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高中数学必修三 第三章3.3几何概型教学设计


高中数学必修三 第三章 3.3 几何概型教学设计
一,教材分析 本节课是新教材人教版必修 3 第三章第三节的第一课, 它在课本中的位置排在古典概型 之后,在概率的应用之前.我认为教材这样安排的目的,一是为了体现几何概型(3.31)和 古典概型的区别和联系,在比较中巩固这两种概型;并引入了均匀随机数的产生(3.32)二 是为解决实际问题提供一种简单可行的概率求法,在教材中起承上启下的作用. 教材首先通过实例对比概念给予描述,然后通过均匀随机数随机模拟的方法的介绍,给 出了几何概型的一种常用计算方法.与本课开始介绍的 P(A)的公式计算方法前后对应,使几 何概型这一知识板块更加系统和完整. 这节内容中的例题既通俗易懂,又具有代表性,有利于我们的教与学生的学.教学重点是 几何概型的计算方法,尤其是设计模型运用随机模拟方法估计未知量;教学难点是突出用样 本估计总体的统计思想,把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题.

二,学情分析 通过最近几年的实际调查发现, 学生在学习本节课时特别容易和古典概型相混淆, 把几 何概型的“无限性”误认为古典概型的“有限性”.究其原因是思维不严谨,研究问题时过 于“想当然”,对几何概型的概念理解不清.因此我认为要在几何概型的特征和概念的理解 上下功夫,不要浮于表面. 另外, 在解决几何概型的问题时, 几何度量的选择也是需要特别重视的, 在实际授课时, 应当引导学生发现规律,找出适当的方法来解决问题. 前面学生在已经掌握一般性的随机事件即概率的统计定义的基础上,又学习了古典概 型。 在古典概型向几何概型的过渡时, 以及实际背景如何转化为长度比、 面积比、 体积比时, 会有一些困难。但只要引导得当,理解几何概型,完成教学目标,是切实可行的。根据学生 的状况及新课程标准,对教材作了如下处理:开头的两个问题,学生独立思考,说出结果, 师生共同纠正。之后的探究处理成演示试验,以强化数学知识实际背景与形成过程,便于激 发学生的学习兴趣,加深对知识的理解与应用。例题、习题的选用,尽可能选用与日常生活 息息相关的例子。 考虑到突出重点和化解难点的需要, 在练习环节根据教材和学生的实际,
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适当改造和增补例题,并设计成不同形式,逐步提高思维的层次,使一般学生都能熟练掌握 要求的内容,学有余力的学生能得到进一步的加深。 三,教学目标 1.知识目标 ①通过探究,让学生理解几何概型试验的基本特征,并与古典概型相区别; ②理解并掌握几何概型的定义; ③了解几何概型的概念及基本特点; 熟练掌握几何概型中概率的计算公式; 会进行简单 的几何概率计算. 2.过程与方法: (1)利用PPT让学生从熟悉的图片中产生对问题的积极思考。 (2)经历思维,探究知识的建构过程,并在师生、生生的交流与思维的碰撞的过程中,学 生发现了几何概型计算方法。 (3)教师例题引导,学生独立完成练习并由小组交流推荐回答,提高表达能力。 (4)巩固知识形成解题方法。 3.情感目标: ①让学生了解几何概型的意义, 加强与现实生活的联系, 以科学的态度评价身边的一些随机 现象; ②通过学习, 让学生体会生活和学习中与几何概型有关的实例, 增强学生解决实际问题的能 力;同时,适当地增加学生合作学习交流的机会,培养学生的合作能力. 