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高中数学热点难点突破-不拉分系列之(十)研透两种题型,突破含参变量的线性规划问题


含参变量的线性规划问题是近年来高考命题 的热点,由于参数的引入,提高了思维的技巧, 增加了解题的难度.参变量的设置形式通常有以 下两种: (1)条件不等式组中含有参变量; (2)目标函数中设置参变量.

?x+y-3≤0, ? [典例 1] (2012· 福建高考)若直线 y=2x 上存在点(x, y)满足约束条件?x-2y-3≤0, ?x≥m, ?
则实数 m 的最大值为( A.-1 3 C. 2 ) B.1 D.2

[解析] 可行域如图阴影所示,由
?y=2x, ? ? 得交点 A(1,2),当直线 x=m 经过点 A(1,2)时,m ? ?x+y-3=0

取到最大值为 1. [答案] B [题后悟道] 由于条件不等式中含有变量,增加了解题时画图

的难度,从而无法确定可行域,要正确求解这类问题,需有全局观念,结合目标函数逆向分 析题意.整体把握解题的方向,是解决这类题的关键. ?针对训练

?x≥1, ? 1.(2012· “江南十校”联考)已知 x,y 满足?x+y≤4, ?x+by+c≤0, ?
最大值为 7,最小值为 1,则 b,c 的值分别为( A.-1,-4 B.-1,-3 )

记目标函数 z=2x+y 的

C.-2,-1

D.-1,-2

解析:选 D 由题意知,直线 x+by+c=0 经过直线 2x+y=7 和直线 x+y=4 的交点,
? ?3+b+c=0, 经过直线 2x+y=1 和直线 x=1 的交点, 即经过点(3,1)和点(1, -1), 所以? 解 ? ?1-b+c=0,

得 b=-1,c=-2.

?x-2y+3≥0, ? [典例 2] (2012· 深圳调研)已知变量 x,y 满足约束条件?x-3y+3≤0, ?y-1≤0, ?
=y-ax 仅在点(-3,0)处取到最大值,则实数 a 的取值范围为( A.(3,5) C.(-1,2) [解析] 1 B.?2,+∞? ? ? 1 D.?3,1? ? ? )

若目标函数 z

如图所示,在坐标平面内画出题中的不等式组表示的

平面区域及直线 y-ax=0,要使目标函数 z=y-ax 仅在点(-3,0) 处取到最大值(即直线 z=y-ax 仅当经过该平 面区域内的点(-3,0)时, 相应直线在 y 轴上的截距才达到最大), 1 结合图形可知 a> . 2 [答案] B [题后悟道] 此类问题旨在增加探索问题的动态性和开放性.解决此类问题一般从目标 函数的结论入手,对图形的动态分析,对变化过程中的相关量的准确定位,是求解这类问题 的主要思维方法. ?针对训练

?x≥0, ? 2.(2012· 温州适应性测试)已知实数 x,y 满足?y-x+1≤0, ?y-2x+4≥0, ?
值时的最优解(x,y)有无数个,则 a 的值为( A.2 C.0 B.1 D.-1 )

若 z=y-ax 取得最大

解析:选 B 依题意,在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平 面区域,如图所示.要使 z=y-ax 取得最大值时的最优解(x,y)有无数 个,则直线 z=y-ax 必平行于直线 y-x+1=0,于是有 a=1.


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