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高二数学函数的定义域与值域、单调性与奇偶性


高二数学函数的定义域与值域、单调性与奇偶性苏教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容: 函数的定义域与值域、单调性与奇偶性 二. 教学目标: 理解函数的性质,能够运用函数的性质解决问题。 三. 教学重点:函数性质的运用. 四. 教学难点:函数性质的理解。 [学习过程] 一、知识归纳: 1. 求函数的解析式 (1)求函数解析式的常用方法: ①换元法( 注意新元的取值范围) ②待定系数

法(已知函数类型如:一次、二次函数、反比例函数等) ③整体代换(配凑法) ④构造方程组(如自变量互为倒数、已知 f(x)为奇函数且 g(x)为偶函数等) (2)求函数的解析式应指明函数的定义域,函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值 范围,同时也要注意变量的实际意义。 (3)理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。 2. 求函数的定义域 求用解析式 y=f(x)表示的函数的定义域时,常有以下几种情况: ①若 f(x)是整式,则函数的定义域是实数集 R; ②若 f(x)是分式,则函数的定义域是使分母不等于 0 的实数集; ③若 f(x)是二次根式,则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于 0 的实数集合; ④若 f(x)是由几个部分的数学式子构成的,则函数的定义域是使各部分式子都有意义的 实数集合; ⑤若 f(x)是由实际问题抽象出来的函数,则函数的定义域应符合实际问题. 3. 求函数值域(最值)的一般方法: (1)利用基本初等函数的值域; (2)配方法(二次函数或可转化为二次函数的函数) ; (3)不等式法(利用基本不等式,尤其注意形如 型的函数) (4)函数的单调性:特别关注 的图象及性质 (5)部分分式法、判别式法(分式函数) (6)换元法(无理函数) (7)导数法(高次函数) (8)反函数法 (9)数形结合法 4. 求函数的单调性 (1)定义法: (2)导数法:

(3)利用复合函数的单调性: (4)关于函数单调性还有以下一些常见结论: ①两个增(减)函数的和为_____;一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是______; ②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性; 偶函数在对称的两个区间上有_____的单调 性; ③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性; (5)求函数单调区间的常用方法:定义法、图象法、复合函数法、导数法等 (6)应用:比较大小,证明不等式,解不等式。 5. 函数的奇偶性 奇偶性:定义:注意区间是否关于原点对称,比较 f(x) 与 f(-x)的关系。f(x) -f (-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数; f(x)+f(-x)=0 f(x) =-f(-x) f(x)为奇函数。 判别方法:定义法,图象法,复合函数法 应用:把函数值进行转化求解。 6. 周期性:定义:若函数 f(x)对定义域内的任意 x 满足:f(x+T)=f(x) ,则 T 为函数 f(x)的周期。 其他:若函数 f(x)对定义域内的任意 x 满足:f(x+a)=f(x-a) ,则 2a 为函数 f(x) 的周期. 应用:求函数值和某个区间上的函数解析式。 二、典型例题分析 例 1. 若集合 A={a1,a2,a3},B={b1,b2} 求从集合 A 到集合 B 的映射的个数。 分析:解决这类问题,关键是要掌握映射的概念:设 A、B 是两个集合,对于集合 A 中的 任何一个元素,按照某种对应法则 f,若集合 B 中都有唯一确定的元素和它对应,这时对应 法则 f 叫做从集合 A 到集合 B 的映射。这里要掌握关键的两个词“任何”“唯一” 、 。对于本 例,集合 A={a1,a2,a3}中的每一个元素的象都有 b1 或 b2 这两种情形,由乘法原理可知, A 到 B 的映射的个数共有 N=2?2?2=8 个。 例 2. 线段|BC|=4,BC 的中点为 M,点 A 与 B、C 两点的距离之和为 6,设|AM|=y,|AB| =x,求 y=f(x)的函数表达式及这函数的定义域。 解:1°若 A、B、C 三点不共线,如图所示,由余弦定理可知, x2=22+y2-4ycos∠AMB ① (6-x)2=22+y2-4ycos(180°-∠AMB) ② ①+② x2+(6-x)2=2y2+8 ∴y2=x2-6x+14 又 x2-6x+14=(x-3)2+5 恒正,∴ 又三点 A、B、C 能构成三角形 ∴1<x<5 2°若三点 A、B、C 共线,由题意可知, x+4=6-x,x=1 或 4+6-x=x x=5 综上所述: 说明:第一,首先要分析三点 A、B、C 是否在同一条直线上,因为由题意,A、B、C 不一 定能构成三角形,它们也可在同一条直线上,所以要分两种情形来讨论。第二,实际问题在

