 有相同的焦点,则实数 n 的值是________. 34 n n 16 x2 y2 3.(2010 年高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 - =1 上一点 M 4 12 的横坐标是 3,则点 M 到此双曲线的右焦点的距离为________. x2 y2 1 4.若双曲线 - 2=1(b>0)的渐近线方程为 y=± x,则 b 等于________. 4 b 2 5.求中心在原点,对称轴为坐标轴,且满足下列条件的双曲线方程: (1)双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为( 3,0); (2)双曲线过点(3,9 2),离心率 e=

)

10 . 3

x2 y2 6.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,则双曲线的离心率 e 为 ; a b 7、已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中,有一个内角为 60? ,则双曲线 C 的离心率为_________. x2 y2 x2 y2 8.已知双曲线 2- 2=1 的离心率为 2,焦点与椭圆 + =1 的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为 a b 25 9 ________;渐近线方程为________. x2 y2 9. 求以椭圆 + =1 的两个顶点为焦点, 以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程, 并求此双曲线的实轴长、 16 9 虚轴长、离心率及渐近线方程.

3

双曲线的方程与性质.
【知识要点】 1. 双曲线的第一定义: ||PF1|-|PF2||=2a<|F1F2|:方程为双曲线 |PF1|-|PF2|=2a<|F1F2|:方程为双曲线靠近 F2 的一支 ||PF1|-|PF2||=2a=|F1F2|:以 F1F2 为端点的两条射线 ||PF1|-|PF2||=2a>|F1F2|:不表示任何图形 双曲线的第二定义: 2、双曲线标准方程: x2 y2 y2 x2 2 - 2 =1(a,b>0), 2 - 2 =1(a,b>0). a b a b 参数方程:?
? x=asecθ ?x=btanθ 或? ? y=btanθ ?y=asecθ

一般方程:Ax2+Cy2=1.(AC<0)

方程

x2 y2 - =1(a,b>0) a2 b2

y2 x2 2 - 2 =1(a,b>0) a b

图像

焦点 顶点 准线 渐近线 离心率 范围 对称性 3、双曲线中的常用结论: ⑴等轴双曲线:双曲线 x -y2=±a2 称为等轴双曲线,其渐近线方程为 y=±x,离心率 e= 2. x2 y2 2 - 2 =λ,(λ≠0)的渐近线方程为 a b x2 y2 2 - 2 =0,如果双曲线的渐近线 a b
2

⑵共渐近线的双曲线系方程: 为

x y x2 y2 ± =0 时,它的双曲线方程可设为 2 - 2 =λ,(λ≠0). a b a b

⑶通径:过焦点垂直于实轴的弦,通径长

2b 2 ; a
?
2

⑷焦点三角形的面积: P 是双曲线上的点. F 1,F 2 为焦点, ?F 1PF 2 ? ? , ?PF 1F 2 的面积为 b 2 ? cot 若 若 则 (用余弦定理与 PF1 ? PF 2 ? 2a 可得). 若是椭圆线,则面积为 b 2 tan ⑸焦点到渐近线的距离是 b ; ⑹直线与双曲线的位置关系:
4

?
2

.

区域①:无切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 2 条; 区域②:即定点在双曲线上,1 条切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 3 条; 区域③:2 条切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 4 条; 区域④:即定点在渐近线上且非原点,1 条切线,1 条与渐近线平行的直 线,合计 2 条; 区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线. 小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目 可能有 0、2、3、4 条. 【典型问题】 2、填空: 实轴长 虚轴长 焦点坐标 准线 渐近线



y

4

3

2 1
x

F1

53
F2

3

顶点坐标

离心率

x2 y2 ? ?1 2 3

4 x 2 ? y 2 ? ?64
2、根据下列条件,求双曲线的标准方程.

