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2016新课标高考压轴卷数学解析


2016 新课标高考压轴卷 理科数学解析
一、选择题 1、已知集合 M ? {1, 2,3, 4},则集合 P ? {x | x ? M, 且2 x ? M} 的子集个数为( A.8 答案:B 解析: P ? {3, 4} ,有 2 个元素,子集个数为 2n ? 4 个 2、复数 z1,z2 在复平面内对应的点关于直线 y=x 对称,且 z1 ? 3 ? 2i ,则 z

1 ? z2 ? ( A.13i 答案:A 解析:依题意 z2 ? 2 ? 3i B.-13i C.13+12i D.12+13i ) B.4 C. 3 D.2 )

z1 ? z2 ? (3 ? 2i)(2 ? 3i) ? 9i? 4i ? 13i
3、甲乙两人要在一排 8 个空座上就坐,若要求甲乙两人每人的两旁都空座,则有多少种坐法 ( ) B.16 C.20 D.24

A.10 答案:C

解析:考查插空法,8 个位置 6 个空档,6 中选 3 4、 已知公差不为 0 的等差数列 ?an ? 满足 a1 , a3 , a4 成等比数列, 若 Sn 表示前 n 项和, 则 A.-2 答案:C
2 解析:若首项为 a,则 a3 ? a1a4 ? (a ? 2d )2 ? a(a ? 3d ) ? a ? 4d ? 0

S3 ? S 2 ? S5 ? S3

B.-3

C.2

D.3

S3 ? S 2 a3 a ? 2d ? ? 消元得 2 S5 ? S3 a5 ? a4 2a ? 7d

5、过椭圆

x2 y 2 ? ? 1, (a ? b ? 0) 的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2 为右焦点,若 a 2 b2
1

?F1PF2 ? 60? ,则椭圆的离心率为(
A.1/2 答案:D 解析: PF1 ? PF2 ? 2a且PF2 ? 2PF1
b2 b2 2 故 3 ? 2a ? 2 ? 1 ? e 2 ? a a 3

) D. 3 / 3

B. 2 / 2

C.3/1

6、中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前 344 年商鞅督造的一种标准量器——商鞅 铜方升,其三视图如图所示,若π 取 3,其体积为 12.6,则图中的 x 为( A.1.2 答案:B 解析:圆柱与长方体的组合
3(5.4 ? x) ?



B.1.6

C.1.8

D.2.4

?
4

x ? 12.6 ? x ? 1.6

7、按右图所示的程序框图,若输入 a=110011,则输出的 b=( A.45 答案:D 解析:二进制转化为十进制 也可以先转为&H33,再转为 16×3+3=51 B.47 C.49 D.51



? 2? 8、函数 y ? sin(2 x ? )与y ? cos(2 x ? ) 的图像关于 x=a 对称,则 a 可能是 3 3 ? ? ? 11? A. B. C. D. 24 12 24 8
答案:A 解析:若 f ( x) ? f (2a ? x) 则 f(x)关于 x=a 对称 代入并使用诱导公式即可 9、 已知函数 f ( x) ? 2016 x ? log 2016 ( x 2 ? 1 ? x) ? 2016 ? x ? 2 , 则关于 x 的不等式 f (3x ? 1) ? f ( x) ? 4 的解集为( )
1 B. (??, ? ) 4

1 A. (? , ??) 4

C. (0, ??)

D. (??, 0)

答案:A

2

解析:奇函数 g ( x) ? 2016 x ? 2016? x ? log 2016 ( x 2 ? 1 ? x) 单调递增 因此 g (3x ? 1) ? g ( x) ? 0 ? 3x ? 1 ? ? x
?2 x ? y ? 6 ? 0 ? 10、 已知实数 x,y 满足 ? x ? y ? 0 , 若目标函数 z=-mx+y 的最大值为-2m+10, 最小值为-2m-2 ?x ? 2 ?