求解析式时要特别注意函数的定义域。 例 3. 设 f(x)为定义在 R 上的偶函数,当 x≤-1 时,y=f(x)的图象是经过点(-2,0) , 斜率为 1 的射线,又在 y=f(x)的图象中有一部分是顶点在(0,2) ,且过点(-1,1) 的一段抛物线,试写出函数 f(x)的表达式,并在图中作出其图象。 解: (1)当 x≤-1 时,设 f(x)=x+b ∵射线过点(-2,0) ∴0=-2+b 即 b=2,∴f(x)=x+2 (2)当-1<x<1 时,设 f(x)=ax2+2 ∵抛物线过点(-1,1) ,∴1=a? -1)2+2,即 a=-1 ( ∴f(x)=-x2+2 (3)当 x≥1 时,f(x)=-x+2 综上可知:f(x)= 作图由读者来完成。 例 4. 求下列函数的定义域 (1) (2) 解: (1) ∴x≥4 或 x≤-1 且 x≠-3,即函数的定义域为(-∞,-3)∪(-3,-1)∪[4,+∞] (2) ,则 ∴ 0<x2-3x-10≤8,即 ∴-3≤x<-2 或 5<x≤6 即定义域为[-3,-2]∪(5,6) 说明:求函数的定义域,我们常常可以从以下三个方面来考虑:若有分母则分母不为零、若 有偶次根式则被开方数大于或等于零、 若有对数式, 则真数大于零、 底数大于零且不等于 1。 求函数的定义域,实质上就是求由以上不等式组成的不等式组的解集。 变、已知函数 f(x)的定义域为[-1,4],求 的定义域。 解: ,则 又 ,∴ 或 则 或 即为所求函数的定义域。 说明:此题实质上是求复合函数的定义域,我们把 看成是由 y=f(u) 两个函数复合而 、 成的,因为-1≤u<4,则 ,从而求出 x 的范围,另外,对不等式进行倒数运算时,应注意 不等式两边必须同号, 取倒数后不等号的方向改变, 这里也是学习时常常容易发生错误的地 方,应加以重视。 例 5. 若对于任何实数 x,不等式: 恒成立,求实数 a 的取值范围。 解:令 f(x)=|x-1|+2|x-2|,去绝对值把 f(x)表示成分段函数后为 5-3x x<1 f(x)= 3-x 1≤x≤2 3x-5 x>2 作出 y=f(x)的图象如图,由此可知 f(x)的最小值为 1,f(x)>a 对一切实数 x 恒成立, 则 a<1。 说明:该题看上去是一个不等式的问题,若用去绝对值分类讨论的方法来求解则比较繁锁, 而如果注意到不等式左边是一个关于 x 的函数, 只要利用数形结合的思想求出此函数的最小 值就很快解决了问题,这种解题思想应引起我们的注意。另外,对于函数 f(x)=|x-1|+2|x

