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选修2—1 第一章 §1.1.3四种命题间的相互关系doc


高二数学 选修 2—1 第一章
学习目标

§ 1.1.3 四种命题间的相互关系
班级

(2014/11/3)

四上表可知四种命题的真假性之间有如下关系: (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 练习:判断下列命题的真假. (1)命题“在 ?ABC 中,若 AB ? AC ,则 ?C ? ?B ”的逆命题; ( (2)命题“若 ab ? 0 ,则 a ? 0 且 b ? 0 ”的否命题; ( (3)命题“若 a ? 0 且 b ? 0 ,则 ab ? 0 ”的逆否命题; ( ) . ) . ) . ) .

姓名

1.掌握四种命题的内在联系; 2.能分析逆命题、否命题和逆否命题的相互关系,并能利用等价关系转化.

学习过程
一、课前准备 复习 1:四种命题 命题 原命题

表述形式 若 p ,则 q

(4)命题“若 a ? 0 且 b ? 0 ,则 a 2 ? b2 ? 0 ”的逆命题. (

反思: (1)直接判断(2)互为逆否命题的两个命题等价来判断.

逆命题 否命题 逆否命题 复习 2:判断命题“若 a ? 0 ,则 x 2 ? x ? a ? 0 有实根”的逆命题的真假. 二、新课导学

※ 典型例题
例 2、证明:若 x2 ? y 2 ? 0 ,则 x ? y ? 0 .

※ 学习探究 1、分析下列四个命题之间的关系 (1)若 f ( x) 是正弦函数,则 f ( x) 是周期函数; (2)若 f ( x) 是周期函数,则 f ( x) 是正弦函数; (3)若 f ( x) 不是正弦函数,则 f ( x) 不是周期函数; (4)若 f ( x) 不是周期函数,则 f ( x) 不是正弦函数. (1) (2)互为 (1) (3)互为 (1) (4)互为 (2) (3)互为 通过上例分析我们可以得出四种命题之间有如下关系:

变式 1:证明:若 a 2 ? b2 ? 2a ? 4b ? 3 ? 0 ,则 a ? b ? 1 .

2、四种命题的真假性 例 1、以“若 x2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 2 ”为原命题,写出它的逆命题、否命题、逆否命题,并判断这些 命题的真假并总结其规律性.

例 3、已知函数 f ( x) 在 (??, ??) 上是增函数, a, b ? R ,对于命题“若 a ? b ? 0 , 则 f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) .” (1)写出其逆命题,判断其真假,并证明你的结论; (2)写出其逆否命题, 判断其真假,并证明你的结论.

通过上例真假性可总结如: 原命题 真 真 假 假 逆命题 否命题 逆否命题

1

课后作业 一、基础训练题
1.命题“若 f(x)是奇函数,则 f(-x)是奇函数”的否命题是( A.若 f(x)是偶函数,则 f(-x)是偶函数 B.若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数 C.若 f(-x)是奇函数,则 f(x)是奇函数 D.若 f(-x)不是奇函数,则 f(x)不是奇函数 2.原命题为“圆内接四边形是等腰梯形”,则下列说法正确的是( A.原命题是真命题 C.否命题是真命题 3.下列四个命题中: ①“等边三角形的三个内角均为 60° ”的逆命题; ②“若 k>0,则方程 x2+2x-k=0 有实根”的逆否命题; ③“全等三角形的面积相等”的否命题; ④“若 ab≠0,则 a≠0”的否命题. 其中真命题的个数是( A.0 B.1 ) C.2 D.3 ) D.若? q,则? p ) B.逆命题是假命题 D.逆否命题是真命题 ) )

(1)“若 x∈A∪B,则 x∈B”的逆命题与逆否命题; (2)“若自然数能被 6 整除,则自然数能被 2 整除”的逆命题.

二、提高训练题
9.在公比为 q 的等比数列{an}中,前 n 项的和为 Sn,若 Sm、Sm+2、Sm+1 成等差数列,则 am、am+2、 am+1 成等差数列. (1)写出这个命题的逆命题; (2)判断公比 q 为何值时,逆命题为真?公比 q 为何值时,逆命题为假?

