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高一数学


§2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算

平方根 如果 x3=a, 1. 如果 x2=a, 那么 x 叫做 a 的________; 立方根 那么 x 叫做 a 的_________,它们有如下运算性质: ?a, a≥0 ? 2 a (1) a =|a|=? ;(2)( a)2=__ (a≥0); ?-a, a<0 ? a a (

3) a =___;(4)( a)3=___.
3
3

3

2.初中学习过的整数指数幂a (n∈N*)表示的意义为 n n个a相乘,即a· a·…·a=a (n∈N*); a·
n个a 正整数指数幂具有以下性质: (1)am· n=______ (m,n∈N*); a am+n (2)(am)n=_____ (m,n∈N*); am n a nb n (3)(ab)n=_____ (n∈N*).

n

新课
1.方根 xn=a (1)方根的定义:如果________,那么 x 叫做 a 的 n 次 n>1,且n∈N* 方根,其中_______________. n 0=0 0 记作______; (2)方根的性质: 的任何次方根都是__, ①0 n a ②当 n 是奇数时,实数 a 的 n 次方根,记作_____,并 n n a>0 a<0 且有 a>0 时,______;a<0 时,________; 两个 ③当 n 是偶数时,正数 a 的 n 次方根有______,它 n 相反数 a 们互为________;其中正的 n 次方根用符号____表 n - a 示;负的 n 次方根用符号______表示.因此,正数 n ± a(a>0) a 的偶次方根合并写成____________;

偶次 ④负数没有______方根.

n 2.根式: (1)根式的定义:式子_____叫做根式, a 根指数 被开方数. 这里 n 叫做________,a 叫做____________

a (2)根式的性质:①( a)n=___ (n>1,且 n∈N*); a ②当 n 为奇数时, a =___;
当 n 为偶数时, 3.分数指数幂
*

n

n

n

n

?a<0? m n m a (1)正数的正分数指数幂的意义是: n = ______(a>0, a m,
n∈N ,且 n>1). (2)正数的负分数指数幂的意义是:a


?a, ? n a =|a|=? ?-a, ?

?a≥0? .

1
m

m n =______

n

a

(a>0,

m,n∈N*,且 n>1). 没有意义. 0 (3)0 的正分数指数幂是__,0 的负分数指数幂__________

问题 1.根式一定是无理式吗?
提示:根式不一定为无理式,如 a+1为无 2 理式,而 ?x+1? =|x+1|为有理式.
2.a8=a2成立吗?
4 1

提示: 不一定.当 a≥0 时,a8=a2成立;当 a<0 时, a 8有意义,而 a2无意义,a8=a2不成立,故分数指数 幂不能随便约分.
4 1 4 1

4

1

例1.

根式的化简与求值

【思路点拨】 解答本题可 依据根式的性质 n
?|a| n为大于1的偶数 ? a =? ?a n为大于1的奇数 ?
n

化简下列各式: (1) (3) 5 4 ?-2? ;(2)
5
4

6



?3-π?6; 7
7

完成化简.

?x+2? ;(4) ?x-7? . 5 【解】 (1) ?-2?5=-2.
?3-π? = ?π-3?6=π-3. ?x+2 ?x≥-2? 4 ? 4 (3) ?x+2? =|x+2|=? . ?-x-2 ?x<-2? ? (2)
6

6

6

(4)

7

?x-7? 7=x-7.

§2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算 习题课

复习:有理指数幂运算性质.
a
m

?a
m n

n

? a ? a

m?n

(m , n ? Q )

(a ) ( ab )
a a
m n

mn

(m , n ? Q )
n

n

? a ? b (n ? Q )
n
m?n

? a

(m , n ? Q )

例1.根式与分数指数幂的转化与应用 3 (1)化简: xy2 · xy- 1 · xy· - 1(x>0,y>0) (xy) 0 1 2 ?-4? 1 (2)计算:2-2 + + - ?1- 5?0 ·3 . 8 2 2-1
【解】 =1 (2)原式= 1 2 + 1 2 + 2+1-2 =2 2-3.
2

(1)原式=[xy · (xy )2 ] 3· 2 · (xy) (xy)

2

-1

1 1

1

-1

【名师点拨】 根式化为分数指数幂时,从 里向外,依次转化.

3 2 -3 练习 1 化简:(a2· b ) ÷
1 2
-3

1

b
-4

-4

a (a,b>0).
1 1

-2

解:原式=(a2·3) ÷ (a )2]2 b [b =a 2· ÷ · 2) b (b a =a
- + -

-2

3

-2

-2



1

3 1 2

b 2·
0

- 2+ 2

1 =a · = . b a
-1

练习2:利用分数指数幂的形式表示下列各式 (其中a >0).
(1)
(2)

a

a a 2 a
a
3

?
. ?
2

8
6

a .
a .
?8 3 ?4 ?4

7

5

a

(3)

3

(?