-2|只要把它写成分段函数的形式,作出函数的图象,则该函数的所有性质,包括函数的单 调区间,值域等一切问题都可以迎刃而解了。 例 6. 求函数 的值域。 解:令 ,则 13-4x=t2 ∴ 该二次函数的对称轴为 t=1,又 t≥0 由二次函数的性质可知 y≤4,当且仅当 t=1 即 x=3 时等式成立,∴原函数的值域为(-∞,4) 。 说明:对于所有形如 的函数,求值域时我们可以用换元法令 转化为关于 t 的二次函数在区间[0, +∞) 上的最值来处理。 这里要注意 t≥0 的范围不能少。 如:已知 f(x)的值域为 ,试求函数 的值域。该题我们只需要把 f(x)看成是一个变量, 则求值域时仍可用上述换元法,但是如果被开方数不是关于 x 的一次式,而含 x 的平方项, 则就不能用上述换元法了。如求函数 的值域,若令 ,则 x 无法用 t 来表示。这里我们如果 注意到 x 的取值范围:-2≤x≤2,则-1≤ ≤1 的话,我们就可以用三角换元:令 θ ∈ [0,π ],问题也就转化为三角函数求最值了。同样我们作三角换元时,要注意θ 的限制条 件,因为当θ 取遍 0 到π 之间的每一个值时, 恰好可以取遍-1 到 1 之间的每一个值,若 不限制θ 的范围,则根号无法直接去掉,就会给我们解题增添麻烦。 例 7. 求下列函数的最值。 (1) (2) 解: (1)先求出函数的定义域: ∴-2≤x≤7,又在区间[-2,7]上函数 单调递增, 单调递增,所以 在定义域内也单调递 增。 当 x=-2 时, ;当 x=7 时, (2)∵ ≥0 ∴y2=x2(1-x2)由基本不等式可知: y2=x2(1-x2)≤ ,又 y≥0 ∴ , 。 说明:对于一些比较复杂的函数,求值域或最值时,如果我们能利用函数的单调性、奇偶性 或运用基本不等式,问题往往会很快得到解决。在运用基本不等式求最值时,要注意“一正 二定三相等”的条件,特别是要注意等号能否成立。 例 8. 设 a>0,x∈[-1,1]时函数 y=-x2-ax+b 有最小值-1,最大值 1,求使函数取得 最小值和最大值时相应的 x 的值。 解: ∵a>0,∴ <0,又定义域为[-1,1] ∴x=1 时 ,即-1-a+b=-1 ∴a-b=0 下面分 a 的情形来讨论: 1°当 0> ≥-1 即 0<a≤2 时, 当 时, 即 ,则 ∴a2+4a-4=0, 又 a∈(0,2) ∴ ,则 2°当 <-1,即 a>2 时,当 x=-1 时 ∴-1+a+b=1,a+b=2 又 a=b ∴a=1 与 a>2 矛盾,舍去 综上所述:x=1 时, , 时 。

例 9. 已知函数 y=f(x)= (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数,当 x>0 时,f(x)有 最小值 2,其中 b∈N 且 f(1)< (1)试求函数 f(x)的解析式; (2)问函数 f(x)的图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点,若存在,求出点的坐标; 若不存在,说明理由 解: (1)∵f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x) ,即 ∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)= ≥2 , 当且仅当 x= 时等号成立,于是 2 =2,∴a=b2, 由 f(1)< 得 < 即 < ,∴2b2-5b+2<0,解得 <b<2,又 b∈N,∴b=1,∴a=1, ∴f(x)=x+ (2)设存在一点(x0,y0)在 y=f(x)的图象上,并且关于(1,0)的对称点(2-x0, -y0)也在 y=f(x)的图象上,则 消去 y0 得 x02-2x0-1=0,x0=1± ∴y=f(x)的图象上存在两点(1+ ,2 )(1- ,-2 )关于(1,0)对称 , 例 10. 已知奇函数 f(x)的定义域为 R,且 f(x)在[0,+∞)上是增函数,是否存在实 数 m,使 f(cos2θ -3)+f(4m-2mcosθ )>f(0)对所有θ ∈[0, ]都成立?若存在, 求出符合条件的所有实数 m 的范围,若不存在,说明理由 解:∵f(x)是 R 上的奇函数,且在[0,+∞)上是增函数,∴f(x)是 R 上的增函数 于 是不等式可等价地转化为 f(cos2θ -3)>f(2mcosθ -4m) , 即 cos2θ -3>2mcosθ -4m,即 cos2θ -mcosθ +2m-2>0 设 t=cosθ ,则问题等价地转化为函数 g(t)?=t2-mt+2m-2=(t- )2- +2m-2 在[0,1]上的值恒为正,又转化为函数 g(t)在[0,1]上的最小值为正 ∴当 <0,即 m<0 时,g(0)=2m-2>0 m>1 与 m<0 不符; 当 0≤ ≤1 时,即 0≤m≤2 时,g(m)=- +2m-2>0 4-2 <m<4+2 ,?∴4-2 <m≤2 当 >1,即 m>2 时,g(1)=m-1>0 m>1 ∴m>2 综上,符合题目要求的 m 的值存在,其取值范围是 m>4-2 另法(仅限当 m 能够解出的情况)cos2θ -mcosθ +2m-2>0 对于θ ∈[0, ]恒成立, 等价于 m>(2-cos2θ )/(2-cosθ ) 对于θ ∈[0, ]恒成立 ∵当θ ∈[0, ]时, (2-cos2θ )/(2-cosθ ) ≤4-2 , ∴m>4-2 例 11. 设 a 为实数,记函数 f(x)=a 的最大值为 g(a) 。 (1)设 t= ,求 t 的取值范围并把 f(x)表示为 t 的函数 m(t) ; (2)求 g(a) ; (3)求满足 g(a)=g( )的所有实数 a. 解: (1)∵t= ∴要使 t 有意义,必须有 1+x≥0 且 1-x≥0,即-1≤x≤1. ∵t2=2+2 ∈[2,4],t≥0 ??①

