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【步步高】高考数学一轮复习


§5.2
考试如何考

平面向量基本定理及坐标表示

1.考查平面向量基本定理的应用;2.考查向量的坐标表示和向量共线的应用.

1.平面向量基本定理 如果 e1, e2 是同一平面内的两个不共线向量, 那么对于这一平面内的任意向量 a, 有且只有一对实数 λ1, λ2, 使 a=λ1e1+λ2e2. 其中,不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
2 a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),|a|= x2 1+y1 .

(2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. → → ②设 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. 3.平面向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b?x1y2-x2y1=0. 概 念 辨 析 1.对平面向量基本定理的理解 (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底. (2)若 a,b 不共线,且 λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则 λ1=λ2,μ1=μ2. ( ) ( )

(3)已知 a 是已知的平面向量且 a≠0.关于向量 a 的分解,有下列四个命题,请判断它们的正误: ①给定向量 b,总存在向量 c,使 a=b+c. ②给定向量 b 和 c,总存在实数 λ 和 μ,使 a=λb+μc; ③给定单位向量 b 和正数 μ,总存在单位向量 c 和实数 λ,使 a=λb+μc; ④给定正数 λ 和 μ,总存在单位向量 b 和单位向量 c,使 a=λb+μc. 2.平面向量的坐标运算 → (4)(教材习题改编)已知点 A(2,1),B(-1,3),则AB=(-3,2). x1 y1 (5)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件可表示成 = . x2 y2 (6)已知向量 a=(4,x),b=(-4,4),若 a∥b,则 x 的值为-4. [小结] → 1.向量坐标与点的坐标的区别 在平面直角坐标系中,以原点为起点的向量OA=a,点 A 的位置被向量 a 唯一确定,此时点 A 的坐标与 a 的坐标统一为(x,y),但应注意其表示形式的区别,如点 A(x,y),向量 a
1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

→ → → → → → =OA=(x,y).当平面向量OA平行移动到O1A1时,向量不变即O1A1=OA=(x,y),但O1A1的起点 O1 和终 点 A1 的坐标都发生了变化. 2.两个防范 一是注意能作为基底的两个向量必须是不共线的,如(1).二是注意运用两个向量 a,b 共线 坐标表示的充要条件应为 x1y2-x2y1=0,如(5). [难点] 1. 基底的不唯一性 只要两个向量不共线,就可以作为平面的一组基底,对基底的选取不唯一,平面内任意向量 a 都可被 这个平面的一组基底 e1,e2 线性表示,且在基底确定后,这样的表示是唯一的. 2. 向量坐标与点的坐标的区别 → 在平面直角坐标系中,以原点为起点的向量OA=a,点 A 的位置被向量 a 唯一确定,此时点 A 的坐标 → 与 a 的坐标统一为(x,y),但应注意其表示形式的区别,如点 A(x,y),向量 a=OA=(x,y). → → → → → 当平面向量OA平行移动到O1A1时,向量不变即O1A1=OA=(x,y),但O1A1的起点 O1 和终点 A1 的坐标都发 生了变化.

→ → → 1. 在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点,若AC=λ AE+μ AF,其中 λ ,μ ∈R,则 λ +μ =________.

→ → → 2. 在?ABCD 中,AC 为一条对角线,AB=(2,4),AC=(1,3),则向量BD的坐标为__________.

3. 已知向量 a=(1,2),b=(-3,2),若 ka+b 与 b 平行,则 k=________.

4. 若向量 a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则 c 等于 A.3a+b B.3a-b C.-a+3b D.a+3b

(

)

5.已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若 λ 为实数,(a+λ b)∥c,则 λ 等于( A. 1 4 B. 1 2 C.1 D.2

)

2

题型一 例1

平面向量基本定理的应用 → → → → 已知点 G 为△ABC 的重心,过 G 作直线与 AB、AC 两边分别交于 M、N 两点,且AM=xAB,AN=yAC,

1 1 求 + 的值.

