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2015届高考数学(理)一轮复习单元测试(配最新高考+模拟)第七章不等式


2014 届高考数学(理)一轮复习单元测试 第七章不等式
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.)
1. (2013 广东深圳二模)设 0 ? a ? b ? 1 ,则下列不等式成立的是( ) 1 1 A. a 3 ? b3 B. ? C. a b ? 1 D. lg(b ? a) ? 0 a b 2、 (2013 年上海市春季高考数

学)如果 a ? b ? 0 ,那么下列不等式成立的是( )

1 1 ?? a b 3、 【云南省昆明三中 2013 届高三高考适应性月考(三)理】若直线 ax ? by ? 2 ? 0 (a>0,
A. B. ab ? b
2

1 1 ? a b

C. ?ab ? ?a

2

D. ?

b>0)被圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 截得的弦长为 4,则
A.

1 1 ? 的最小值为( a b 3 ?2 2 2



1 4

B.

2

C.

3 ? 2 2

D.

4、 ( 2013 年高考安徽数学理) 已知一元二次不等式 f (x)<0 的解集为 ? x |x <-1或x >

1 2

? ,则
( )

f (10x )>0 的解集为
A. ?x |x<-1或x>lg2 C. ?x |x>-lg2

?

B. ?x |-1<x<lg2 D. ?x |x<-lg2

?

?

?
( )

? y ? 2x ? 5、 (2013 年高考湖南卷(理) )若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 , 则x ? 2 y的最大值是 ? y ? ?1 ?
A. -

5 2

B. 0

C.

5 3

D.

5 2

? x ? y ? 2, ? 6、 【天津市新华中学 2013 届高三第三次月考理】 已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 2, 则 ?0 ? y ? 3, ?
z ? 2 x ? y 的最小值是(
A. 7 B. -5 ) C. 4 D. -7

7、 【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(四)理】如果实数 x, y 满足不等式组

? x ? 1, ? 2 2 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 x ? y 的最小值是 ? 2 x ? y ? 2 ? 0, ?
A.25 B.5 C.4 D.1

8、已知点 A(m, n) 在直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 上,则 2 m ? 4 n 的最小值为( ) A.4 B.5 C.6 D.8

9、某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、 B 原料 2 千 克;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克, B 原料 1 千克.每桶甲产品的利润是 300 元,每 桶乙产品的利润是 400 元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗 A 、 B 原料 都不超过 12 千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、 乙两种产品中,公司共可获 得的最大利润是 ( ) A.1800 元 B.2400 元 C.2800 元 D.3100 元 10、 (2013 届上海静安、 杨浦、 青浦、 宝山区二模) 若直线 ax ? by ? 2 经过点 M (cos? , sin ? ) , 则 …………………………( (A) a 2 ? b 2 ? 4 . )

(B) a 2 ? b 2 ? 4 . (C)

11.制作一个面积为 1 m2,形状为直角三角形的铁架框,有下列四种长度的铁管供选择, 较经济的(够用,又耗材最少)是( ) A.4.6 m B.4.8 m C.5 m D.5.2 m 12 . 设 a, b, c, x, y, z 是 正 数 , 且 a 2 ? b2 ? c 2 ? 10 , x2 ? y 2 ? z 2 ? 40 , ax ? by ? cz ? 20 , 则

1 1 1 1 ? 2 ? 4 . (D) 2 ? 2 ? 4 . 2 a b a b

a?b?c ? x? y?z
A.

( B.



1 4

1 3

C.

1 2

D.

3 4

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上)
13、 (2013 年高考广东省数学理)不等式 x ? x ? 2 ? 0 的解集为___________.
2

14. 【北京市通州区 2013 届高三上学期期末理】若 x ? 1 ? 0 ,则 x ?

1 的最小值为 x ?1
2



15、 (2013 届上海虹口区二模)对于 x ? R ,不等式 2 ? x ? 1 ? x ? a ? 2a 恒成立,则

实数 a 的取值范围是



16(2013 湖南)已知 a, b, c ?, a ? 2b ? 3c ? 6, 则a 2 ? 4b 2 ? 9c 2的最小值为

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)

17.(本小题满分 12 分) 【天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理】 已知函数 f (x)=x +2x+a(共 10 分) (1)当 a=
2

1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (4 分) 2

(2)若对于任意 x∈[1,+ ? ) ,f(x)>0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (6 分)

18、(本小题满分 10 分) (2013 届上海徐汇、松江、金山区二模)某轮船公司的一艘轮船每

小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比,比例系数为 k .轮船的 最大速度为 15 海里/小时.当船速为 10 海里/小时,它的燃料费是每小时 96 元,其余航行运 作费用(不论速度如何)总计是每小时 150 元.假定运行过程中轮船以速度 v 匀速航行. (1)求 k 的值; (2)求该轮船航行 100 海里的总费用 W (燃料费+航行运作费用)的最小值.