则实数 m 的取值范围是 A.[-2,1] 答案:C 解析:三点试代法 交点 目标函数 (2,10) -2m+10 最大值 (2,-2) -2m-2 最小值 (-2,2) 2m+2 B.[-1,3] C.[-1,2] D.[2,3]

故有 ?2m ? 2 ? 2m ? 2 ? ?2m ? 10 11、过双曲线 x 2 ?
y2 ? 1的右支上一点 P,分别向圆 ( x ? 4)2 ? y 2 ? 4,( x ? 4)2 ? y2 ? 1 作切线,切 15

点分别为 M,N,则 PM 2 ? PN 2 的最小值为( A.10 答案:B B.13 C.16 D.19



解析: PM 2 ? PN 2 ? (PF12 ? 4) ? (PF22 ?1) ? (PF1 ? PF2 )(PF1 ? PF2 ) ? 3 根据定义知 PF1 ? PF ? 2a

PF1 ? PF2 的最小值为焦距 2c=8
因此题目所求为 2×8-3=13 12、 已知函数 f ( x) ? x ? e x / a 存在单调递减区间, 且 y ? f ( x) 的图像在 x=0 处的切线与曲线 y ? ex 相切,符合情况的切线有( A.3 条 答案:D
1 解析:导函数 f '( x) ? 1 ? e x / a a

) C.1 条 D.不存在

B.2 条

当 a<0 时, f '( x) ? 0 无单调递减区间

3

当 a>0 时函数存在极值 f (a ln a)
f (0) ? ?1 , f '(0) ? 1 ?
1 1 ,故切线 y ? (1 ? ) x ? 1 a a

设直线与 y ? ex 的切点为 M ( x0 , y0 ) ,则

?e x0 ? 1 ? 1/ a ? 消元得 ex0 ? ex0 x0 ?1 ? x0 1 ?e ? (1 ? ) x0 ? 1 a ?
令 h( x) ? e x x ? e x ?1 , h '( x) ? e x x
h(??) ? ?1, h(0) ? ?2, h(??) ? ??

由零点分析可知零点 x0 ? (0, ??) ,故 e x0 ? 1 ? 二、填空题

1 ?1? a ? 0 a

? a 13、已知 a ? ? sin xdx ,则 (1 ? )5 展开式中 x ?3 的系数为___ 0 x

答案:-80 解析:定积分 a=2, C52 ( 14 、 F1,F2 分别为椭圆
OC ? ?2 3 ) ? ?80 x ?3 x
1 x2 y 2 ? ? 1 的左右焦点, A 为椭圆上一点,且 OB ? (OA ? OF1 ) , 2 36 27

1 (OA ? OF2 ) ,则 | OB | ? | OC |? ___ 2

答案:6 解析:考查向量不等式
| OA |?| OB ? OC |?| OB | ? | OC |

15、过球 O 表面上一点 A 引三条长度相等的弦 AB,AC,AD,且两两夹角都是 60?,若球半径 为 R,求弦 AB 的长度为___ 答案:
2 6 R 3

解析:考查正四面体的性质 外接球半径 R ?
6 2 6 AB ,故 AB ? R 4 3

4

x ? an |x, ? a[n a,n?1 n ], ? N ,满 * 足: 16 、 设 数 列 {an } 是首项为 0 的递增数列, f n ( x ) ? | s i n n

?b ?[0,1),fn ( x ) ? b总有两个不同的根,则 {an } 的通项公式为___
解析:考查推演能力

f1 ( x) ?| sin x |, x ?[0, a2 ] ,故 a2 ? ?
x f 2 ( x) ?| cos |, x ? [? , a3 ] ,故 a3 ? 3? 2 x f3 ( x) ?| sin |, x ? [3? , a4 ] ,故 a4 ? 6? 3

依次类推, an?1 ? an ? n? ,累加法求通项得
n(n ? 1) ? 2 三、解答题 an ?