∴t 的取值范围是[ ,2]由①得 = x2-1 ∴m(t)=a( t2-1)+t= at2+t-a, t∈[ ,2] (2)由题意知 g(a)即为函数 m(t)= at2+t-a, t∈[ ,2]的最大值. 注意到直线 t=- 是抛物线 m(t)= at2+t-a 的对称轴,分下列情况讨论. <1>当 a>0 时,函数 y=m(t) t∈[ ,2]的图像是开口向上的抛物线的一段,由 t=- <0 , 知 m(t)在[ ,2]上单调递增, ∴g(a)=m(2)=a+2. <2>当 a=0 时,m(t)=t, t∈[ ,2], ∴g(a)=2. <3> 当 a<0 时,函数 y=m(t) t∈[ ,2]的图像是开口向下的抛物线的一段, , 若有 t=- ∈[0, ],即 a≤- ,则 g(a)=m( )= . 若有 t=- ∈( ,2) ,即 a∈ ,则 g(a)=m(- )=-a- . 若有 t=- ∈ [0, ],即 a∈ ,则 g(a)=m(2)=a+2. 综上有 g(a)= (3)当 a>- 时,g(a)=a+2> > , 当 时,-a∈ , ∈ ,所以 , g(a)= >2 = .因此当 a>- 时,g(a) > . 当 a>0 时, >0,由 g(a)=g( )知 a+2= +2 解得 a=1. 当 a<0 时, =1,因此 a≤-1 或 ≤-1,从而 g(a)= 或 g( )= . 要使 g(a)=g( ) ,必须有 a≤- 或 ≤- ,即- ≤a≤- 此时 g(a)= =g( ). 综上知,满足 g(a)=g( )的所有实数 a 为:- ≤a≤- 或 a=1. 【模拟试题】 (一)选择题 1. 设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x) ,当 0≤x≤1 时,f(x)=x, 则 f(7 5)等于( ) A. 0.5 B. -0.5 C. 1.5 D. -1.5 2. 已知定义域为(-1,1)的奇函数 y=f(x)又是减函数,且 f(a-3)+f(9-a2)<0, ?则 a 的取值范围是( )

A. (2 ,3) B. (3, ) C. (2 ,4) D. (-2,3) 3. 若函数 f(x)= (x≠ )在定义域内恒有 f[f(x) ]=x,则 m 等于( ) A. -3 B. C. - D. 3 4. 设函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,在 x≤1 时,f(x)=(x+1)2-1,则 x>1 时 f(x)等于( ) A. f(x)=(x+3)2-1 B . f(x)=(x-3)2-1 C. f(x)=(x-3)2+1 D. f(x)=(x-1)2-1 5. 函数 的值域是 ( ) A. (-∞,1) B. [1,+∞] C. (0,1) D. [0,1] 6. 的值域是 ( ) A. y≥-2 B. y≤-2 C. y∈R D. y≥0 (二)填空题 7. 若 f(x)为奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又 f(-3)=0,则 xf(x)<0 的解集