4.能力目标: 培养学生的分析能力和抽象概括能力;渗透转化、数形结合等思想方法;提高解决实际问题 的能力 四.教学重点: 正确理解几何概型的定义、特点;掌握几何概型中概率的计算公式;会进行简单的几何概率 计算. 五,教学难点: ①根据古典概型与几何概型的区别,来判断一个试验是否为几何概型②几何概型的应用 , 将求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题, 准确确定几何区域 D 和与事件 A 对应的区 域 d,并求出它们的测度。 六.教学方法: 根据上面对教材的分析,并结合学生的认知水平和思维特点,本节课我采用以下教学方法.
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教法方面:采用启发式、讨论式以及讲练结合的方式,通过问题激发学生求知欲,使学生主 动参与数学实践活动,以独立思考和相互交流的形式,在教师的指导下发现、分析和解决问 题. 学法方面:在引导学生分析时,鼓励学生大胆质疑,围绕中心各抒己见,留出思考时间和空 间,让学生去联想、探索,从而弄清思路和解决问题. 七,设计思想: 提供必要的概率统计数学基础; 激发学生的数学学习兴趣, 形成积极主动的学习方式; 突出 数学的人文价值, 提高学生的数学文化品味; 注重信息技术与数学课程内容的整合; 学生成 为课堂学习的主体,教师成为课堂上的主持人,把思考,讨论,研究的时间还给学生,成为 独具慧眼的发现者,善于发现学生的长处,成为热情的观众,精彩时报以掌声,给予充分的 肯定,失误时,评论切磋,提出中肯的意见。 前面已经学习过了第二章统计和第三章概率的前两节内容,概率是研究随机现象规律的学 科, 它为应用数学解决实际问题提供了新的思想和方法, 同时为统计学的发展提供了理论基 础。由于概率统计的应用性强,有利于培养学生的应用意识和动手能力,在数学课程中,加 强概率统计的份量成为必然。“几何概型”这一节就是新增加的内容,是安排在“古典概 型”之后的第二类概率模型, 是对古典概型内容的进一步拓展, 是等可能事件的概念从有限 向无限的延伸, 同时也更广泛地满足了随机模拟的需要。 几何概型的关键是建立合理的几何 模型解决相关概率问题, 通过建立基本事件与相应元素的对应, 达到求解相关概率问题的目 的,体现了数形结合的数学思想,是概率问题与几何问题的一种完美结合 本节内容极能体现新课程理念, 可以成为“知识与技能、 过程与方法及情感态度价值观”三 个纬度目标有机融合的重要载体,从而实现三位一体的课程功能。 八.教学过程: (注意紧扣教材内容教学,以教材内容为主题,其他扩充内容为辅) (一)创设情景,引入新课 引例 1 北京奥运会圆满闭幕,某玩具厂商为推销其生产的福娃玩具,扩大知名度,特 举办了一次有奖活动:顾客随意掷两颗骰子,如果点数之和大于 10,则可获得一套福娃玩 具,问顾客能得到一套福娃玩具的概率是多少? 设计意图:复习巩固古典概型的特点及其概率公式,为几何概型的引入做好铺垫. 引例 2 厂商为了增强活动的趣味性,改变了活动方式,设立了一个可以自由转动的转 盘(如图 1)转盘被等分成 8 个扇形区域.顾客随意转动转盘,如果转盘停止转动时,指针 正好指向阴影区域,顾客则可获得一套福娃玩具.问顾客能得到一套福娃玩具的概率是多 少?