17、如图,点 P 在△ABC 内,AB=CP=2,BC=3, ?P ? ?B ? ? , ?B ? ? . (1)试用 α 表示 AP 的长; (2)求四边形 ABCP 的面积最大值,并写出此时 α 取值。 解析:由余弦定理得 AC 2 ? 4 ? 9 ? 2 ? 6cos ? ? 13 ? 12cos ?

AP2 ? 4 ? 4 AP cos(? ? ? ) ? AC 2 整理得 AP2 ? 4 AP cos ? ? 3(3 ? 4cos ? ) ? 0
故 AP ? 3 ? 4cos ? , ? ? (0, ? ) ,舍去-3

S ? S?ABC ? S?APC ? 3sin ? ? (3 ? 4cos ? )sin(? ? ? ) ? 2sin 2?
四边形面积最大值为 2,此时 sin 2? ? 1 ? ? ?

?
4

18、近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇,2015 年双 11 期间,某购物平台的销售 业绩高达 918 亿人民币,与此同时,相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系。 现从评价系统中选出 200 次成功交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为 0.6,对服务 的好评率为 0.75,其中对商品和服务均好评的交易为 80 次。 (I)是否可以在犯错概率不超过 0.1%的前提下,认为商品好评和服务好评有关? (II)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的 5 次购物中,设对商品和服务全好评的 次数为随机变量 X: (1)求对商品和服务全好评的次数 X 的分布列; (2)求 X 的数学期望和方差。
5

解析:依题意得商品和服务评价的 2×2 列联表(特殊) 服务好评 商品好评 商品差评 合计
K2 ?

服务差评 40 10 50

合计 120 80 200

80 70 150

200 ? (800 ? 2800) 2 100 ? ? 10.8 有 99.9%把握 7500 ? 9600 9

每次购物对商品和服务都好评的概率为 80/200=2/5
2 3 6 随机变量 X~B(5,2/5),因此 EX ? np ? 2 , DX ? np (1 ? p ) ? 5 ? ? ? 5 5 5 3 1 2 3 4 5 2 5 P(X ? 0) ? C50 ( )5 P(X ? 1) ? C5 ( ) P(X ? 5) ? C5 ( ) 5 5 5 5 2 3 2 3 2 3 3 P (X ? 2) ? C52 ( ) 2 ( )3 P (X ? 3) ? C5 ( )3 ( ) 2 P (X ? 4) ? C54 ( ) 4 5 5 5 5 5 5

分布列略 19 、如图,在四棱锥 P-ABCD 中, PC ⊥底面 ABCD ,ABCD 是直角梯形, AB⊥ AD,AB⊥ CD,AB=2AD=2CD=2,E 为 PB 的中点. (1)求证:平面 EAC⊥平面 PBC; (2)若二面角 P-AC-E 的余弦值为 1/ 3 , 求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值。 解析: (1)PC⊥底面 ABCD 上的 AC 边 直角梯形 ABCD 中 AC ? BC ? 2, AB ? 2 ? AC ? BC 综上,AC⊥平面 PBC,故经过 AC 的平面 EAC⊥平面 PBC (2)以 C 为原点建系,设 CD 为 x 轴,CP 为 z 轴,且 CP=a,则
1 1 a P(0, 0, a), B(?1,1, 0), E( ? , , ), A(1,1, 0) 2 2 2

由(1)知 BC 是平面 PAC 的一个法向量 设平面 EAC 的法向量为 m,则

?m ? EC ? 0 ? x ? y ? az 2 解得 m ? (1, ?1, ) ?? ? a ?m ? AC ? 0 ? x ? y ? 0

6

cos ? BC , m ??

2 2 2?4/ a
2

?

1 ,解得 a=1,则 PA ? (1,1, ?1), m ? (1, ?1, 2) 3

| cos ? PA, m ?|?