x y

→ → 思维启迪:以AB,AC为基底来表示向量,建立 x,y 的关系. 解 → 1 → → 根据题意知 G 为三角形的重心,故AG= (AB+AC), 3

→ → → 1 → → → ?1 ? → 1 → MG=AG-AM= (AB+AC)-xAB=? -x?AB+ AC, 3 3 ?3 ? → → → → → → 1 → → ? 1?→ 1→ GN=AN-AG=yAC-AG=yAC- (AB+AC)=?y- ?AC- AB, 3 3 ? 3? → → 由于MG与GN共线,根据共线向量定理知 → → ?1 ?→ 1→ ?? 1?→ 1→? MG=λ GN? ? -x?AB+ AC=λ ??y-3?AC- AB?, 3 ? 3 ? ?3 ? ?? 1 1 -x=- λ ? ? 3 3 → → ∵AB,AC不共线,∴? 1 ?y-1? ? ? ?3=λ ? ? 3? 1 1 -x 3 3 1 1 ? = ? x+y-3xy=0,两边同除以 xy 得 + =3. 1 1 x y - y- 3 3

→ → 【例 2】 如图,在平行四边形 ABCD 中,M,N 分别为 DC,BC 的中点,已知AM=c,AN=d,试用 c,d → → 表示AB,AD.



→ → → → → → 1 1 - b? ①,b=AM+MD=c+?- a?.② 法一 设AB=a,AD=b,则 a=AN+NB=d+? ? 2 ? ? 2 ?

1?? ? 1 ?? 4 2 2 将②代入①,得 a=d+? ?-2??c+?-2a??,∴a=3d-3c=3(2d-c) ③ → 2 → 2 1 2 2 - ?× (2d-c)= (2c-d).∴AB= (2d-c),AD= (2c-d). 将③代入②,得 b=c+? ? 2? 3 3 3 3 → → → 1 → 1 法二 设AB=a,AD=b..因 M,N 分别为 CD,BC 的中点,所以BN= b,DM= a, 2 2

?c=b+2a, 因而? 1 ?d=a+2b
减或数乘运算.

1

?a=3?2d-c?, ?? 2 ?b=3?2c-d?,

2

→ 2 → 2 ,即AB= (2d-c),AD= (2c-d). 3 3

规律方法 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、
3

(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形 式,再通过向量的运算来解决.

→ 1→ → → 2→ 【变式训练 1】 如图, 在△ABC 中, AN= NC, P 是 BN 上的一点, 若AP=mAB+ AC, 则实数 m 的值为_____. 3 11

【变式训练 2】 在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=2CD,M,N 分别为 CD,BC 的中点,

→ → → 若 A B =λAM+μAN,则 λ+μ=(
1 A. 5 2 B. 5 3 C. 5 4 D. 5

).

题型二 例1

向量坐标的基本运算 → → → → → 已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN=-2b,

→ (1)求 3a+b-3c;(2)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n;(3)求 M、N 的坐标及向量MN的坐标. 解 由已知得 a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).

(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).
?-6m+n=5, ? (2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),∴? ?-3m+8n=-5, ?

解得?

?m=-1, ? ?n=-1. ?

→ → → (3)设 O 为坐标原点,∵CM=OM-OC=3c, → → → → → ∴OM=3c+OC=(3,24)+(-3,-4)=(0,20).∴M(0,20).又∵CN=ON-OC=-2b, → → → ∴ON=-2b+OC=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),∴N(9,2).∴MN=(9,-18).

1 3 【变式训练 1】 (1)已知平面向量 a=(1,1),b=(1,-1),则向量 a- b= 2 2 A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(-1,0) D.(-1,2)

(

).

→ → → (2)在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线,若AB=(2,4),AC=(1,3),则BD= A.(-2,-4) B.(-3,-5) C.(3,5) D.(2,4)

(

).

【变式训练 2】已知平行四边形的三个顶点分别是 A(4,2),B(5,7),C(-3,4),则第四个顶点 D 的坐标是 __________.

4

题型三 例3

共线向量的坐标表示 平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),请解答下列问题:

(1)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n; (2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k; (3)若 d 满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|= 5,求 d. 思维启迪:(1)向量相等对应坐标相等,列方程解之. (2)由两向量平行的条件列方程解之. (3)设出 d=(x,y),由平行关系列方程,由模为 5列方程,联立方程组求解. 5 m= ? ? 9 ,得? 8 n= ? ? 9



?-m+4n=3 ? (1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),所以? ? ?2m+n=2

.

(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),∵(a+kc)∥(2b-a), 16 ∴2×(3+4k)-(-5)(2+k)=0,∴k=- . 13
?4?x-4?-2?y-1?=0 ? (3)设 d=(x,y),d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),由题意得? 2 2 ??x-4? +?y-1? =5 ?



解得?

? ?x=3 ?y=-1 ?

或?

? ?x=5 ?y=3 ?

,∴d=(3,-1)或 d=(5,3).