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设计意图: 1.以实际问题引发学生的学习兴趣和求知欲望; 2.以此为铺垫,通过具体问题情境引入课题; 3.简单直观,符合学生的思维习惯和认知规律. 问题提出后,学生根据日常生活经验很容易回答:“由面积比计算出概率为 1/4.” 提问:为什么会想到用面积之比来解决问题的呢?这样做有什么理论依据吗? 学生思考,回答:“上一节刚学习的古典概型的概率就是由事件 所包含的基本事件数占

试验的基本事件总数的比例来解决的,所以联想到用面积的比例来解决.” 教师继续提问:这个问题是古典概型吗? 通过提问,引导学生回顾古典概型的特点:有限性和等可能性.发现这个问题虽然貌似古典 概型,但是由于这个问题中的基本事件应该是“指针指向的位置”,而不是“指针指向的区 域”,所以有无限多种可能,不满足有限性这个特点,因此不是古典概型. 也就是说,我们不能用古典概型的概率公式去解决这个问题,刚才我们的解答只是猜测.到 这里,我们自然而然地需要一个理论依据去支持这个猜测,从而引入几何概型的概念. (二)结合教材问题:

学生活动

图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向 B 区域

时,甲获胜,否则乙获胜.同学们能在两种情况下分别猜想甲获胜的概率分别是多少吗?请将你 的结论先偷偷告诉同桌. 学生分组做游戏:同桌二人一组(自定甲乙)玩自制如上图转盘.记录胜败次数. 1、你最关心的目标是什么?(想获胜的心理状态) 2 、在字母 B 区域内的标准是什么?如何度量? 圆弧的长度。
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3 、可否将刚才猜想的结果用一个公式来表示?(具有几何特征) 教师活动 教师利用PPT展示图片。教师分析学生的观点,师生交流,理清思路,明确概念,正确表 达。体会数学来源与生活又高于生活。 总结如下: 甲获胜的概率与字母 B 所在扇形区域的圆弧的长度有关,而与字母 B 所在区域的位置无关. 因为转转盘时,指针指向每个圆弧上的哪一点都是等可能的.只要字母 B 所在的扇形区域的圆 弧长度不变,不管这些区域是相邻,还是不相邻,甲获胜的概率是不变的. 学生活动 学生结合教材 130 页回答与教师的引导进行补充与改正。 教师活动 针对学生体表的回答教师采用PPT课件, 在总结时关注数学语言的规范性和精确性让学生 体验问题的几何性。 (三).几何概型的定义: 教师活动 1、 如果每个事、件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的 概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 2、几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. 2、 (2)每个基本事件出现的可能性相等. 学生活动 学生对定义的阐述与修正。 设计意图 检验学生的概括能力与自学水平,准确表达几何概型的定义,反映数学的类比思想。学生体 验到探究的乐趣与数学表达的科学性与简炼,体会数学化。 (四).几何概型概率的计算公式: 教师活动(板书)

学生活动 思考:1、引例 2 概率如何用公式表达? 3、 转盘问题中若是改为“现在向该圆形区域内随机地投掷一石子,求石子落在 B 区域内的 概率? 设计意图 类比古典概率的计算方法,给出了计算公式,教师通过思考让学生加深对公式的理解,特 别是公式的适用范围与问题特征,为其运用打下基础 (五)讨论研究 1.几何概型的特征:无限性,等可能性; 2.几何概型与古典概型关系: 几何概型是在古典概型基础上进一步的发展, 是等可能事件的 概念从有限向无限的延伸. 3.判断下列问题是不是几何概型:
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⑴抛掷一枚硬币,观察其出现正面或反面; ⑵某人射击中靶或不中靶. 分析:因为 ⑴事件结果有限;⑵不是等可能的,均不满足定义,所以两个都不是几何概型. (六)教材例题讲解与拓展 教材例 1 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于 10 分钟的概率.

解:设 A={等待的时间不多于 10 分钟}.我们所关心的事件 A 恰好是打开收音机的时刻位于 [50,60]时间段内,因此由几何概型的求概率的公式得

即“等待的时间不超过 10 分钟”的概率为 教材例 题 2 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上 6:30~7:30 之间把报纸送到你家,而你父亲离开 家去工作的时间在早上 7:00~8:00 之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件 A)的概 率是多少. 分析:我们有两种方法计算事件的概率. (1)利用几何概型的公式. (2)利用随机模拟的方法. 解法 1:如图,方形区域内任何一点的横坐标表示送报人送到报纸的时间,纵坐标表示父亲离 开家去工作的时间.假设随机试验落在方形内任一点是等可能的,所以符合几何概型的条件. 根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家前能得到报纸,即事件 A 发生,所以 解法 2:设 X,Y 是 0~1 之间的均匀随机数.X+6.5 表示送报人送到报纸的时间,Y+7 表示父亲 离开家去工作的时间.如果 Y+7>X+6.5,即 Y>X-0.5,那么父亲在离开家前能得到报纸.用