15 16 (1)过点 P?3, 4 ?,Q?- 3 ,5?且焦点在坐标轴上; ? ? ? ? (2)c= 6,经过点(-5,2),焦点在 x 轴上. x2 y2 解:(1)设双曲线方程为 + =1(mn<0). m n 9 225 + =1, ?m=-16, m 16n ? ∵P,Q 两点在双曲线上,∴ 解得? 256 25 ? ?n=9, + =1, 9m n y2 x2 ∴所求双曲线的方程为 - =1. 9 16 (2)∵焦点在 x 轴上,c= 6, x2 y2 ∴设所求双曲线的方程为 - =1(0<λ<6). λ 6-λ ∵双曲线过点(-5,2), 25 4 ∴ - =1, λ 6-λ 解得 λ=5 或 λ=30(舍去), x2 ∴所求双曲线的方程为 -y2=1. 5 3.如图所示,在△ABC 中,已知|AB|=4 2,且三内角 A,B,C 满足 2sin A+sin C=2sin B,建立适当 的坐标系,求顶点 C 的轨迹方程.

? ? ?

解:如图所示,以 AB 边所在的直线为 x 轴,AB 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系,则 A(-2 2,0),B(2 2,0). 由正弦定理,
5

a b 得 sinA= ,sinB= , 2R 2R c sinC= (R 为△ABC 外接圆半径). 2R ∵2sinA+sinC=2sinB, ∴2a+c=2b, c 即 b-a= . 2 1 从而有|CA|-|CB|= |AB| 2 =2 2<|AB|. 由双曲线的定义知,点 C 的轨迹为双曲线的右支. 且 a= 2,c=2 2, ∴b2=c2-a2=6. 所以顶点 C 的轨迹方程为 x2 y2 - =1(x> 2). 2 6 x2 y2 3 4.若双曲线 - =1 的渐近线方程为 y=± x,则双曲线的焦点坐标是________. 4 m 2 m 3 解析:由渐近线方程为 y=± x=± x, 2 2 得 m=3,c= 7,且焦点在 x 轴上. 答案:(± 7,0) y2 5.与双曲线 x2- =1 有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的标准方程是________. 4 y2 解析:依题意设双曲线的方程为 x2- =λ(λ≠0), 4 将点(2,2)代入求得 λ=3, x2 y2 所以所求双曲线的标准方程为 - =1. 3 12 x2 y2 答案: - =1 3 12

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于 A , B 两点, a 2 b2 若原点在以 AB 为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是 .
6、直线 x ? t 过双曲线 答案: (1,

5 ] 2

7、椭圆

x2 y 2 x2 y 2 3 ,则双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为_______. ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 a2 b a b 2

答案: 8、以双曲线两焦点为直径端点的圆与双曲线的四个交点连同双曲线的焦点恰好构成一个正六边形,则 该双曲线的离心率为 . 答案: 2

6

x2 y2 2 3 9.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率 e= ,过点 A(0,-b)和点 B(a,0)的直线与原点的距离 a b 3 3 为 ,求此双曲线的方程. 2 2 3 c 2 3 解:∵e= ,∴ = , 3 a 3 a2+b2 4 ∴ 2 = ,∴a2=3b2.① a 3 又∵直线 AB 的方程为 bx-ay-ab=0, ab 3 ∵d= 2 2= ,即 4a2b2=3(a2+b2).② 2 a +b
?a2=3, ? 解由①②组成方程组得? 2 ?b =1, ?

x2 ∴双曲线方程为 -y2=1. 3

10.已知双曲线 C:2x2-y2=2 与点 P(1,2). (1)求过点 P(1,2)的直线 l 的斜率 k 的取值范围,使 l 与 C 只有一个交点; (2)是否存在过点 P 的弦 AB,使 AB 的中点为 P? 解:(1)设直线 l 的方程为 y-2=k(x-1), 代入双曲线 C 的方程,整理得 (2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0(*) ①当 2-k2=0,即 k=± 2时,直线与双曲线的渐近线平行,此时只有一个交点. 3 ②当 2-k2≠0 时,令 Δ=0,得 k= .此时只有一个公共点. 2 又点(1,2)与双曲线的右顶点(1,0)在直线 x=1 上,而 x=1 为双曲线的一条切线. ∴当 k 不存在时,直线与双曲线只有一个公共点. 3 综上所述,当 k=± 2或 k= 或 k 不存在时,l 与 C 只有一个交点. 2 (2)假设以 P 为中点的弦 AB 存在,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2 是方程(*)的两根, 2?k2-2k? 则由根与系数的关系,得 2 =1,∴k=1. 2?k -2? ∴这样的弦存在,方程为 y=x+1(-1≤x≤3),即 x-y+1=0(-1≤x≤3). 【巩固提高】 1.设动点 P 到 A(-5,0)的距离与它到 B(5,0)距离的差等于 6,则 P 点的轨迹方程是( x2 y2 y2 x2 A. - =1 B. - =1 9 16 9 16 x2 y2 x2 y2 C. - =1(x≤-3) D. - =1(x≥3) 9 16 9 16 解析:选 D.由题意 c=5,a=3,∴b=4. x2 y2 ∴点 P 的轨迹方程是 - =1(x≥3). 9 16 x2 y2 x2 y2 2.椭圆 + 2=1 和双曲线 2- =1 有相同的焦点,则实数 n 的值是________. 34 n n 16 x2 y2 解析:因为双曲线 2- =1 的焦点在 x 轴上, n 16 x2 y2 ∴c2=n2+16,且椭圆 + 2=1 的焦点在 x 轴上, 34 n 2 2 2 ∴c =34-n ,∴n +16=34-n2,
7