19.(本小题满分 12 分) (2013 年高考上海卷(理) )甲厂以 x

千克/小时的速度运输生产

某种产品(生产条件要求 1 ? x ? 10 ),每小时可获得利润是 100(5 x ? 1 ? ) 元. (1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元,求 x 的取值范围; (2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最 大利润.

3 x

20 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 【 2012 唐 山 市 高 三 上 学 期 期 末 统 一 考 试 】 已 知

f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1|, 不等式f ( x) ? 4 的解集为 M。
(1)求 M; (2)当 a, b ? M 时,证明: 2 | a ? b |?| 4 ? ab | .

21. (本小题满分 12 分) 、 已知集合 P ? ? ,2? , 函数 y ? log2 ax ? 2 x ? 2 的定义域为 Q ?2 ?
2

?1 ?

?

?

(1)若 P ? Q ? ? ,求实数 a 的取值范围。 (2)若方程 log2 ax2 ? 2 x ? 2 ? 2 在 ? ,2? 内有解,求实数 a 的取值范围。 2

?

?

?1 ? ? ?

22.(本小题满分 12 分) (2013 届北京市延庆县一模数学理) A 是由定义在 [ 2,4] 上且满 足如下条件的函数 ? ( x) 组成的集合: (1)对任意 x ? [1,2] ,都有 ? (2 x) ? (1,2) ; (2)存在常数 L(0 ? L ? 1) ,使得对任意的 x1 , x 2 ? [1,2] ,都有 | ? (2 x1 ) ? ? (2 x2 ) |

? L | x1 ? x2 | .
(Ⅰ)设 ? ( x) ? 3 1 ? x , x ? [2,4] ,证明: ? ( x) ? A ; (Ⅱ)设 ? ( x) ? A ,如果存在 x0 ? (1,2) ,使得 x0 ? ? (2 x0 ) ,那么这样的 x0 是唯一的; (Ⅲ)设 ? ( x) ? A ,任取 xn ? (1,2) ,令 x n ?1 ? ? (2 x n ), n ? 1,2,? ? ?, 证明:给定正整数 k , 对任意的正整数 p ,不等式 | xk ? p ? xk |?

Lk ?1 | x2 ? x1 | 成立. 1? L

参考答案
一、选择题 1、D 2、D

3、 【答案】C
2 2 【解析】圆的标准方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 4 ,所以圆心坐标为 (?1, 2) ,半径为 r ? 2 .

因为直线被圆截得的弦长为 4,所以线长为直径,即直线 ax ? by ? 2 ? 0 过圆心,所以

?a ? 2b ? 2 ? 0





a ? 2b ? 2







a ?b ?1 2







b a 1 1 1 1 a 1 b a 3 1 3 , 即 ? ? ( ? )( ? b) ? ? 1 ? ? ? ?2 ? ? 2 ,当且仅当 ? a 2b a b a b 2 2 a 2b 2 2 2 1 1 3 a 2 ? 2b2 , a ? 2b 时取等号,所以 ? 的最小值为 ? 2 ,选 C. a b 2
4、D

5、C 6、 【答案】B

【解析】

由 z ? 2 x ? y 得, y ? 2x ? z ,做直线 y ? 2 x ,平移直线

y ? 2 x ? z ,由图象 可知当直线 y ? 2 x ? z 经过点 B 时,直线的截距最大,此时 z ? 2 x ? y 最
小,由 ? B. 7、 【答案】B
? x ≥ 1, ? 【解析】在直角坐标系中画出不等式组 ? x ? y ? 1 ≤ 0, 所表示的平面区域如图 1 所示的阴 ?2 x ? y ? 2 ≤ 0 ?

?x ? y ? 2 ? x ? ?1 得, ? ,代入 z ? 2 x ? y 得最小值 z ? 2 x ? y ? ?2 ? 3 ? ?5 ,所以选 ?y ? 3 ?y ? 3

影部分,x +y 的最小值即表示阴影部分(包含边界)中的点到原点的距离的最小值的平 方, 由图可知直线 x?y+1=0 与直线 x=1 的交点(1, 2)到原点最近, 故 x +y 的最小值为 1 +2 =5.
2 2 2 2

2

2

选 B. 8、 【答案】A 【解析】因 m ? 2n ? 2 ,所以 2m ? 4n ? 2m ? 22n ? 2 2m22n ? 2 22 ? 4 (取等条件当且 仅当 m ? 1, n ?

