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2015-2016高中数学 第一章 集合与函数概念阶段质量评估 新人教A版必修1


阶段质量评估(一)

集合与函数概念

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1. (2013·四川高考)设集合 A={x|x+2=0}, 集合 B={x|x -4=0}, 则 A∩B=( A.{-2} C.{-2,2} B.{2} D.?
2

)

解析:解出集合 A,B 后依据交集的概念求解. ∵A={x|x+2=0},∴A={-2}. ∵B={x|x -4=0},∴B={-2,2}. ∴A∩B={-2},故选 A. 答案:A 2.下列函数中与函数 y=x 表示同一函数的是( A.y=( x) 3 3 C.y= x 3 3 解析:y= x =x,x∈R. 答案:C
?2x,x≥0 ? 3.已知函数 f(x)=? 2 ?x ,x<0 ?
2 2

)
2

B.y= x D.y=

x2 x

,则 f(f(-2))的值是( B.-4 D.-8

)

A.4 C.8 解析:f(-2)=(-2) =4,
2

f(f(-2))=f(4)=2×4=8.
答案:C 4.下列图形中不是函数的图象的是( )

解析:本题主要考查函数的概念.对于 B,因为对任意的自变量 x>0,都有两个不同的

1

y 值与其对应,这与函数的定义有唯一确定的元素 y 与之对应矛盾,故选 B.
答案:B 5.已知 f(x)的定义域为[-2,2],则 f(x -1)的定义域为( A.[-1, 3] C.[- 3, 3]
2 2

)

B.[0, 3] D.[-4,4]

解析:由-2≤x -1≤2,解得- 3≤x≤ 3. 答案:C 6.已知函数 f(x+1)=3x+2,则 f(x)的解析式是( A.3x+2 C.3x-1 B.3x+1 D.3x+4 )

解析:∵f(x+1)=3(x+1)-1,∴f(x)=3x-1. 答案:C 7.函数 f(x)=|x-1|的图象是( )

? ?x-1,x≥1 解析:本题主要考查函数的图象.f(x)=|x-1|=? ?1-x,x<1 ?

,故选 B.

答案:B 8.已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(-1)+

g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则 g(1)=(
A.4 C.2 解析:∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, ∴f(-1)=-f(1),g(-1)=g(1),
?-f?1?+g?1?=2, ? ∴由题可得? ?f?1?+g?1?=4, ?

) B.3 D.1

解方程可得?

?f?1?=1, ? ?g?1?=3. ?

故选 B.

答案:B 1? 1 ? 9.函数 f(x)= -2x 在区间?-2,- ?上的最小值为( 2? x ? A.1 7 C.- 2 7 B. 2 D.-1 )

2

1? ? 解析:由函数单调性的定义判断.令 x1>x2 且 x1,x2∈?-2,- ?,则 2? ?

f(x1)-f(x2)=(x2-x1)?

? 1 +2?. ? ?x1x2 ?

1? 1? 1 ? ? 因为 x1>x2, 所以 x2-x1<0.因为 x1∈?-2,- ?, x2∈?-2,- ?, 所以 x1·x2>0, 2? 2? x1x2 ? ? +2>0, 所以 f(x1)-f(x2)=(x2-x1)? 1? ? 1 +2?<0, ? 即 f(x1)<f(x2), 则函数 f(x)是?-2,- ? ? 2? ?x1x2 ? ?

? 1? 上的减函数,故其最小值为 f?- ?=-1. ? 2?
答案:D 1 3 10.函数 f(x)= -x+x 的图象关于(

x

) B.直线 y=x 对称 D.直线 y=-x 对称

A.y 轴对称 C.坐标原点对称

1 3 解析: 本题主要考查函数的奇偶性和函数图象的对称性. 因为 f(-x)=- +x-x =-

x

?1-x+x3?=-f(x),所以函数 f(x)=1-x+x3 为奇函数,奇函数的图象关于原点对称,故 ?x ? x ? ?
选 C. 答案:C 11.已知集合 M={-1,0,1},N={x|x=ab,a,b∈M,且 a≠b},则集合 N 的真子集个 数为( A.8 C.4 ) B.7 D.3