)

∴n2=9,∴n=± 3. 答案:± 3 x2 y2 3.(2010 年高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 - =1 上一点 M 的横坐标是 3,则点 4 12 M 到此双曲线的右焦点的距离为________.

x2 y2 解析:∵ - =1, 4 12 ∴当 x=3 时,y=± 15. 又∵F2(4,0), ∴|AF2|=1,|MA|= 15, ∴|MF2|= 1+15=4. 故填 4. 答案:4 x2 y2 1 4.若双曲线 - 2=1(b>0)的渐近线方程为 y=± x,则 b 等于________. 4 b 2 x2 y2 x2 y2 b 解析:双曲线 - 2=1 的渐近线方程为 - 2=0,即 y=± x(b>0),∴b=1. 4 b 4 b 2 答案:1 5.求中心在原点,对称轴为坐标轴,且满足下列条件的双曲线方程: (1)双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为( 3,0); 10 (2)双曲线过点(3,9 2),离心率 e= . 3 2 2 x y 解:(1)设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b 由已知得 a= 3,c=2,再由 a2+b2=c2,得 b2=1. x2 故双曲线 C 的方程为 -y2=1. 3 10 c2 10 2 (2)e = ,得 2= ,设 a2=9k(k>0), 9 a 9 则 c2=10k,b2=c2-a2=k. x2 y2 y2 x2 于是,设所求双曲线方程为 - =1①或 - =1② 9k k 9k k 把(3,9 2)代入①,得 k=-161 与 k>0 矛盾,无解; 把(3,9 2)代入②,得 k=9, y2 x2 故所求双曲线方程为 - =1. 81 9 x2 y2 6.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,则双曲线的离心率 e 为( ) a b A.2 B.3 4 5 C. D. 3 3 解析:选 D.依题意,2a+2c=2· 2b, ∴a2+2ac+c2=4(c2-a2), 即 3c2-2ac-5a2=0, 5 ∴3e2-2e-5=0,∴e= 或 e=-1(舍).故选 D. 3 7、已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中,有一个内角为 60? ,则双曲线
8

C 的离心率为_________.
答案:

6 2

x2 y2 x2 y2 8.已知双曲线 2- 2=1 的离心率为 2,焦点与椭圆 + =1 的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为 a b 25 9 ________;渐近线方程为________. 解析:∵双曲线的焦点与椭圆的焦点相同,∴c=4. c ∵e= =2,∴a=2,∴b2=12,∴b=2 3. a ∵焦点在 x 轴上,∴焦点坐标为(± 4,0), b 渐近线方程为 y=± x, a 即 y=± 3x,化为一般式为 3x± y=0. 答案:(± 4,0) 3x± y=0 x2 y2 9. 求以椭圆 + =1 的两个顶点为焦点, 以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程, 并求此双曲线的实轴长、 16 9 虚轴长、离心率及渐近线方程. 解:椭圆的焦点 F1(- 7,0),F2( 7,0),即为双曲线的顶点. ∵双曲线的顶点和焦点在同一直线上, ∴双曲线的焦点应为椭圆长轴的端点 A1(-4,0),A2(4,0),所以 c=4,a= 7, ∴b= c2-a2=3, x2 y2 故所求双曲线的方程为 - =1. 7 9 实轴长为 2a=2 7,虚轴长为 2b=6, c 4 7 3 7 离心率 e= = ,渐近线方程为 y=± x. a 7 7

9


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