4.命题“若? p,则 q”是真命题,则下列命题一定是真命题的是( A.若 p,则? q B.若 q,则? p C.若? q,则 p

1 1 5.已知命题①若 a>b,则 < ,②若-2≤x≤0,则(x+2)(x-3)≤0,则下列说法正确的是( a b A.①的逆命题为真 C.①的逆否命题为真 B.②的逆命题为真 D.②的逆否命题为真

6.“若 x2=y2,则 x=-y”的逆命题是________命题,否命题是________命题.(填“真”或“假”)

7.给出下列命题: ①命题“若 b2-4ac<0,则方程 ax2+bx+c=0(a≠0)无实根”的否命题; ②命题“△ABC 中,AB=BC=CA,那么△ABC 为等边三角形”的逆命题; 3 3 ③命题“若 a>b>0,则 a> b>0”的逆否命题; ④“若 m>1,则 mx2-2(m+1)x+(m-3)>0 的解集为 R”的逆命题. 其中真命题的序号为________.

8.判断下列命题的真假:
2

选修 2—1 第一章
1、答案: B 2、答案: C 3、解析: ①②正确,③④错误. 答案: C

§ 1.1.3 四种命题间的相互关系参考答案

∵2(m+2)a1≠ma1+(m+1)a1, 即 2Sm+2≠Sm+Sm+1, ∴Sm、Sm+2、Sm+1 不成等差数列. 即 q=1 时,原命题的逆命题为假命题. a1?1-qm 2? 1 当 q=- 时,2Sm+2=2· , 2 1-q


4、解析: “若? p,则 q”的逆否命题为“若? q,则 p”. 答案: C 1 1 5、解析: 命题①是假命题,其逆命题为 < ,则 a>b,是假命题.故 A、C 错误.命题②是真命题, a b 其逆命题为假命题,逆否命题为真命题.故选 D. 答案: D 6、解析: 若 x2=y2,则 x=-y 的逆命题为:若 x=-y,则 x2=y2,是真命题;否命题为:若 x2≠y2, 则 x≠-y,是真命题. 答案: 真 真 7、解析: ①否命题:若 b2-4ac≥0,则方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有实根,真命题; ②逆命题:若△ABC 为等边三角形,则 AB=BC=CA,真命题; 3 3 ③因为命题“若 a>b>0,则 a> b>0”是真命题,故其逆否命题为真命题; ④逆命题:若 mx2-2(m+1)x+(m-3)>0 的解集为 R,则 m>1,假命题. 所以应填①②③. 答案: ①②③ 8、解:(1)逆命题:若 x∈B,则 x∈A∪B.根据集合“并”的定义,逆命题为真.逆否命题:若 x?B, 则 x?A∪B.逆否命题为假.如 2?{1,5}=B,A={2,3},但 2∈A∪B. (2)逆命题:若自然数能被 2 整除,则自然数能被 6 整除.逆命题为假.反例:2,4,14,22 等都不能 被 6 整除. 9、解:(1)逆命题:在公比为 q 的等比数列{an}中,前 n 项和为 Sn,若 am、am+2、am+1 成等差数列, 则 Sm、Sm+2、Sm+1 成等差数列. (2)由{an}为等比数列,∴an≠0,q≠0. 由 am、am+2、am+1 成等差数列,得 2am+2=am+am+1, ∴2am· q2=am+am· q,∴2q2-q-1=0. 1 解得 q=- 或 q=1. 2 当 q=1 时,an=a1(n=1,2,?), ∴Sm+2=(m+2)a1,Sm=ma1,Sm+1=(m+1)a1.
3

a1?1-qm 1? a1?1-qm? Sm+1= ,Sm= , 1-q 1-q


∴2Sm+2=Sm+1+Sm. ∴Sm、Sm+2、Sm+1 成等差数列. 1 即 q=- 时,原命题的逆命题为真命题. 2


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