解析: 因为 x=ab,a,b∈M,且 a≠b,所以 x=-1,0.∴N={-1,0},其真子集为?, {-1},{0}共 3 个.故选 D. 答案:D 12.已知函数 f(x)=-x -3x -5x+3,若 f(a) +f(a-2)>6,则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,1) C.(1,+∞) ) B.(-∞,3) D.(3,+∞)
5 3 5 3

解析: 本题主要考查利用函数的奇偶性求解不等式. 设 F(x)=f(x)-3=-x -3x -5x, 则 F(x)为奇函数, 且在 R 上为单调递减函数, 因为 F(0)=0, 所以当 x<0 时, F(x)>0, f(a) +f(a-2)>6 等价于 f(a-2)-3>-f(a)+3=-[f(a)-3],即 F(a-2)>-F(a)=F(-

a),所以 a-2<-a,即 a<1,故选 A.
3

答案:A 第Ⅱ卷(非选择题) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上) 13.已知集合 A={-2,1,2},B={ a+1,a},且 B? A,则实数 a 的值是________. 解析: 本题主要考查集合的子集关系的逆用. 因为集合 A={-2,1,2}, B={ a+1, a}, 且 B? A,所以 a∈A, a+1∈A,且 a≥0,所以 a=1. 答案:1 14.已知函数 f(x)的图象如图所示,则此函数的定义域是________,值域是________.

答案:[-3,3],[-2,2] 15 .若函数 f(x) = (m - 2)x + (m - 1)x + 2 是偶函数,则 f(x) 的单调递增区间是 ________. 解析:本题主要考查二次函数的奇偶性、对称性及单调性.函数 f(x)=(m-2)x +(m -1)x+2 是偶函数,则函数的对称轴为 y 轴,所以 m-1=0,即 m=1,所以函数的解析式 为 f(x)=-x +2,所以函数 f(x)的单调递增区间是(-∞,0]. 答案:(-∞,0] 16.对任意的两个实数 a,b,定义 min(a,b)=? =3x,则 min(f(x),g(x))的最大值为________. 解析:
? ?a?a<b? ?b?a≥b? ?
2 2 2

,若 f(x)=4-x ,g(x)

2

本题主要考查新定义函数的最值的求法,可以借助函数的图象解答.f(x)-g(x)=4-

x2-3x,当 4-x2-3x=-(x-1)(x+4)≥0,即-4≤x≤1 时,f(x)≥g(x).当 4-x2-3x
=-(x-1)(x+4)<0,即 x>1 或 x<-4 时,f(x)<g(x),所以 min(f(x),g(x))=

4

?3x,-4≤x≤1 ? ? 2 ?4-x ,x>1或x<-4 ?

,作出大致图象如图所示,由图象可知函数的最大值在点 A

处取得,最大值为 f(1)=3. 答案:3 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)已知全集 U={x∈Z|-2<x<5},集合 A={-1,0,1,2},集合

B={1,2,3,4};
(1)求 A∩B,A∪B; (2)求(?UA)∩B,A∪(?UB). 解:(1)∵集合 A={-1,0,1,2},集合 B={1,2,3,4}, ∴A∩B={1,2},A∪B={-1,0,1,2,3,4}; (2)∵全集 U={x∈Z|-2<x<5}={-1,0,1,2,3,4}, 集合 A={-1,0,1,2},集合 B={1,2,3,4}, ∴?UA={3,4},?UB={-1,0} ∴(?UA)∩B={3,4},A∪(?UB)={-1,0,1,2}. 18.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= (1)求 f(1+x)+f(1-x)的值; (2)用函数单调性的定义证明函数 f(x)在(1,+∞)上是减函数. (1)解:f(1+x)+f(1-x) = = 1+x 1-x + 1+x-1 1-x-1 1+x 1-x - =2. (2 分) (4 分) (12 分) (6 分)

x

x-1

.

x

x

(2)证明:设 x1,x2 是(1,+∞)上的两个任意实数,且 x1<x2, (5 分) 则 f(x2)-f(x1)= = =

x2 x1 - x2-1 x1-1

(6 分)

x2?x1-1?-x1?x2-1? ?x1-1??x2-1? x1-x2 .(8 分) ?x1-1??x2-1?

x1-x2 因为 1<x1<x2,所以 x1-1>0,x2-1>0,x1-x2<0,所以 <0, ?x1-1??x2-1?
所以 f(x2)<f(x1). 所以 f(x)在(1,+∞)上是减函数.
2

(10 分) (12 分)

19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=|-x +3x-2|,试作出函数的图象,并指出它
5

的单调增区间(不需证明),求出函数在 x∈[-1,3]时的最大值.