【变式训练 1】已知向量 a=( 3,1),b=(0,-1),c=(k, 3).若(a-2b)与 c 共线,则 k=_____.

思想方法 3——方程思想在平面向量线性运算中的应用
λ 【典例】向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示.若 c=λa+μb(λ,μ∈R),则 =_____. μ

解析 以向量 a 和 b 的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系, 令每个小正方形的边长为 1 个单位, 则 A(1, → → → -1),B(6,2),C(5,-1),所以 a=AO=(-1,1),b=OB=(6,2),c=BC=(-1,-3).由 c=λa+μb 可得

5

? ? ? ?-1=-λ+6μ, ? 解得? 1 ?-3=λ+2μ, ? ?μ=- ,
λ=-2, 2

?

λ 所以 =4. 答案 4 μ

[反思感悟] (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领,要尽可能地转化到平行四边形或 三角形中去.(2)利用向量共线建立方程组,用方程的思想求解. 【自主体验】 1.设 e1,e2 是平面内一组基底,且 a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量 e1+e2 可以表示为另一组基底 a,b 的线性组合,即 e1+e2=________a+________b.

x? 2.已知向量 a=? ?8,2?,b=(x,1),其中 x>0,若(a-2b)∥(2a+b),则 x=________.

→ → → → → 典例:(12 分)已知OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,设 t∈R,如果 3a=c,2b=d,e=t(a+b),那 么 t 为何值时,C,D,E 三点在一条直线上? 易错分析 本题可以根据向量共线的充要条件列出等式解决,但在得出等式后根据平面向量基本定理列式 解决时,容易忽视平面向量基本定理的使用条件,出现漏解,漏掉了当 a,b 共线时,t 可为任意实数这个 解. 解 → → 由题设,知CD=d-c=2b-3a,CE=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E 三点在一条直线上的充要条件是存

→ → 在实数 k,使得CE=kCD,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.[4 分] ①若 a,b 共线,则 t 可为任意实数;[7 分]②若 a,b 不共线,则有?
? ?t-3+3k=0, ?2k-t=0, ?

6 6 解之得 t= .[10 分],综上,可知 a,b 共线时,t 可为任意实数;a,b 不共线时,t= .[12 分] 5 5

方法与技巧 1.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示,其中坐标运算法则是运算的关键,通过坐标运算可将一些 几何问题转化为代数问题处理,从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题. 2.在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用. 失误与防范 1.要区分点的坐标和向量坐标的不同,向量的坐标等于表示向量的有向线段的终点坐标减始点坐标;向
6

量坐标中既有大小的信息,又有方向的信息. 2.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件不能表示成 = ,因为 x2,y2 有可能等于 0,所以 应表示为 x1y2-x2y1=0. 【题组一】 A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. 与向量 a=(12,5)平行的单位向量为 A.? ( 5? ? 12 D.?± ,± ? 13 13 ? ? )

x1 y1 x2 y2

?12,- 5 ? ? 13? ?13

5? ? 12 B.?- ,- ? 13 13 ? ?

5? ?12 5 ? ? 12 C.? , ?或?- ,- ? 13 13 13 13 ? ? ? ?

2.

→ → → → → 如图,在△OAB 中,P 为线段 AB 上的一点,OP=xOA+yOB,且BP=2PA,则 2 1 A.x= ,y= 3 3 1 2 B.x= ,y= 3 3 1 3 C.x= ,y= 4 4

(

)

3 1 D.x= ,y= 4 4

3. 已知 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则 c 等于 ( 1 3 A.- a+ b 2 2 1 3 B. a- b 2 2 3 1 C.- a- b 2 2

) 3 1 D.- a+ b 2 2

→ → → → → 4. 在△ABC 中,点 P 在 BC 上,且BP=2PC,点 Q 是 AC 的中点,若PA=(4,3),PQ=(1,5),则BC等于 ( ) A.(-2,7) B.(-6,21) C.(2,-7) D.(6,-21)

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 1 1 5. 若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b) (ab≠0)共线,则 + 的值为________.

a b

6. 已知向量 a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,且 u∥v,则实数 x 的值为________.

→ |AC| → 2→ 1→ 7. 在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A、B、C 三点满足OC= OA+ OB,则 =________. 3 3 → |AB|

三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)已知 a=(1,2),b=(-3,2),是否存在实数 k,使得 ka+b 与 a-3b 共线,且方向相反?
7

9.

→ → → → (12 分)如图所示,M 是△ABC 内一点,且满足条件AM+2BM+3CM=0,延长 CM 交 AB 于 N,令CM=a,

→ 试用 a 表示CN.