1 ) 。 2

9、 【答案】C [解析]设公司每天生产甲种产品 X 桶,乙种产品 Y 桶,公司共可获得 利润为 Z 元/天,则 由已知,得 Z=300X+400Y

? X ? 2Y ? 12 ?2 X ? Y ? 12 ? 且? ?X ? 0 ? ?Y ? 0
画可行域如图所示, 目标函数 Z=300X+400Y 可变形为 Y= ?

3 z x? 4 400

这是随 Z 变化的一族平行直线

解方程组 ? 10、B 11、答案 C

?2x ? y ? 12 ?x ? 2y ? 12

?x ? 4 即 A(4,4) ? Z max ? 1200? 1600? 2800 ?? ?y ? 4

2 解析 令一直角边长为 a,则另一直角边长为 ,斜边长为 a 4 2 a2+ 2≥2 2+2>4.8,当且 a= 时取等号. a a 12、答案 C 解析:由于 (a2 ? b2 ? c )(x2 ? y 2 ? z 2 ) ? (ax ? by ? cz)2 等号成立当且仅当
2

4 2 a2+ 2,周长 l=a+ + a a

a b c ? ? ? t , 则 a=t x b=t y c=t z , t 2 ( x 2 ? y 2 ? z 2 ) ? 10 x y z

所以由题知 t ? 1 / 2 , 又 二、填空题 13、 (-2,1) 14、 【答案】 1 【解析】由 x ? 得 x?

a b c a?b?c a?b?c ? ? ? , 所以 ? t ? 1 / 2 ,答案选 C. x y z x? y?z x? y?z

1 1 1 ? x ?1? ? 1 得,因为 x ? 1 ? 0 ,所以 ? 0 ,根据均值定理 x ?1 x ?1 x ?1

1 1 1 1 ,即 ? x ?1? ? 1 ? 2 ( x ? 1) ? ?1 ? 1 , 当 且 仅 当 x ? 1 ? x ?1 x ?1 x ?1 x ?1
1 的最小值为 1. x ?1

( x ? 12) ? ,即 1 x ? 1 ? 1, x ? 0 时取等号,所以 x ?
15、 [? 1,

3]

16、 【答案】 12
【解析】
2 (12 ? 12 ? 12 ) ? (a 2 ? (2b) 2 ? (3c) 2 ) ? ( 1 ? a ? 1 ? 2b ? 1 ? 3c) ? 36 ? a 2 ? 4b 2 ? 9c 2 ? 12

2 且当a ? 2, b ? 1, c ? 时,取最小值 . 3
三、解答题 17、 (1)x +2x+
2 2

1 >1 2

x +2x-

2

1 >0 2

2 x +4x-1>0

{x|x>-1+
2

6 6 或 x<-1} 2 2
? x∈[1,+ ? )恒有 a>-x 2 -2x

(2)x +2x+a>0 令 g(x)=-x -2x 当对称轴 x=-1
2

当 x=1 时,g max (x)=-3 ∴a>-3

? kv2 , 把 v =10, W1 ? 96 代入得 k ? 0.96 .
18、解: (1)由题意得燃料费 W1
2 (2) W ? 0.96v ?

100 100 ?150 ? , v v 15000 ? 2 1440000 ? 2400 , = 96v ? v

其中等号当且仅当 96v ?

15000 15000 时成立,解得 v ? ? 12.5 ? 15 , v 96 所以,该轮船航行 100 海里的总费用 W 的最小值为 2400(元).

19、(1)根据题意, 200(5 x ? 1 ? ) ? 3000 ? 5 x ? 14 ?

3 3 ?0 x x 又 1 ? x ? 10 ,可解得 3 ? x ? 10 900 3 1 1 61 ?100(5 x ? 1 ? ) ? 9 ?104 [?3( ? ) 2 ? ] (2)设利润为 y 元,则 y ? x x x 6 12
故 x ? 6 时, ymax ? 457500 元.