3a
9

?3 3

)

4

3
?3

a b
9 4

27b

(4)

a

2 4

b

a b

?

3 8

.

注意:结果可以用根式表示,也可以用分数指数 幂表示.但同一结果中不能既有根式又有分数 指数幂,并且分母中不能含有负分数指数幂.

m

分数指数幂 a
(1) [( 8 )
3

n

的求值.
3 2 9 2

例2.计算下列各式(式中字母都是正数).
? 2 3

? ( 10 ) ] ?
3

10 . ?

5

2 . 2

8 1 ) ? 4 ? [( ? 3 ) ? 2 ] 2 (2) ( 625

? 124 . 27

已知 a2+a 2=3,求下列各式的值:(1)a+a 1;(2)a2+a 2;
3

例4.关于指数幂的条件 1 1


求值
- -

a2-a
(3)
1

3 - 2

【思路点拨】 解答本题可从总体上寻求各式
. 与条件 a2+a 2的联系,进而整体代入求值.
1


1

a2-a 【解】

1 - 2

(1)将 a2+a 2=3 两边平方,得 a+a 1+2=9,
-1

1



1



即 a+a =7. -2 -2 2 2 (2)将上式两边平方,有 a +a +2=49,所以 a +a =47. (3)由于 a2-a 2=(a2) -(a 2) ,
3

3



3

1

3



1

3

?a2-a ??a+a +a2·a ? -1 =a+a +1=8. 1 1= 1 1 a2-a-2 a2-a-2

a2-a

3 - 2

1

1 - 2

1 -1

1 - 2

练习3: 若将例题中的条件改为已知a2+a-2=3, 怎样求a+a-1及a3+a-3的值?
解:∵a2+a 2=3,∴(a+a 1)2-2=3, -1 2 -1 ∴(a+a ) =5,∴a+a =± 5. - - - a3+a 3=(a+a 1)(a2-1+a 2) =± 5×(3-1)=± 5. 2
- -

例5.求值:

5?2 6 ?

7?4 3 ?

6?4 2.

解:原 式 ? ( 3 ? 2 ) 2 ? ( 2 ? 3 ) 2 ? ( 2 ? 2 )2
?| 3? 2 |? |2?
2 ) ? (2 ?

3 |? |2?
3 ) ? (2 ?

2|
2)

?( 3?

?

3?

2 ? 2?

3 ?2?

2

? 2 2.

例6.计算

(e ? e

?1

) ?4 ?
2

(e ? e ) ? 4.
2

?1

) ? 4.
2

解: (e ? e ? 1 ) 2 ? 4 ?
? ? e ?e
2 2 ?2 ?2

(e ? e

?1

? 2e e ?2?

1 ?1

?4? e ?e
2

e ?e
2 ?2

?2

? 2e e

1 ?1

?4

e ?e

?2

?

(e ? e ) ?
?1 ?1

?1 2

(e ? e )
?1 ?1

?1 2

?| e ? e

|? |e? e

|

? (e ? e ) ? (e ? e )

? 2e.

例7:求使不等式 成立的 x 的范围。
解 : ?
2

( x ? 2 )( x ? 4 ) ? ( x ? 2 )
2

x?2

( x ? 2 )( x ? 4 ) ?

( x ? 2)

2

? x ? 2?

? x?2

x ? 2.

? x ? 2 ? 0, 则有 x ? 2 ? 0 , 或 ? ? | x ? 2 |? x ? 2 . ? x ? ?2, ? x ? ?2, 或 ? 即 x ? ? 2, 或 x ≥ 2. ? x ? 2 ≥ 0.

所以x的取值范围是 x ? ?2, 或x ≥ 2.

方法技巧 1.解决根式的化简问题,首先要先分清根式为 奇次根式还是偶次根式,然后运用根式性质进行 化简. 2.为使开偶次方后不出现符号错误,第一步先 用绝对值表示开方的结果,第二步再去掉绝对值 符号化简,化简时要结合条件或分类讨论. 3.一般地,进行指数幂运算时,化负指数为正 指数、化根式为分数指数幂、化小数为分数运 算.同时还要注意运算顺序.

注意: (1)对于多重根式的化简,要搞清被开方数,由里 向外用分数指数幂写出,然后用性质进行化简. (2)在应用分数指数幂的定义时,必须特别注意该 定义的应用范围(即定义的条件): ①底数 a 必须是正实数,即 a>0;
m

②a n 及 a



m n 中的

m,n 均为正整数且 n>1.


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