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计算机做多次试验,即可得到 P(A). 教师引导学生独立解答,充分调动学生自主设计随机模拟方法,并组织学生结合教材 132 页 例题 2 展示自己的解答过程,要求学生说明解答的依据.教师总结,并明晰用计算机(或计算器) 产生随机数的模拟试验.强调:这里采用随机数模拟方法,是用频率去估计概率,因此,试验次 数越多,频率越接近概率. 教材例 3. 如图,在正方形中随机撒一大把豆子,计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆 子数之比,并以此估计圆周率的值. 解:随机撒一把豆子,每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的,落在每个区域的豆子数与 这个区域的面积近似成正比,即 假设正方形的边长为 2,则 由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的,所以 这样就得到了 π 的近似值. 另外,我们也可以用计算器或计算机模拟,步骤如下: (1)产生两组 0~1 区间的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND; (2)经平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)*2,b=(b1-0.5)*2; (3)数出落在圆内 a2+b2<1 的豆子数 N1,计算 (N 代表落在正方形中的豆子数). 可以发现,随着试验次数的增加,得到 π 的近似值的精度会越来越高. 本例启发我们,利用几何概型,并通过随机模拟法可以近似计算不规则图形的面积. 让同学们结合教材例题 3 进行理解 接下来请同学们把讲过的例题认真理解一下, 部分没有讲过的教材内容请同学们先自学然后 提出问题来一起探究 拓展与练习(多媒体展示): 例 1.在集合 M={x 为实数|1≤x≤10}中,求 x>3.5 的概率.
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分析: 因为 x 能取的值为无限个, 且每个值被取得的可能性相等, 所以此问题属于几何概型. 解:记“x>3.5”为事件 A,则其几何测度为区间长度,所以 P(A)=(3.5,10]的区间长度/[1,10]的区间长度=(10-3.5)/(10-1)=13/18. 答:x>3.5 的概率为 13/18. 例 2.取一个边长为 2a 的正方形及其内切圆(如图 2),随机向正方形内丢一粒豆子,求豆 子落入圆内的概率. 分析:由于是随机丢豆子,故可认为豆子落入正方形内任一点的机会都是均等的,于是豆子 落入圆中的概率应等于圆面积与正方形面积的比. 解:记“豆子落入圆内”为事件 A,则 P(A)=圆的面积/正方形的面积=(П a2 )/(4a2)=П /4. 答:豆子落入圆内的概率为 П /4. 思考练习(多媒体展示): 练习 1. 如图 6,将一个长与宽不等的长方形水平放置,长方形对角线将其分成四个区 域.在四个区域内涂上红、蓝、黄、白四种颜色,并在中间装个指针,使其可以自由转动. 对于指针停留的可能性,下列说法正确的是( ) A.一样大 B. 黄、红区域大 C. 蓝、白区域大 D. 由指针转动圈数确定

设计意图:通过与引例 2 对比,使学生发现这两个问题选择的正确几何度量应该是“角 度”,而不是“面积”.而引例 2 之所以用面积比也能解决问题,是因为其面积比恰好等于 角度比. 提出问题:如何才能找到最恰当的几何度量呢? 引导学生找问题中的“提示”.如问题 3 中在圆周上任意取点,因此选取弧长作为几何度量 是最恰当的方法. 教材练习 2.如右下图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概率
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教材练习 1 .有一杯 1 升的水,其中含有 1 个细菌,用一个小杯从这杯水中取出 0.1 升,求小杯水 中含有这个细菌的概率.

设计意图: 在练习 1 的基础上,学生能通过练习 2、3、4 并结合例题1进一步明确了公式中的长度、面 积、体积。本题可做为课内思考或课外同学或师生交流的问题。本题关注了“体积” (七)课堂小结: 课堂小结: 这个工作我准备交给学生去做。 让学生自己总结: 这节课你学到了什么?通过这节课你掌握 了哪些方法?应该注意些什么问题?有哪些思想是在以后的学习中可以借鉴的等等, 引导学 生对这节课的内容加以巩固深化. 主要内容应为:1.几何概型的特点 2.几何概型的概率公式. (八)布置作业: 请同学们课后把教材习题 3.3 做一下, 重点是 A 组题, 不会做的做好标记下次课提出来大家 一起解决。 3.公式的运用。 与教师共同总结,可以让学生自行总结,并让学生代表回答,教师最后用PPT展示总结。 九,教学反思 本节课采用了类比的思维方式, 让学生明确古典概型与几何概型的异同。 在启发式教学 方式的引领下, 以问题串的形式开启学生思维之门。 我认为本节课有以下五个方面做得比较 成功. 1.通过具体的问题情境引入,容易激发学生的学习兴趣和求知欲. 2.通过与古典概型对比,产生矛盾,促使学生迫切想去探求解决问题的方法. 3.分解难度,将抽象的概念“解剖”,易于理解. 4.问题设置层层递进,由浅入深,有层次、有目标地解决各个难点,符合学生的学习 规律. 5. 本节课中所体现的极限思想、 类比思想、 转化思想等将会对学生的思维发展有所帮助。 6.教材例题讲解教细,拓展练习具有代表性,题型新颖,难度适当。 十,板书设计 大体将黑板划分为三个部分 黑板最上面最中间位置:标题:3.3 几何概型 黑板左半部分大体内容:
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1.几何概型概念及特征 2.几何概型概率公式 黑板中间部分大体内容: 引例 1 引例 2 教材例题 1 例 2 例 2 例 3 主要解法的步骤和说明 黑板最又部分: 打草稿 进行课后总结 课堂练习的讲解 要布置的作业

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