B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1. 若平面向量 b 与向量 a=(1,-2)的夹角是 180°,且|b|=3 5,则 b 等于 A.(-3,6) B.(3,-6) C.(6,-3) D.(-6,3) ( )

2. 已知平面向量 a=(1,2),b=(-2,m),且 a∥b,则 2a+3b 等于 A.(-2,-4) B.(-3,-6) C.(-4,-8) D.(-5,-10)

(

)

π → → 3. 已知 A(-3,0),B(0,2),O 为坐标原点,点 C 在∠AOB 内,|OC|=2 2,且∠AOC= ,设OC= λ OA+ 4 →

OB(λ ∈R),则 λ 的值为
A.1 1 B. 3 1 C. 2 2 D. 3

(

)

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4. △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),且 p∥q, 则角 C=________.

1 → → 5. 已知 A(7,1)、B(1,4),直线 y= ax 与线段 AB 交于 C,且AC=2CB,则实数 a=________. 2

→ → → 6. 设OA=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(-b,0),a>0,b>0,O 为坐标原点,若 A、B、C 三点共线,则

8

1

a b

2 + 的最小值是________.

三、解答题 → → → 7. (13 分)已知点 O 为坐标原点,A(0,2),B(4,6),OM=t1OA+t2AB. (1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件; (2)求证:当 t1=1 时,不论 t2 为何实数,A、B、M 三点都共线; → → 2 (3)若 t1=a ,求当OM⊥AB且△ABM 的面积为 12 时 a 的值.

【题组二】 基础巩固 (建议用时:40 分钟) 一、选择题

→ → → → 1.如图,设 O 是平行四边形 ABCD 的两条对角线 AC,BD 的交点,下列向量组:①AD与AB;②DA与BC; → → → → ③CA与DC;④OD与OB,其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( A.①② B.③④ C.①③ D.①④ ).

→ 2.已知点 A(-1,5)和向量 a=(2,3),若AB=3a,则点 B 的坐标为( A.(7,4) B.(7,14) C.(5,4) D.(5,14) 3.

).

→ → → → → 如图,在△OAB 中,P 为线段 AB 上的一点,OP=x OA+y OB,且BP=2 PA,则( 2 1 1 2 1 3 3 1 A.x= ,y= B.x= ,y= C.x= ,y= D.x= ,y= 3 3 3 3 4 4 4 4 4.已知向量 a=(-1,1),b=(3,m),a∥(a+b),则 m=( A.2 B.-2 C.-3 D.3 ).

).

9

→ → → → → 5. 在△ABC 中, 点 P 在 BC 上, 且BP=2P C , 点 Q 是 AC 的中点, 若PA=(4,3), PQ=(1,5), 则BC等于( ). A.(-2,7) B.(-6,21) C.(2,-7) D.(6,-21)

二、填空题 1 1 6.若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则 + 的值为________. a b

→ → → 7.已知向量OA=(3,-4),OB=(0,-3),OC=(5-m,-3-m),若点 A,B,C 能构成三角形,则实数 m 满足的条件是________.

→ → → 1 2 8.设 D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 上的点,AD= AB,BE= BC.若DE=λ1 AB+λ2 AC(λ1,λ2 为实数), 2 3 则 λ1+λ2 的值为________.

三、解答题 9.已知 a=(1,2),b=(-3,2),当 k 为何值时,ka+b 与 a-3b 平行?平行时它们是同向还是反向?

→ → → 10.已知点 O 为坐标原点,A(0,2),B(4,6),OM=t1 OA+t2 AB. (1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件; (2)求证:当 t1=1 时,不论 t2 为何实数,A,B,M 三点都共线.

能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 一、选择题 1.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设向量 p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若 p∥q, 则角 C 的大小为( ).

A.30° B.60° C.90° D.120° → 2. 如图所示,A,B,C 是圆 O 上的三点,CO 的延长线与线段 BA 的延长线交于圆 O 外一点 D,若OC=m → → OA+n OB,则 m+n 的取值范围是( ).
10

A.(0,1)

B.(1,+∞)

C.(-∞,-1)

D.(-1,0)

二、填空题 → → → 3.设OA=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(-b,0),a>0,b>0,O 为坐标原点,若 A,B,C 三点共线,则 1 2 + 的最小值为________. a b

三、解答题 4. 如图,点 A(1,0),B(0,2),C(-1,-2),求以 A,B,C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标.

11


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