为_________。 8. 如果函数 f(x)在 R 上为奇函数,在(-1,0)上是增函数,且 f(x+2)=-f(x) ,试 比较 f( ) ,f( ) ,f(1)的大小关系_________。 (三)解答题 9. (1)已知 f(x)是一次函数,且 f[f(x)]=4x-1,求 f(x)的解析式; (2)已知 ,求 f(x)的解析式; 10. 若函数 的定义域为 R,试求实数 k 的取值范围。 11. 求下列函数的值域 (1) (2) 12. 定义在(-∞,4)上的减函数 f(x)满足 f(m-sinx)≤f( - +cos2x)对任意 x∈R 都成立,求实数 m 的取值范围 。 13. 已知函数 y=f(x)= (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数,当 x>0 时,f(x)有最 小值 2,其中 b∈N 且 f(1)< (1)试求函数 f(x)的解析式; (2)问函数 f(x)图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点,若存在,求出点的坐标; 若不存在,说明理由 。 14. 已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的周期函数,周期 T=5,函数 y=f(x) (-1≤x≤1) 是奇函数,又知 y=f(x)在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在 x=2 时,函数取得最小值,最小值为-5 。 (1)证明 f(1)+f(4)=0; (2)试求 y=f(x) ,x∈[1,4]的解析式; (3)试求 y=f(x)在[4,9]上的解析式。

【试题答案】 1. B 2. A 3. D 4. B 5. C 6. A 7. (-3,0)∪(0,3) 8. f( )<f( )<f(1) 9. (1) 或 f(x)=-2x+1 (2) 10. 0≤k< 11. 解: (-∞,lg5) (1) (2)[ , ] 对 x∈R 恒成立 ∴m∈[ ,3]∪{ } 13. 解: (1)∵f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x) ,即 ∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)= ≥2 , 当且仅当 x= 时等号成立,于是 2 =2,∴a=b2, 由 f(1)< 得 < 即 < ,∴2b2-5b+2<0,解得 <b<2,又 b∈N,∴b=1,∴a=1, ∴f(x)=x+ 。 (2)设存在一点(x0,y0)在 y=f(x)的图象上,并且关于(1,0)的对称点(2-x0,

-y0)也在 y=f(x)图象上,则 消去 y0 得 x02-2x0-1=0,x0=1± 。 ∴y=f(x)图象上存在两点(1+ ,2 )(1- ,-2 )关于(1,0)对。 , 14. (1)证明:∵y=f(x)是以 5 为周期的周期函数, ∴f(4)=f(4-5)=f(-1) , 又 y=f(x) (-1≤x≤1)是奇函数,∴f(1)=-f(-1)=-f(4) ,∴f(1)+f(4)= 0 (2)解:当 x∈[1,4]时,由题意,可设 f(x)=a(x-2)2-5(a≠0) ,由 f(1)+f(4)=0 得 a(1-2)2-5+a(4-2)2-5=0, 解得 a=2,∴f(x)=2(x-2)2-5(1≤x≤4) (3)解:∵y=f(x) (-1≤x≤1)是奇函数, ∴f(0)=-f(-0) ,∴f(0)=0, 又 y=f(x) (0≤x≤1)是一次函数, ∴可设 f(x)=kx(0≤x≤1) , ∵f(1)=2(1-2)2-5=-3, f(1)=k?1=k,∴k=-3 ∴当 0≤x≤1 时,f(x)?=-3x, 当-1≤x<0 时,f(x)=-3x, 当 4≤x≤6 时,-1≤x-5≤1,∴f(x)=f(x-5)=-3(x-5)=-3x+15,? 当 6<x≤9 时, 1<x-5≤4,f(x)=f(x-5)=2[ (x-5)-2]2-5=2(x-7)2-5 ∴f(x)= 莲山课件 原文地址:http://www.5ykj.com/shti/gaoer/89228.htm


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