2 2 即为所求夹角正弦 ? 3 3 2?4

20、 已知抛物线 x2 ? 2 py, p ? 0 , 过其焦点作斜率为 1 的直线交抛物线于 M,N 两点, 且 MN=16。 (1)求抛物线的标准方程; (2) 已知动圆 P 的圆心在抛物线上, 且过定点 D(0,4), 若动圆 P 与 x 轴交于 A,B 两点, 且 DA<DB, 求 DA / DB 的最小值。 解析:抛物线焦点弦长 因此 x2 ? 8 y
2 设 P( x0 , y0 ), A( x1,0), B( x2 ,0) ,则 x0 ? 8 y0 2 圆的方程 ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? x0 ? (4 ? y0 )2

2p ? ? 16, ? ? ? p ? 4 2 sin ? 4

令 y=0,整理得 ( x ? x0 )2 ? 16 解得 x1 ? x0 ? 4, x2 ? x0 ? 4
( x0 ? 4) 2 ? 16 16 x0 DA ? ? 1? 2 2 DB ( x0 ? 4) ? 16 x0 ? 8 x0 ? 32

依题意知 x0 ? 0 (圆心不在原点) ,故 x0 ? 32 时比值取最小值 3 ? 2 2 ? 2 ? 1 21、已知函数 f ( x) ? ( x2 ? 3x ? 3)ex , 且t ? ?2 (1)试确定 t 的取值范围,使得函数在 [?2, t ] 上单调; (2)求证: ?t ? ?2 总存在 x0 ? (?2, t ) 满足
f '( x0 ) 2 ? (t ? 1) 2 ,并确定这样的 x0 的个数。 e x0 3

解析: (1) f '( x) ? ( x2 ? 3x ? 3 ? 2 x ? 3)e x ? ( x2 ? x)e x 单调区间 (??,0) ?,(0,1) ?,(1, ??) ? 因此 t ? (?2,0] ,函数在 [?2, t ] 上单调递减
2 ? x0 ? (2)化简不等式得 x0

2 2 (t ? 1) 2 ,令 g ( x) ? x 2 ? x ? (t ? 1) 2 3 3

7

即讨论函数 g(x)在区间 (?2, t ) 上零点个数
2 1 注意 g (?2) ? ? (t ? 2)(t ? 4) , g (t ) ? (t ? 2)(t ? 1) 3 3

当 t ? (?2,1) U(4, ??) 时 g (?2) g (t ) ? 0 ,故 g(x)有唯一零点 以下考查区间端点: 当 t=1 时 g ( x) ? x2 ? x ,x=0 或 x=1,区间 (?2, t ) 上只有一个零点 x=0 当 t=4 时 g ( x) ? x2 ? x ? 6 ,x=-2 或 x=3,区间 (?2, 4) 上只有一个零点 x=3 注意:当 1 ? t ? 4 时, g (?2) ? 0, g (t ) ? 0且g (0) ? 0 ,故有两个零点 综上, ?t ? ?2 总存在 x0 ? (?2, t ) 满足
f '( x0 ) 2 ? (t ? 1) 2 , e x0 3

且当 t ? (?2,1]U[4, ??) 时,有唯一的 x0 ;当 1 ? t ? 4 时,有两个 x0

23、 (本小题满分 10 分)选修 4-4

坐标系与参数方程

? x ? 1 ? cos ? 在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ? ,以 O 为极点,x 正半轴为极轴建立极 ? y ? sin ?
坐标系。 (1)求圆 C 的极坐标方程;

? ? (2)直线的极坐标方程是 2 ? sin(? ? ) ? 3 3 ,射线 OM: ? ? 与圆 C 的交点为 O,P,与直 3 3
线的交点为 Q,求线段 PQ 的长. 解析:首先转化为直角方程 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 典型圆的极坐标方程为 ? ? 2cos?

? 联立射线与直线得 Q(3, ) 3 ? 联立射线与圆解得 P(1, ) 3
因此 PQ=2

8


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