? ?-2x,x<-1, 20.解: (Ⅰ)f(x)=|x+1|+|x-1|=?2,-1≤x≤1, ? ?2x,x>1.
当 x<-1 时,由-2x<4,得-2<x<-1; 当-1≤x≤1 时,f(x)=2<4;

当 x>1 时,由 2x<4,得 1<x<2. 所以 M=(-2,2). (Ⅱ)当 a,b∈M 即-2<a,b<2, ∵4(a+b)2-(4+ab)2=4(a2+2ab+b2)-(16+8ab+a2b2)=(a2-4)(4-b2)<0, ∴4(a+b)2<(4+ab)2, ∴2|a+b|<|4+ab|.
2 21、解: (1)若 P ? Q ? ? ,? ax ? 2 x ? 2 ? 0 在 ? ,2? 内有有解? a ? ? 2 ? x x ?2 ?

?1 ?

2

2

2 2 1 ?1 1? 令 u ? ? 2 ? ? ?2? ? ? ? x 2 x ? x 2?

2

当 x ? ? ,2? 时, u ? ?? 4, ? 2 2

?1 ? ? ?

? ?

1? ?

所以 a>-4,所以 a 的取值范围是 a a ? ?4

?

?
2

2 (2)方程 log2 ax ? 2 x ? 2 ? 2 在 ? ,2? 内有解, 则 ax ? 2 x ? 2 ? 0 在 ? ,2? 内有解。 2 2

?

?

?1 ? ? ?

?1 ? ? ?

2 2 ?1 1? 1 ? a ? 2 ? ? 2? ? ? ? x x ? x 2? 2
当 x ? ? ,2? 时, a ? ? ,12? 2 2 所以 a ? ? ,12? 时, log2 ax ? 2 x ? 2 ? 2 在 ? ,2? 内有解 2 2
2

2

?1 ? ? ? ?3 ?

?3 ?

? ?

? ?

?

?

?1 ? ? ?

22、.解:(Ⅰ)对任意 x ? [1,2] , ? (2 x) ? 3 1 ? 2 x , x ? [1,2] ,
3

3 ? ? (2 x) ? 3 5 , 1 ? 3 3 ? 3 5 ? 2 ,所以 ? (2 x) ? (1,2) .

对任意的 x1 , x 2 ? [1,2] ,

| ? (2 x1 ) ? ? (2 x 2 ) |?| x1 ? x 2 |

2
3

?1 ? 2 x1 ?2

? 3 ?1 ? 2 x1 ??1 ? x 2 ? ? 3 ?1 ? x 2 ?

2



3?

3

?1 ? 2 x1 ?2
3

? 3 ?1 ? 2 x1 ??1 ? x2 ? ? 3 ?1 ? x2 ? ,
2
2

所以 0<

?1 ? 2 x1 ?
2

? 3 ?1 ? 2 x1 ??1 ? x2 ? ? 3 ?1 ? x2 ? 2
2

2

?

2 , 3


3

?1 ? 2 x1 ?

?

3

?1 ? 2 x1 ??1 ? x2 ? ? ?1 ? x2 ?
3

= L , 0 ? L ? 1,

| ? (2 x1 ) ? ? (2 x 2 ) |? L | x1 ? x 2 | ,所以 ? ( x) ? A .

………5 分

? ? (1,2), x0 ? x0 ? 使得 x0 ? ? (2 x0 ) , x0 ? ? ? (2 x0 ? )则 (Ⅱ)反证法:设存在两个 x0 , x0
由 | ? ( 2 x 0 ) ? ? ( 2 x 0 ) |? L | x 0 ? x 0 | , 得 | x 0 ? x 0 |? L | x 0 ? x 0 | , 所 以
/ /

/

/

L ? 1 ,矛盾,故结论成立.
(Ⅲ) x3 ? x 2 ?

………8 分

? (2 x 2 ) ? ? (2 x1 ) ? L x 2 ? x1 ,

所以 | xn ?1 ? xn |?| ? (2 xn ) ? ? (2 xn ?1 |

? L | xn ? xn?1 | ? L2 | xn?1 ? xn?2 |

…… ? L

n ?1

| x2 ? x1 |

| xk ? p ? xk |?| ( xk ? p ? xk ? p ?1 ) ? ( xk ? p ?1 ? xk ? p ?2 ) ? …… ? ( xk ?1 ? xk ) |
? x k ? p ? x k ? p ?1 ? x k ? p ?1 ? x k ? p ? 2 ? ? x k ?1 ? x k

? Lk ? p ? 2 x 2 ? x1 ? Lk ? p ?3 x 2 ? x1 +…+ Lk ?1 x 2 ? x1
? Lk ?1 (1 ? Lp ) Lk ?1 | x2 ? x1 | ? | x2 ? x1 | . 1? L 1? L
………13 分


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