解:图象如图所示

(3 分)

函数 f(x)=|-x +3x-2|的单调增区间为[1,1.5],[2,+∞).

2

(5 分)

?? 3?2 1? ∵f(x)=??x- ? - ?, ?? 2? 4?
1 又 x∈[1,2]时,f(x)max= ; 4 (7 分) (9 分)

x∈[-1,1]时,f(x)max=f(-1)=6; x∈[2,3]时,f(x)max=f(3)=2.(11 分)
∴函数 f(x)在 x∈[-1,3]时的最大值为 6
2

.(12 分)

20.(本小题满分 12 分)已知二次函数 f(x)=-x +2ax-a 在区间[0,1]上有最大值 2, 求实数 a 的值. 解:抛物线的对称轴为 x=a.(1 分) ①当 a<0 时,f(x)在[0,1]上递减, ∴f(0)=2,即-a=2,∴a=-2; ②当 a>1 时,f(x)在[0,1]上递增, ∴f(1)=2,即 a=3; (7 分)
6

(4 分)

③当 0≤a≤1 时,f(x)在[0,a]上递增,在[a,1]上递减, ∴f(a)=2,即 a -a=2,解得 a=2 或-1,与 0≤a≤1 矛盾. (11 分) 综上 a=-2 或 a=3. (12 分)
2

21.(本小题满分 12 分)某类产品按质量可分为 10 个档次,生产最低档次的产品,每件 利润 6 元,如果产品每提高一个档次,则利润增加 2 元,用同样的工时,最低档次每天生产 60 件,提高一个档次将少生产 4 件产品,问生产第几档次的产品,所获利润最大,最大是 多少? 解:设生产第 x 档次的产品利润为 y,由题意得, (2 分) (6 分)

y=[6+2(x-1)][60-4(x-1)]
=(2x+4)(64-4x) =-8x +112x+256 =-8(x-7) +648
2 2

(9 分)

x∈[1,10],x∈N+.
当 x=7 时,ymax=648, (11 分)

所以生产第 7 档次的产品,所获利润最大.最大是 648 元.(12 分) 22.(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=x+ 1

x+1



g(x)=ax+5-2a(a>0).
(1)判断函数 f(x)在[0,1]上的单调性,并用定义加以证明; (2)若对任意 m∈[0,1],总存在 m0∈[0,1],使得 g(m0)=f(m)成立,求实数 a 的取值范 围. 解:(1)函数 f(x)在[0,1]上单调递增. 证明如下: 设 0≤x1<x2≤1,则 f(x1)-f(x2) =x1+ 1 1 -x2- x1+1 x2+1 (1 分)

x2-x1 =(x1-x2)+ ?x1+1??x2+1?
= ?x1-x2??x1x2+x1+x2? . ?x1+1??x2+1? (4 分)

∵x1-x2<0,(x1+1)(x2+1)>0,(x1x2+x1+x2)>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), ∴函数 f(x)在[0,1]上单调递增. (6 分) (7 分) (8 分)

? 3? (2)由(1)知,当 m∈[0,1]时,f(m)∈?1, ?. ? 2?

7

∵a>0,g(x)=ax+5-2a 在[0,1]上单调递增, ∴m0∈[0,1]时,g(m0)∈[5-2a,5-a]. (10 分) (12 分)

? 3? 依题意,只需?1, ?? [5-2a,5-a] ? 2?
5-2a≤1, ? ? ∴? 3 5-a≥ , ? 2 ?

7 ? 7? 解得 2≤a≤ ,即实数 a 的取值范围?2, ?. (14 分) 2 ? 2?

8


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